Integrales Definidas- Módulo VI - Definidas y Aplicaciones Copy

Bienvenidos al módulo final. En este módulo, vamos a aprender a realizar integrales definidas y además sus aplicaciones.

De esta forma veremos de forma más clara para qué podemos usar el cálculo integral

– INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES-

Definimos la integral definida de una función f (x) en el intervalo [a, b] como el área limitada por la función f(x), el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b

Se representa como: $\int_{a}^{b} f(x) dx$ (con b $>$ a) y se lee: integral definida de f (x) entre a y b.

Propiedades de las integrales definidas:
- $\int_{a}^{a} f(x)dx$ = 0, sea cual sea la función f (x)
- $\int_{a}^{b}f(x) dx$ = $\int_{b}^{a} f(x) dx$ , es decir, si cambiamos los límites de integración, la integral definida cambia de signo
- $\int_{a}^{b} k\cdot f(x)dx$ = k . $\int_{a}^{b}f(x) dx$
- $\int_{a}^{b} f(x)\pm g(x)dx$ = $\int_{a}^{b}f(x)dx \pm \int_{a}^{b}g(x)dx$
- $\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$ .Si c $\epsilon$ (a,b) ,entonces la integral definida entre a y b, puede descomponerse como la suma de la integral definida entre a y c y la integral definida entre c y b
- Si f es una función continua en [a, b], entonces existe un número c , tal que: $\int_{a}^{b}f(x)dx = f(c)\cdot (b-a)$ . Esta propiedad es la que conocemos como el Teorema del Valor Medio del cálculo Integral

Para calcular estas integrales definidas, usaremos la REGLA DE BARROW, que dice que: la integral definida de una función f(x), continua en [a, b], es igual a la diferencia del valor que toma la primitiva en los límites de integración: $\int_{a}^{b}f(x)dx = \sqsubset F(x)\sqsupset _{a}^{b} = F(b)-F(a)$

Para calcular este tipo de integrales definidas, vamos a seguir los siguientes pasos:

1º) Calculamos la primitiva (F (x)), de f (x)

2º) Calculamos F (b) y F (a) y hacemos su diferencia

3º) Escribimos el resultado

Estos pasos, con la práctica los haremos de forma más mecánica y no será necesario hacerlos de uno en uno

por ejemplo: $\int_{1}^{3}(x-2) dx$

1º) $\int(x-2)dx= x^{2}-2x+K$

2º) F (3) = $3^{2}-2\cdot3+k$ = 3 + K

F (1) = $1^{2}-2\cdot 1+k$ = -1 + K

F (3) – F (1) = 3 + K – (-1 + K) = 4

3º) $\int_{1}^{3}(x-2)dx$ = F (3) – F (1) = 4

Al realizar la diferencia de F (b) – F (a) desaparecen los valores constantes, por esto, en estas integrales definidas no necesitaremos sumar la constante.

Estas integrales definidas, que representan como ya hemos dicho, el área encerrada por una función con el eje OX y las rectas x = a y x = b, podemos encontrarnos con varios casos:

Si la función está por encima del eje X, tendremos un área positiva
Si a función está por debajo del eje X, tendremos un área negativa y para dar el resultado, haremos su valor absoluto
Ojo, la función puede tener una parte por encima y otra por debajo del eje, por eso, es importante una buena representación de la función, ya que de esto dependerá el resultado de la integral definida

Este tipo de primitivas, también nos permitirá calcular el área encerrada entre dos curvas, o varias funciones, sean del tipo que sean. Para ello, representamos ambas funciones lo mejor que podamos y calcularemos el área mediante integración, puesto que el área comprendida entre dos curvas f y g, es igual al área comprendida entre la función diferencia, f-g y el eje OX (a la hora de realizar esta diferencia, siempre tenemos que restar la función que va por encima menos la que va por debajo). Pueden ocurrir los siguientes casos:

Caso I: Que ambas curvas sean positivas y no se corten

A = $\int_{a}^{b}f(x)dx-g(x)dx$

Caso II: Ambas curvas son de distinto signo y no se cortan

A = A₁ + A₂ = $\int_{a}^{b} f(x)-g(x)dx$

Caso III: Ambas curvas se cortan

A = A1 + A2 = $\int_{a}^{c}f(x)-g(x)dx+\int_{c}^{b}g(x)-f(x)dx$

Donde c, es el punto de corte de ambas funciones

Lo más conveniente es representar ambas funciones y observar cómo es esa área, para no errar en su cálculo.

Ahora es el momento de dejaros unos ejemplos de los ejercicios de estos temas (en la pestaña de materiales)

Y por último, os dejo los ejercicios de este módulo para practicar:

a) Calcula la integral: $\int_{-1}^{4} (x^{2}+x-2)dx$

b) Calcula el área que determina la curva y = $x^{3}-5x^{2}+6x$ y el eje X

c) Halla el área limitada por las parábolas $y=\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{2}=2x$ . Representar el recinto cuya área se pide

d) Considera la función $f(x)= -x^{2}+mx$ , siendo $m> 0$ . Calcula el valor de m para que el área del recinto plano limitado por la gráfica de f y la recta y = -mx, sea $36u^{2}$

e) Representa y calcula el recinto limitado entre las curvas $y=-x^{2}+4x-3$ e $y=x^{2}-4x+3$

f) Dada la función $f(x)=x\cdot e^{-x^{2}}$ ; se pide representar gráficamente la función y determinar el área limitada por dicha curva y el eje de las abscisas de los puntos mínimo y máximo de la función

g) Calcular el valor de k para que se cumpla: $\int_{0}^{1}k\cdot (x^{2}+2)dx = 1$

h) Calcular una primitiva de $f(x)=\frac{1}{x^{2}}+3$ , cuya gráfica pase por el punto (1, 3)

i) Dada la función $y=\frac{x}{x^{2}+2}$ , calcular el área encerrada por la curva, el eje X y las rectas perpendiculares al eje X que pasan por el máximo y el mínimo de la función dada

$y= \frac{-5}{x^{2}-9}$ j) Encuentra una función de la que se sabe que su derivada es $f'(x)=x^{3}+2x$ y que f (2) = 5

k) Calcular el área de la región del semiplano $y\geq 0$ limitada por la curva $y = ln x$ , su tangente en x= 1 y la recta x = 3

l) Hallar el área del rento plano limitado por y = 1 e $y=\frac{-5}{x^{2}-9}$

m) Determinar f(x), sabiendo que f”’ (x) = 24x; f(0) = 0; f ‘(0) = 1 y f” (0) = 2

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