Módulo I.- Probabilidad

Hola, bienvenid@s al módulo I.

En este módulo vamos a conocer un poco más el tema de probabilidad. Aquí ya no nos vale la excusa de… ¿cuándo voy a usar yo esto?

Esto lo usamos tanto, que ni cuenta nos damos cuando lo hacemos.

¡Sigue leyendo, ya verás!

MÓDULO I.- PROBABILIDAD

Vamos a empezar el módulo viendo un poco de lenguaje, que nos vendrá bien manejar, para poder expresarnos mejor en la resolución de los ejercicios.

Existen dos tipos de experimentos, los deterministas, que son aquellos en los que podemos predecir el resultado y los aleatorios, que son los que no podemos saber qué resultado vamos a obtener de antemano. En este módulo nos dedicaremos a estudiar los sucesos aleatorios.

Cada suceso de este tipo, tendrá su espacio muestral, que es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Lo denotaremos con la letra E y se expresa entre llaves $\left \{ ... \right \}$

Algunos sucesos con los que vamos a trabajar serán:

Sucesos elementales, que corresponde a cada uno de los sucesos que componen el espacio muestral.
Sucesos compuestos: el que está formado por más de un suceso elemental.
Suceso seguro: será el que siempre se cumple, con un 100% de probabilidad, sucederá.
Suceso imposible: es el contrario del anterior, el que nunca se cumple. Tiene un 0% de probabilidad de suceder.
Suceso contrario de un suceso A, es el que se verifica cuando no se verifica el A. También lo encontrareis como suceso complementario de A.
Sucesos incompatibles, son los que si, al verificarse uno, no puede verificarse el otro. Es decir, si: A $\cap$ B = 0 (conjunto vacío). En caso contrario, diremos que los sucesos son compatibles.
Sucesos independientes: son aquellos en los que el resultado de cada uno de ellos, no depende del otro. En caso que sí dependan, serán sucesos dependientes.

OPERACIONES CON SUCESOS:

Unión de sucesos: A $\cup$ B, ocurre cuando se cumple A o cuando se cumple B y se forma con la unión de los sucesos elementales de A y los de B. o = $\cup$

Intersección de sucesos: A $\cap$ B, ocurre cuando se realiza A y B a la vez y se forma con los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. y = $\cap$

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS:

Conmutativa: A $\cap$ B = B $\cap$ A (también se cumple con la unión)
Asociativa: A $\cap$ (B $\cap$ C) = (A $\cap$ B) $\cap$ C (también se cumple con la unión)
Distributiva: A $\cap$ (B $\cup$ C) = (A $\cap$ B) $\cup$ (A $\cap$ C)
LEYES DE MORGAN:
- $\bar{A\cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$
- $\bar{A\cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$

PROBABILIDAD: La probabilidad de que algo suceda se define, según la regla de LaPlace como: $P(A) = \frac{c. favorables}{c. posibles}$

Va a estar comprendida siempre entre el 0 (suceso imposible) y el 1 (suceso seguro).

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD:

Si dos sucesos son incompatibles: P (A $\cup$ B) = P (A) + P (B)
Si dos sucesos son compatibles: P (A $\cup$ B) = P (A) + P (B) – P(A $\cap$ B)
La probabilidad de un suceso contrario es: P ( $\bar{A}$ ) = 1 – P(A)
Si dos sucesos son independientes: P(A $\cap$ B) = P (A) $\cdot$ P (B)
P(A $\cap$ $\bar{B}$ ) = P (A) – P(A $\cap$ B). Con esta conseguimos calcular la probabilidad de que ocurra solo el suceso A, puesto que es la intersección de A con el contrario de B, es decir, que ocurra A y no ocurra B. (También podemos usarla al revés: P( $\bar{A}$ $\cap$ B) = P (B) – P (A $\cap$ B).

LEYES DE MORGAN:
- P ( $\bar{A}\cap \bar{B}$ ) = P ( $\bar{A\cup B}$ ) = 1 – P (A $\cup$ B)
- P ( $\bar{A}\cup \bar{B}$ ) = P ( $\bar{A\cap B}$ ) = 1 – P (A $\cap$ B)

PROBABILIDAD CONDICIONADA: Para el cálculo de propiedades condicionadas, aquellas en las que sucede algo, habiendo sucedido otra cosa antes, vamos a utilizar el Teorema de Bayes: $P (A/B)= \frac{P(A\cap B)}{P (B)}$

El “sabiendo”, lo que ha sucedido primero, es lo que va en el denominador siempre.

Recordad que lo llamamos probabilidad condicionada cuando los datos están en el mismo orden que los tenemos colocados en el diagrama de árbol y Teorema de Bayes, cuando están al revés.

Por lo que llevamos visto hasta ahora podrás ver que se hace necesaria la representación u organización de los datos en este tipo de diagrama, que llamamos árboles de probabilidad.

Vamos a aprender con algún ejemplo, como hacerlo y como, a partir de él, calculamos las diferentes probabilidades

Ejemplo: En una universidad el 70% de los alumn@s que acuden a la EBAU proceden de centros públicos y el resto de centros privados. De los alumn@s de centros públicos, el 25% obtienen una nota superior a 7 puntos. De los alumn@s de centros privados, el 28% obtiene una nota superior a 7 puntos. Se elige un@ alumn@ al azar y se pide:

a) Probabilidad de que tenga una nota menor o igual a 7 puntos
b) Sabiendo que viene de un centro público, cuál es la probabilidad de que tenga una nota superior a 7 puntos
c) Sabiendo que la nota es superior a 7 puntos, cuál es la probabilidad de que el alumn@ proceda de un centro público?
d) ¿Son incompatibles los sucesos: “alumn@ de centro publico” y “alumn@ con una nota menor o igual que 7 puntos”?

Primero vamos a definir los sucesos y sus probabilidades:

Sea el suceso O ser alumn@ de un centro público, cuya probabilidad es, según se indica en el enunciado, del 70%. P (O) = 0.70
Sea el suceso A ser alumn@ de un centro privado, cuya probabilidad es, según indica el enunciado el resto. Así que será el 100% – 70% = 30%. P (A) = 0.30
Sea el suceso S, obtener una nota superior a 7, cuya probabilidad, según el enunciado es del 25 % para l@ alumn@s de centros públicos y del 28 % para l@s de centros privados: P (S/O) = 0.25 y P (S/A) = 0.28 (observa, estas serían probabilidades condicionadas)
Consideraremos $\bar{S}$ , el suceso contrario al anterior, es decir sacar una nota menor o igual a 7 puntos, cuyas probabilidades calculamos por diferencia al 1 o al 100%

Vamos a colocar todos estos datos en un árbol:

a) Para este apartado usaremos el Teorema de la Probabilidad Total, que es la suma de todas las probabilidades de las ramas involucradas.

P( $\bar{S}$ ) = P (O) $\cdot$ P ( $\bar{S}$ /O) + P (A) $\cdot$ P ( $\bar{S}$ /A) = 0.70 0.75 + 0.30 0.72 = 0.74

b) P (S/O), esta es una probabilidad condicionada, porque los datos están en el mismo orden que en el árbol

P (S/O) = P (O) P (S/O) = 0.70 0.25 = 0.18

c) P (O/S), en este apartado ya no están en el orden del árbol. Primero sé que ha sacado más de un siete y después que es de un centro público. Aplicamos Teorema de Bayes

P(O/S) = $\frac{P (O\cap S)}{P(S)}$

$P (O\cap S)$ = P (O) $\cdot$ P (S/O) = 0.18

P(S) = 1 – P( $\bar{S}$ ) = 1 – 0.74 = 0.26

P(O/S) = $\frac{P (O\cap S)}{P(S)}$ = $\frac{0,18}{0,26}$ = 0.69

d) Serán incompatibles si P( $O\cap \bar{S}$ ) = 0

P( $O\cap \bar{S}$ ) = P (O) $\cdot$ P ( $\bar{S}$ /O) $\neq$ 0, por lo que no son incompatibles. Estos sucesos son compatibles, pueden darse a la vez.

Ahora es el turno de unos ejercicios que te voy a dejar para practicar, vamos, a por ellos!

1.- Una bolsa contiene bolas numeradas del 1 al 8. Se extrae al azar una bola. Considerar los siguientes sucesos: A = salir par; B = salir impar y C = salir 4. Calcular P (A $\cup$ B), P (A $\cup$ C) y (B $\cup$ C)

2.- Una urna contiene 20 bolas rojas, 15 azules y 7 verdes. Hallar:

a) La probabilidad de que no sea azul

b) La probabilidad de que sea verde o azul

3.- Hallar la probabilidad de obtener dos reyes al extraer dos cartas de una baraja española

a) Con devolución de la primera carta (reemplazamiento)
b) sin devolución de la primera carta

4.- Una urna contiene 9 bolas blancas y 5 negras. Se extraen al azar dos bolas, sin devolución de la primera. Hallar la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color.

5.- En una población animal el 16% de los machos y el 9% de las hembras están enfermos. Hay triple número de machos que de hembras. Si se elige al azar un individuo de esa población, ¿cuál es la probabilidad de que esté enfermo?

6.- Supongamos una población en la que el 1% tiene una enfermedad. Empleamos un test que permite detectar esta enfermedad 8 veces sobre 10 en un sujeto enfermo (test positivo) y detectar la no existencia de dicha enfermedad 9 veces sobre 10 en un sujeto sano (test negativo). ¿Cuál es la probabilidad de que un sujeto que ha dado test positivo esté enfermo?

7.- Un cirujano especialista en trasplantes de corazón, ha estimado que la probabilidad de que un paciente sufra una grave complicación en la administración de la anestesia es 0.02; la probabilidad de que esta complicación se produzca por la intervención es 0.1 y la probabilidad de que la complicación se de en la fase posterior a la operación por problemas de rechazo es 0.15. Halla la probabilidad de que en una intervención el paciente no sufra ninguna de estas complicaciones.

8.- La encuesta a un grupo de 160 personas revela que 96 de ell@s adquieren la publicación A, 48 adquieren la publicación B y 16 adquieren la C.

¿Cuál es la probabilidad de que al escoger al azar a dos de ellos sean compradores de la publicación A?

9.- Un 35% de l@s soci@s de una asociación juvenil son seguidores de un grupo musical A, un 30% de otro grupo B y a un 15% le gustan los dos grupos. Calcula la probabilidad de que al elegir un@ soci@ al azar sea seguidor de B, sabiendo que no le gusta A

10.- La probabilidad de que un hombre y una mujer de 18 años vivan 50 años más es 0.6 y 0.7, respectivamente. Calcula la probabilidad de que:

a) Ambos vivan 50 años más

b) Viva solo la mujer

c) No viva ninguno de los dos más de 50 años

11.- Los datos de votantes de las últimas elecciones correspondientes a una determinada ciudad muestran que el 73.5% de los hombres cesados ejerció su derecho a voto, mientras que el porcentaje de mujeres censadas que no lo ejerció fue del 42.9%. El censo de esta ciudad está compuesto por un 48% de los hombres y un 52% de las mujeres.

De entre todas las personas censadas, escogemos una al azar. Calcula la probabilidad de que esta persona:

a) Haya votado

b) Haya votado y sea hombre

c) Sabiendo que ha votado, sea mujer

12.- Dados los sucesos A y B de un experimento aleatorio, con probabilidades P (A) = 4/9; P (B) =1/2 y P(A B) = 2/3. Se pide:

a) comprobar si los sucesos A y B son incompatibles o no

b) Comprobar si los sucesos A y B son independientes o no

c) Calcular P( /B)

13.- En una biblioteca se dispone de dos estanterías A y B. En A hay 20 novelas, 10 ensayos y 10 de terror y en la B hay 12 novelas y 8 libros de terror. Elijo una estantería al azar y de ella un libro, también al azar.

Calcula la probabilidad de que:

a) El libro elegido sea de terror

b) El libro elegido sea de terror, sabiendo que estaba en la estantería B

14.- En una clase de bachillerato, el 60% de l@s alumn@s aprueban matemáticas, el 50% aprueba inglés y el 30% aprueba las dos asignaturas.

Calcula la probabilidad de que elegida una persona al azar:

a) Apruebe alguna de las dos asignaturas

b) Apruebe matemáticas sabiendo que ha aprobado inglés

15.- En una empresa, el 20% de l@s emplead@s son matemátic@s, el 50% son ingenier@s y el resto no tiene carrera.

Entre los matemátic@s, el 40% ocupa un cargo directivo en la empresa, mientras que en el caso de l@s ingenier@s este porcentaje se reduce a la mitad y solo el 5% de l@s que no tienen carrera, ocupan uno de esos puestos. Elegido un empleado al azar, calcula la probabilidad de:

a) Ocupe un cargo directivo

b) Si ocupa un cargo directivo, ¿cuál es la probabilidad de que sea matemátic@?

Módulo I.- Probabilidad

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