Hola, Bienvenid@ a este primer módulo del curso de representación de funciones.
Vamos a ver por módulo cada tipo de función para poder dominar el tema a la perfección
Preparad@s? listos? Empezamos!
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN:
Para hacer un estudio pormenorizado y que la representación de la función sea lo más real posible, te aconsejo que sigas todos estos pasos. Es importante que lo hagas, además para que todo quede muy bien justificado.
1.- DOMINIO, pudiendo destacar los siguientes casos:
– Función polinómica (tipo f(x) = axm+bxm-1+cxm-2+… ): dominio Dom f(x) = ℝ
– Función racional (fracción algebraica) (tipo f(x) = n(x)d(x) ): dominio excepto los valores que anulan el denominador
Condición:
d(x)≠0
– Función irracionales – raíz de índice par (tipo
f(x) = i (x) par
): el radicando (lo de dentro de la raíz) debe ser mayor o igual que cero
Condición: radicando (
i(x)≥0
)
– Función raíz de índice impar (tipo
f(x) = i(x)impar
): el dominio depende del radicando (de i(x))
– Función exponencial (tipo f(x) = : el dominio depende de la función que tenga el exponente (e(x))
– Función logarítmica (tipo f(x) = : el argumento (lo de dentro del logaritmo (a(x))) debe ser mayor que cero
Condición: a(x) 0
– Función trigonométrica (tipo f(x) = : el dominio dependerá de a(x)
– Función definida a trozos: el dominio dependerá de los tramos que intervengan en la función. Se calcula el dominio de cada uno de los tramos, según el tipo de función que sea, y después se resumen para el dominio general de la función
– Función valor absoluto: Hay que desdoblarla primero como una función definida a trozos y después calcular su dominio
2.- PUNTOS DE CORTE de la función con los ejes de coordenadas
– el punto de corte con el eje OX lo obtenemos sustituyendo la y por 0, es decir, igualando la función a 0
– el punto de corte con el eje OY lo obtenemos sustituyendo la x por 0
En caso de no encontrar ningún punto de corte (porque al resolver la ecuación nos salga una raíz negativa, por ejemplo) podemos recurrir al uso del teorema de Bolzano, donde podemos indicar si existe algún intervalo donde la función corte al eje x
El teorema de BOLZANO dice que: “ si f (x) es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f (a) f (b) , o lo que es lo mismo, f (a) f(b) 0, entonces, existe un valor de c (a, b), tal que la función se anula, es decir: f(c) = 0”
3.- SIMETRÍA de la función. Podemos encontrar los siguientes casos:
–Par, en este caso la función es simétrica respecto del eje OY y se dará siempre y cuando f(x) = f(-x)
– Impar, en este caso la función es simétrica respecto del origen de coordenadas, y se dará siempre y cuando f (-x) = -f(x)
4.- En algunas funciones será necesario también comprobar su CONTINUIDAD en algún punto en el que no sepamos qué ocurre (suele hacerse para funciones definidas a trozos, en el punto donde cambia el tramo)
Y para que una función sea continua en un punto debe cumplirse que:
- f (xo) (exista la función en el punto)
- para lo que es necesario que = , es decir, deben coincidir los límites laterales
- f (xo) =
Si esto no se cumple, tendremos que indicar el tipo de discontinuidad que presente la función en ese punto. Estos tipos podrán ser:
- Discontinuidad evitable, si ocurre que no existe la función en el punto, o el límite no coincide con el valor de la función en ese punto
- Discontinuidad de salto finito, si no coinciden los límites laterales, pero los valores son numéricos
- Discontinuidad de salto infinito, si no coinciden los límites laterales, pero los valores son infinito
5.- Estudio de las ASÍNTOTAS y RAMAS PARABÓLICAS de la función, que podrán ser:
– Asíntotas verticales: existen en los puntos que anulen el denominador de la función y existirán siempre y cuando el límite cuando x tiende a este punto de la función resulte infinito
Condición: ;
La función presenta una asíntota vertical en x = k
Si hacemos los límites laterales, obtendremos además la posición de la curva respecto de la asíntota, de tal forma que, si el resultado es , la función subirá y si es , la función bajará
– Asíntotas horizontales: existen siempre y cuando el grado del denominador sea mayor o igual que el del numerador
Condición:
La función presenta una asíntota horizontal en y = K
Para saber la posición de la curva respecto de la asíntota, haremos una tabla de valores, sustituyendo valores muy grandes (por ejemplo 1000 y -1000) tanto en la función como en la asíntota y así apreciaremos quién está por encima y quién por debajo
-Asíntotas oblicuas: existen siempre y cuando el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador.
No puede darse el caso de que una función presente una asíntota horizontal y una oblicua, puede tener una, otra o ninguna de las dos.
La asíntota será del tipo y = mx + n y calcularemos la m y la n haciendo lo siguiente:
m (esto se hace para igualar el grado del numerador y del denominador y poder obtener un valor numérico)
n (con esto también conseguimos que el resultado de este límite sea un valor numérico)
También podríamos obtener la asíntota oblicua dividiendo el numerador entre el denominador, obteniendo en el cociente el valor de dicha asíntota.
En el caso de que la función no presente ninguna asíntota, procederemos al estudio de sus ramas parabólicas, haciendo los límites siguientes: y para ver cómo se comporta la función en ambos casos
Para saber la posición de la curva respecto de la asíntota, haremos una tabla de valores, sustituyendo valores muy grandes (por ejemplo 1000 y -1000) tanto en la función como en la asíntota y así apreciaremos quién está por encima y quién por debajo
OJO.- Algunas funciones como las logarítmicas, las radicales y las exponenciales también presentan asíntotas. No solo las tenemos en las fracciones.
Así que, es importante comprobar las asíntotas en todas las funciones para que no se nos olvide y así queda justificado dónde presenta una asíntota una función o por qué no tiene asíntotas otra función.
6.- SIGNO DE LA FUNCIÓN, para el estudio de este punto vamos a recurrir a igualar la función a 0, f(x) = 0. Los valores obtenidos de la resolución de esta ecuación (que, si hemos calculado los puntos de corte con el eje OX, ya los tendremos).
Damos valores a la derecha y la izquierda de estos puntos y además de los puntos que representan asíntotas verticales y:
- donde f(x) 0, es decir positiva, la función quedará representada por encima del eje OX
- donde f(x) 0, es decir negativa, la función quedará representada por debajo del eje OX
7.- MONOTONÍA Y PUNTOS SINGULARES (crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos)
Para este punto haremos la derivada de la función y la igualaremos a 0 (f ’ (x) = 0). Los puntos que obtengamos, serán posibles máximos o mínimos de la función. Daremos valores a la derecha y la izquierda de estos puntos, así como de los valores que representen asíntotas verticales y:
- donde f ’ (x) 0, es decir positiva, la función tendrá un tramo creciente
- donde f ’ (x) 0, es decir negativa, la función tendrá un tramo decreciente
Los puntos donde haya un cambio de creciente a decreciente, serán valores máximos (que demostraremos más adelante); y los puntos donde haya un cambio de decreciente a creciente, serán valores mínimos (que también veremos cómo quedan demostrados)
8.- CURVATURA (concavidad, convexidad y puntos de inflexión)
Ahora, haremos la segunda derivada de la función (es decir, la derivada de la derivada) y la igualaremos a 0 (f ’’ (x) = 0). Los puntos que obtengamos, serán posibles puntos de inflexión de la función. Daremos valores a la derecha y la izquierda de estos puntos, así como de los valores que representen asíntotas verticales y:
- donde f ’’ (x) 0, es decir positiva, la función tendrá un tramo cóncavo (feliz)
- donde f ’’ (x) 0, es decir negativa, la función tendrá un tramo convexo (triste)
Los puntos donde haya un cambio de cóncava a convexa, serán los puntos de inflexión
9.- COMPROBACIONES Y/O DEMOSTRACIONES
Para demostrar que la función presenta un máximo de coordenadas ( ) debe ocurrir que f ’’ ( ) 0
Para demostrar que la función presenta un mínimo de coordenadas ( ) debe ocurrir que f ’’ ( ) 0
Para demostrar que la función presenta un punto de inflexión de coordenadas ( ) debe ocurrir que f ’’’ ( ) 0
10.- PERIODICIDAD: Solo en el caso de funciones trigonométricas, puesto que son las únicas periódicas que vamos a ver.
Para calcular el periodo de estas funciones igualamos lo de dentro del seno o del coseno a 2
11.- RESUMEN Y REPRESENTACIÓN
Toda la información obtenida, la resumiremos aquí y la colocaremos en los ejes de coordenadas para representar la función.
Solo en caso de que nos quede alguna duda o nos sea estrictamente necesario, recurriremos a una tabla de valores
ANEXO. – ¿QUÉ PINTA TIENE CADA TIPO DE FUNCIÓN?
- Funciones polinómicas de grado 1 tipo y = ax + b: RECTAS
La m, corresponde con la pendiente y si es positiva, la recta será creciente y si es negativa, decreciente.
Siempre pasan por el punto (0, b)
- Funciones polinómicas de grado 2 tipo y = a + bx + c: PARÁBOLAS
Si el valor de a es positivo la parábola será cóncava (feliz) y si es negativo será convexa (triste)
Tienen el vértice en el punto (
- Funciones de proporcionalidad inversa tipo: y = k/x: HIPÉRBOLAS
Dependiendo del valor de k estarán representadas en:
- el primer y tercer cuadrante si k es positiva
- el segundo y cuarto si k es negativa
- Funciones radicales de índice par tipo y = :
- Funciones Logarítmicas tipo y = log x
- Funciones exponenciales