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Módulo II.- Distribución Binomial

Otra manera de calcular la probabilidad de que algo suceda, es mediante este tipo de distribuciones. Son bastante sencillas de usar, así que vamos al lío.

 

MÓDULO II.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

 

Una DISTRIBUCIÓN BINOMIAL es una distribución de probabilidad que se representa por B (n, p), donde n es el número de ensayos (el número de veces que se repite el suceso) y p, la probabilidad de éxito (de que ocurra el suceso que estamos estudiando)

¿Cuándo vamos a usarla?

  • Cuando realicemos un experimento n veces y solo tengamos la opción de que salga bien (éxito) o mal (fracaso)
  • Cuando la probabilidad de éxito sea siempre la misma
  • Cuando el resultado del experimento, no dependa de lo que haya sucedido en otro anterior

La probabilidad, mediante este método la vamos a calcular mediante la siguiente fórmula: P(x = k)  = \binom{n}{k} \cdot p^{k}\cdot q^{n-k}   , donde n es el número de veces que se repite el suceso, k es el número de éxitos (lo que nos pidan), p es la probabilidad de éxito y q es la de fracaso (q= \bar{p}= 1 – p)

Será útil saber que:

  • P (x < a) = 1 – P (x \geq a)
  • P (x > a) = 1 – P (x \leq a)
  • es un número combinatorio que se resuelve:  \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}

Por último será útil que conozcas como calcular la media y la desviación típica de una distribución binomial, porque a veces se pueden usar para calcular la probabilidad del suceso, buscando sus valores en tablas.

La media será: \mu = n \cdot p

La varianza: \sigma ^{2} = n \cdot p \cdot q y por tanto,

La desviación típica sería: \sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot q}

 

  • n! es un número factorial que se resuelve multiplicando todos los números desde el valor de n hasta el 1 (por ejemplo: 4! = 4  3  2  1)

 

Vamos a ver un ejemplo: Una jugadora de baloncesto encesta el 90 % de las canastas que tira. Si lanza 8 canastas en un partido. Calcula la probabilidad de:

a) Encestar 7 canastas

b) Encestar todas las canastas

c) Encestar más de 6 canastas

d) Encestar al menos 6 canastas

e) Encestar al menos 1 canasta

f) Encestar menos de dos canastas

g) Encestar a lo sumo dos canastas

En este caso sabemos que es una binomial, porque el suceso tirar la canasta se repite 8 veces y siempre tiene la misma probabilidad de acertar. La probabilidad de encestar es 0.90. Por lo que la binomial quedaría descrita como B (8, 0.90)

a) En este apartado la k valdría 7 y, puesto que p = 0.90, q = 1-0.9= 0.1; por lo que:

P (x = 7) =  \binom{8}{7} \cdot 0,9^{7}\cdot 0,1^{1} = \frac{8!}{7!\cdot 1!}\cdot 0,9^{7}\cdot 0,1^{1} = 0.38

La probabilidad de encestar los 7 tiros sería de 0.38

 

b) La probabilidad de encestar todas las canastas, sería de la de acertar los 8 tiros, por lo que:

P (x = 8) =    \binom{8}{8} \cdot 0,9^{8}\cdot 0,1^{0} = \frac{8!}{8!\cdot 0!}\cdot 0,9^{8}\cdot 0,1^{0} = 0.43

Importante 0! = 1 y

 

c) P (x > 6) = P (x = 7) + P (x = 8) = 0.38 + 0.43 = 0.81

 

d) P (x \geq 6) = P (x = 6) + P (x = 7) + P (x = 8)

P (x = 6) =  \binom{8}{6} \cdot 0,9^{6}\cdot 0,1^{2} = \frac{8!}{6!\cdot 2!}\cdot 0,9^{6}\cdot 0,1^{2}= 0.15

P (x \geq 6) = P (x = 6) + P (x = 7) + P (x = 8)= 0.15 + 0.38 + 0.43 = 0.96

 

e) Importante: al menos 1, es el suceso contrario de ninguna

P (x \geq 1) = 1 – P (x = 0)

P (x = 0) =  \binom{8}{0} \cdot 0,9^{0}\cdot 0,1^{8} = \frac{8!}{0!\cdot 8!}\cdot 0,9^{0}\cdot 0,1^{8} = 1.10-8

P (x \geq 1 ) = 1 – P (x = 0) = 1 – 1.10-8 = 0.99

 

f) Encestar menos de dos canastas, es la probabilidad de que x sea menor que 2

P (x < 2) = P (x= 0) + P (x = 1) = 1.10-8 + 7.2.10-7 = 1.07. 10-8

P (x = 1) = \binom{8}{1} \cdot 0,9^{1}\cdot 0,1^{7} = \frac{8!}{1!\cdot 7!}\cdot 0,9^{1}\cdot 0,1^{7}   = 7.2.10-7

 

g) Encestar a lo sumo dos canastas, es la probabilidad de que enceste 2 o menos de 2

P (x  \leq 2) = P (x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) = 1.10-8 + 7.2.10-7 + 2.2.10-5 =  3.4.10-8

P (x = 2) =  \binom{8}{2} \cdot 0,9^{2}\cdot 0,1^{6} = \frac{8!}{2!\cdot 6!}\cdot 0,9^{2}\cdot 0,1^{6}  = 2.2.10-5

 

Pues hasta aquí, voy a dejarte ahora unos ejercicios para practicar. Tu turno!

EJERCICIOS MÓDULO II

 

1.- Una urna contiene 6 bolas con números pares y 9 bolas con números impares. Si hacemos diez extracciones con reemplazamiento, calcula la probabilidad de obtener número impar:

a) Alguna vez.

b) Más de 8 veces.

c) Halla la media y la desviación típica.

 

2.- El 5% de los huevos de un supermercado están rotos. Halla la probabilidad de que un@ client@ que compra una docena de huevos encuentre alguno roto.

 

3.- La probabilidad de que un cierto experimento tenga éxito es 0,4. Si repetimos el experimento 15 veces, calcula la probabilidad de que tenga éxito:

a) Alguna vez.

b) Menor de dos veces.

 

4.- En un instituto aprueban matemáticas el 80% de l@s alumn@s. Si elegimos al azar 10, calcula la probabilidad de que:

a) Aprueben todos l@s alumn@s

b) aprueben 8 alumn@s

c) apruebe al menos un@ alumn@

d) suspendan 3 alumn@s

 

5.- Un examen tipo test tiene 20 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro respuestas, de las que solo una es correcta. Si se contesta aleatoriamente, calcula:

a) La probabilidad de aprobar el examen, suponiendo que solo suman puntos las preguntas acertadas y no restan los fallos

b) la media y la desviación típica de la distribución

 

6.- El 30 % de los habitantes de un pueblo ve un concurso de televisión. Desde el concurso se llama por teléfono a 10 personas del pueblo, elegidas al azar. Calcular la probabilidad de que, de las 10 personas elegidas, estuvieran viendo el concurso:

a) tres o menos personas

b) ninguna

 

7.- En una partida de bombillas, el 10% son defectuosas. Si se eligen al azar 6 bombillas. Calcula la probabilidad de que:

a) no haya ninguna defectuosa

b) de que 2 o más estén defectuosas

c) la media y la desviación típica de la distribución.

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