Integrales- Ejercicios de pruebas de acceso a la Universidad – Copy

Por último, os dejo unos ejercicios propuestos en las pruebas de acceso a la Universidad de Extremadura desde el año 2000 hasta el año 2020; así podréis haceros una idea de qué suelen preguntar en estos exámenes y seguís practicando.

A por ellas!

1.- Calcular, integrando por partes, el valor de: $\int_{1}^{2}x^{2} \cdot ln x dx$

2.- Calcular el área limitada por la parábola $y = \sqrt{2}x^{2}$ , la circunferencia $x^{2}+y^{2}=1$ y el eje OX, que aparece rayada en la figura

3.- Determinar una función f(x) cuya segunda derivada sea $f''(x)=x\cdot e^{x}$

4.- Calcular, con el cambio de variable $t^{2}=x+3$ , el valor de: $\int_{1}^{6}\frac{x}{\sqrt{x+3}}dx$

5.- Determinar una constante positiva “a”, sabiendo que la figura plana limitada por la parábola $y = 3ax^{2}+2x$ , la recta y = 0 y la recta x= a tiene área $(a^{2}-1)^{2}$

6.- Calcular el valor de: $\int_{0}^{1}\frac{x}{e^{x^{2}}}dx$ ( puede hacerse con el cambio de variable $t = -x^{2}$ )

7.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por la curva $y=x^{3}-x$ y su tangente en el punto de abscisa x = 1.

Calcula su área

8.- Definir el concepto de primitiva de una función y explicar su relación con el concepto de integral definida

9.- Representar gráficamente la figura plana limitada por las parábolas $y=4-x^{2}$ e $y = x^{2}-4$ .

Calcula su área

10.- Calcula el valor de la integral: $\int_{0}^{1}x\cdot e^{-x} dx$

11.- Representa gráficamente el recinto plano limitado, en la región donde la coordenada x es positiva, por la recta x = 1, la hipérbola xy = 1,y la recta 6y-x+1= 0.

Calcular su área

12.- Calcular una primitiva de la función $f(x)= (x^{2}+1)^{-1}\cdot x$ , que se anule para x = 2

13.- Representar gráficamente el recinto limitado por la recta y =x-2 y la parábola de ecuación $y^{2} = x$

14.- Calcular el valor de la integral $\int_{e}^{^{e^{2}}}\frac{dx}{x\cdot ln x}$ , donde ln denota el logaritmo neperiano. Puede hacerse con el cambio de variable $x=e^{t}$

15.- Calcular el valor de $\int_{0}^{1}\frac{dx}{e^{x}+1}$ ( puede hacerse con el cambio de variable t = $e^{-x}$ )

16.- Representar gráficamente la figura plana limitada por la curva $y = e^{x}$ , su recta tangente en el punto de abscisa x = 0 y la recta x = 1.

Calcular su área

17.- Representar gráficamente el recinto del plano limitado, en la región donde la abscisa x sea positiva, por la curva $y=x^{3}+x$ , por la recta y = 2x.

Calcular su área

18.- Representar gráficamente la figura plana limitada en el primer cuadrante ( $x\geq 0, y\geq 0$ ) limitada por la recta y = x y la curva $x= y^{3}$ .

Calcula su área

19.- Calcular el valor de la integral $I=\int_{1}^{2}x^{3}\sqrt[2]{x^{2}-1}dx$ ( Puede hacerse con $x^{2}-1 = t^{3}$ )

20.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por las curvas $y = e^{x}$ e $y=e^{-x}$ , y por la recta x = 1.

Calcular su área

21.- Calcular el valor de la integral $I = \int_{1}^{e}\frac{Lx}{x^{2}}dx$ , donde L denota el logaritmo neperiano

(puede hacerse por partes)

22.- Calcular una primitiva de la función $f(x)=(x+1)^{2} \cdot x^{-1/2}$ que se anule en x = 1

23.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por la recta x – y = 1 y por la curva de ecuación $y=\sqrt{x-1}$

Calcular su área

24.- Representar gráficamente la figura plana limitada por la curva $y=x^{4}$ , su recta tangente en el punto P (1,1) y el eje OY.

Calcular su área

25.- Halla una primitiva de la función $f(x)=x \cdot e^{x}$

26.- Enuncia la Regla de Barrow.

Representa la gráfica de la función $f(x)=\int_{1}^{x}t dt$

27.- Representa la figura plana limitada por la gráfica de la función f (x) = cos x, en el intervalo $\frac{-\pi }{2}< x< \frac{\pi }{2}$ , y por la recta y = ½

Calcula su área

28.- Representa gráficamente el recinto plano limitado por las parábolas y = 1- x² e y = 2x²y calcula su área

29.- Calcula el valor de la integral $I=\int_{3}^{10}(x-2)^{1/3}dx$

30.- Representa gráficamente la figura plana limitada por la curva $y=2x^{3}$ , su recta tangente en el origen de coordenadas y la recta x = 2.

Calcula su área

31.- a) Enuncia el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral

b) Calcula el punto al que se refiere dicho teorema para la función $f(x)=3x^{2}+1$ en el intervalo [0, 3]

32.- a) Representa gráficamente el recinto plano limitado por la recta $y+2x-6=0$ y la parábola $y=-x^{2}+2x+3$

b) Calcula su área

33.- Calcula la función f (x) cuya gráfica pasa por el punto A (0, 1), es decir f (0) = 1, y que tiene como derivada la función $f'(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$

34.- a) Define el concepto de primitiva de una función

b) Di, razonando la respuesta, si las funciones $F_{1}(x)=sen^{2}x$ y $F_{2}(x)=-cos^{2}x$ son primitivas de una misma función

35.- a) Exprese $f(x)=x\cdot \left | x \right |$ como una función definida a trozos y dibuje su gráfica de forma aproximada

b) Calcule la integral definida: $\int_{-1}^{1}x\cdot \left | x \right |dx$

c) Calcule el área del recinto plano limitado por la gráfica de f (x), el eje OX, la recta x = -1 y la recta x=1

36.- a) Escriba la fórmula o regla de la integración por partes

b) Aplíquela para calcular la integral indefinida $I=\int x^{2}\cdot cos x dx$

37.- Dada la parábola de ecuación $y=-x^{2}-2x+3$ ; sea r su recta tangente en x = -1 y sea s su recta tangente en x = 1

a) Calcule las ecuaciones de r y de s

b) Represente, de forma aproximada, el recinto plano limitado por la parábola, la recta r y la recta s

c) Calcule el área de dicho recinto

38.- a) Calcule la primitiva de la función racional $f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$

b) Calcule la integral $I=\int \frac{1}{cos x}dx$ (puede utilizarse el cambio t = sen x)

39.- a) Represente, de forma aproximada, la recta x = 1 y las curvas $y=\frac{x^{2}}{2}$ , $y= \frac{4}{x}$ , y señale el recinto plano limitado por ellas

b) Calcule el área de dicho recinto

40.- a) Diga cuándo una función F (x) es primitiva de otra función f (x)

b) Calcule una primitiva F (x) de la función $f(x)=x\cdot e^{x^{2}}$ que cumpla que F (0) = 0

41.- a) Represente, de forma aproximada, la curva $y=x^{4}+x^{3}+x^{2}+1$ y la recta tangente a dicha curva en el punto Q₀ (-1, 4)

b) Señale el recinto plano limitado por el eje OY y por la curva y la recta del apartado anterior, y calcule el área de dicho recinto

42.- Calcula el valor de la integral $I=\int_{1}^{2} (\frac{x-1}{8})^{2/3}dx$

43.- a) Represente, aproximadamente, el recinto plano limitado por la parábola $y=2x^{2}$ y la parábola $y=x^{2}+4$

b) Calcule el área de dicho recinto

44.- a) Represente, de forma aproximada, la figura plana limitada por la hipérbola xy = 1, su recta tangente en el punto A (1, 1) y la recta x = 2

b) Calcule el área de dicha región plana

45.- Calcule las primitivas de la función $f(x)=\frac{1}{e^{x}-e^{-x}}$ con $x> 0$

(puede utilizarse el cambio de variable $t=e^{x}$ )

46.- a) Represente, de forma aproximada, la figura plana limitada por la curva $y=-2(x-1)^{3}$ , su recta tangente en el punto A (1, 0) y la recta x = 0

(Puede ser útil calcular los cortes de la curva con los ejes de coordenadas)

b) Calcule el área de dicha figura plana

47.- a) Enuncie el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral

b) Calcule el punto al que se refiere dicho teorema para la función $f(x)=e^{x}+1$ en el intervalo [0, 1]

48.- Calcule, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva F (x) de la función $f(x)=x^{2}\cdot lnx^{2}$ que cumpla F (1) = 0

49.- a) Represente, de forma razonada, la gráfica de la función $f(x)=x\cdot e^{x^{2}-1}$

Señale el recinto plano limitado por dicha gráfica, el eje OX, la recta x = -1 y la recta x = 1

b) Calcule el área del recinto del apartado anterior

50.- a) Calcule los puntos de corte de la recta $r\equiv 2y-x=3$ y de la recta y = 1 con la rama hiperbólica $xy=2$ , $x> 0$

b) Dibuje el recinto plano limitado por las tres curvas del apartado anterior

c) Calcule el área de dicho recinto

51.- Calcule la siguiente integral de una función racional: $I=\int \frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}dx$

52.- a) Calcule el siguiente límite: $\lim_{x\rightarrow 0} x\cdot Lx$ (L $\rightarrow$ neperiano)

b) Estudie los extremos relativos, las asíntotas y el signo de la función definida en el intervalo abierto $(0, +\infty )$

c) Haciendo el cambio de variable $t=\sqrt{x-1}$ , calcule la primitiva de la siguiente función $f(x)=x\cdot \sqrt{x-1}$ , cuya gráfica pasa por el punto A (1, 0) del plano

53.- Calcule, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva de F (x) de la función $f(x)= (x+1)^{2} \cdot senx$ que cumpla F (0) = 1

54.- a) Halle, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva de la función $f(x)=1+Ln x$

b) Calcule el área de la región plana limitada por la curva $y=Lnx$ , la recta horizontal y = -1, y las rectas verticales x = 1 y x = e

55.- Calcule la siguiente integral de una función racional: $I=\frac{3x}{x^{2}+x-2}dx$

56.- Calcule el valor de la integral definida: $\int_{0}^{1}[\frac{2x}{x^{2}+1}+(2x-1)\cdot e^{x}+2\pi \cdot sen(2\pi x)]dx$

57.- a) Dibuje el recinto plano limitado por la parábola $y=1-x^{2}$ , el eje OX, la recta x = 0 y la recta x = 2

b) Calcule el área de dicho recinto

58.- Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función f (x) = sen x, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2 $\pi$

59.- Calcule la siguiente suma de integrales definidas: $\int_{1}^{2}\frac{-2}{x^{3}}dx + \int_{\pi }^{2\pi }-sen x\cdot e^{senx}+cos^{2}x\cdot e^{sen x}dx$ , cuyas integrales indefinidas asociadas son inmediatas

60.- Calcule la siguiente integral definida de una función racional: $\int_{2}^{e+1}\frac{x-2}{x^{2}-3x+2}dx$

61.- a) Dibuje el recinto plano limitado por la parábola $y=x^{2}-2$ y la recta $y=x$

b) Calcule el área de dicho recinto plano

62.- Calcule la suma de integrales definidas: $\int_{0}^{e-1}\frac{1}{x+1}dx + \int_{0}^{\pi }cos x\cdot e^{senx}dx$

63.- a) Represente, aproximadamente, la gráfica de la función $g(x)= sen 2x$ definida en el intervalo $[0,\pi ]$

b) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función $g(x)= sen 2x$ , el eje OX y las rectas x = 0 y x = $\pi$

64.- a) Diga cuándo una función F (x) es una primitiva de otra función f (x)

b) Diga cómo puede comprobarse, sin necesidad de hacer derivadas, si dos funciones F (x) y G (x) son primitivas de una misma función

c) Diga si las funciones $F(x)= \frac{senx+cosx}{senx}$ y $G(x)=\frac{1-sen^{2}x}{cosx\cdot senx}$ , razonando la respuesta, si son primitivas de una misma función

65.- Calcule la siguiente integral definida de una función racional: $\int_{1-\sqrt{5}}^{1+\sqrt{5}}\frac{x-1}{x^{2}-2x}dx$

66.- Calcule una primitiva F (x) de la función: $f(x)=\frac{-2x}{e-x^{2}}-2x\cdot e^{1-x^{2}}+2x\cdot cos(x^{2})$ , que cumpla F (0) = 1

67.- a) Calcule los puntos en los que la recta $y=x-1$ y el eje OX cortan a la parábola $y=-x^{2}+6x-5$

b) Dibuje, aproximadamente, el recinto plano limitado entre la parábola $y=-x^{2}+6x-5$ y la recta $y=x-1$

c) Calcule el área de dicho recinto plano

68.- Calcule el valor de la integral definida: $\int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{x}+1}dx$ donde $a=(e-1)^{2}$

[El cálculo de la integral indefinida puede hacerse con el cambio de variable $t=\sqrt{x}$ , (es decir, $x=t^{2}$ ), o también con el cambio de variable $u=\sqrt{x}-1$ ]

69.- a) escriba la “regla de la cadena” para la derivación de funciones compuestas

b) Calcule la derivada de la función: $f(x)=ln (cos^{2}x), \frac{-\pi }{2}< x< \frac{\pi }{2}$

c) Obtenga, utilizando el apartado b), una primitiva G (x) de la función g (x) = tg (x) que cumpla G (0) = 1

70.- Utilizando el cambio de variable $1+x^{2}=t^{2}$ , calcule una primitiva F (x) de la función $f(x)=\frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}$ que cumpla F (0) = 0

71.- a) Calcule los puntos en los que las dos curvas $y = e^{x}$ , $y=-x^{2}$ cortan a la recta x = 0 y a la recta x = 1

b) Calcule el área de la región plana limitada por las curvas $y = e^{x}$ , $y=-x^{2}$ , y por las rectas x = 0 y x = 1

72.- Calcule una primitiva F (x) de la función $f(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}-e^{x}+2x\cdot cos (x^{2})$ que cumpla que F(0) = 0

73.- a) Estudie el dominio, las asíntotas y máximos y mínimos de la función: $f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}$

b) Represente la gráfica de f (x) utilizando los datos del apartado anterior

c) Calcule una primitiva F (x) de la función f (x)

74.- Sea la función $f(x)=\left | x \right |=\begin{cases} & \text{x si } x> 0 \\ & \text {-x si } x< 0 \end{cases}$

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f (x)

b) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de f (x) y justifique si en el punto x = 0 la función f (x) tiene un mínimo relativo

c) Dibuje el recinto plano limitado entre las funciones $f(x)= \left | x \right |$ y $g(x)=2-x^{2}$ y calcule su área

75.- Sea la función $f(x)=Lnx$ para $x> 0$

a) ¿Se puede definir f (0) para que f (x) sea continua por la derecha de x = 0?

b) Estudie los máximos y mínimos relativos de f (x) para $x> 0$

c) Halle, si existe, la recta tangente a f (x) en x = 1

d) Calcule una primitiva F (x) de la función $f(x)=x\cdot Lnx$

76.- Sean las funciones $f(x)=x^{2}-4$ y $g(x)=\frac{1}{2}x^{2}-2$

a) Represente la región plana encerrada por las funciones f (x) y g (x)

b) Calcule el área de la región anterior

77.- Resuelve la integral: $\int \frac{5x+3}{x^{2}+2x-3}dx$

78.- Dadas las funciones $f(x)=x^{2}-2$ y $g(x)=x$

a) Represente la región plana encerrada por f (x) y g (x)

b) Calcule el área de la región anterior

79.- Calcule una primitiva F (x) de la función $f(x)=\frac{x-3}{x^{2}-1}$

80.- Definir el concepto de primitiva de una función.

¿Existe alguna primitiva de la función $f(x)=x^{-1}$ que no tome ningún valor negativo en el intervalo $1\leq x\leq 2$ ?

81- Sean las funciones $f(x)=1-x^{2}$ y $g(x)=-3$

a) Represente la región plana encerrada por las funciones f(x) y g(x)

b) Calcule el área de la región anterior

82.- Calcule la integral: $\int \frac{3x}{x^{2}-x-2}dx$

83.- Dadas las funciones $f(x)= x^{2}-4x+1$ y $g(x)=-x+1$

Se pide:

a) Represente de forma aproximada la región delimitada por las dos curvas

b) Calcule el área de dicha región

84.- Resuelva la integral: $\int \frac{-x+7}{x^{2}+x-2}dx$

11.- Ejercicios Acceso Universidad Extremadura

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