Módulo II.- Puntos y Rectas en el espacio

Hola, bienvenid@s al módulo II.

En este módulo vas a aprender cómo son los puntos y las rectas en el espacio y sus posiciones relativas.

De esta forma, al final del módulo, podrás trabajar de forma muy sencilla, con estos elementos.

MÓDULO II.- PUNTOS Y RECTAS EN EL ESPACIO

II.a.- PUNTOS. – Los puntos los expresaremos siempre con sus tres coordenadas. $P (p_{x}, p_{y}, p_{z})$

II.b.- RECTAS. – Las rectas van a venir definidas siempre por un punto por el que pasan, P, y por su vector director, $\vec{d}$

Las diferentes ecuaciones de la recta que te vas a encontrar son:

Ecuación VECTORIAL: $(x, y, z) = (p_{x}, p_{y}, p_{z}) + t(d_{x}, d_{y}, d_{z})$
Ecuaciones PARAMÉTRICAS: $\left\{\begin{matrix} x= p_{x}+t\cdot d_{x} & & \\ y = p_{y}+t\cdot d_{y}& & \\ z= p_{z}+t\cdot d_{z}& & \end{matrix}\right.$
Ecuación CONTINUA: $\frac{x-p_{x}}{d_{x}} = \frac{y-p_{y}}{d_{y}}=\frac{z-p_{z}}{d_{z}}$
Ecuación IMPLÍCTA o GENERAL: $\left\{\begin{matrix} ax+by+cz+d = 0\\ a'x+b'y+c'z+d'= 0 \end{matrix}\right.$

En este caso la recta queda definida como corte de dos planos, puesto que cada una de las ecuaciones que aquí aparecen representa un plano.

Ahora vamos a ver en qué formas nos pueden pedir que calculemos la ecuación de una recta y cómo resolverlo con algunos ejemplos:

a) Recta que pasa por dos puntos: Calcula la recta r que pasa por los puntos A (1, -2, 4) y B (0, 1, -1)

Como he mencionado anteriormente, vamos a necesitar un punto, podemos usar cualquiera de los que nos dan, y un vector director.

Pasos:

Calcular el vector director, siendo éste el que une ambos puntos
Decidimos qué punto usar
Colocamos los datos en la ecuación que queramos o nos pidan

Vector $\vec{AB}=\vec{d}$ = B – A = (0, 1, -1) – (1, -2, 4) = (-1, 3, -5)

Punto B = (0, 1, -1)

Ecuación vectorial de la recta r: (x, y, z) = (0, 1, -1)+ t (-1, 3, -5)

Ecuaciones paramétricas: $\left\{\begin{matrix} x= 0+t\cdot (-1) & & \\ y = 1+t\cdot 3& & \\ z= (-1)+t\cdot (-5)& & \end{matrix}\right.$ = $\left\{\begin{matrix} x= -t\ & & \\ y = 1+3t& & \\ z= -1-5t& & \end{matrix}\right.$

Ecuación continua: $\frac{x-0}{-1} = \frac{y-1}{3}=\frac{z-(-1)}{-5}$ = $\frac{x}{-1} = \frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{-5}$

Para obtener la ecuación implícita o general, es decir como corte de dos planos, multiplicamos de dos en dos, en cruz, las fracciones de la continua:

$\frac{x}{-1} = \frac{y-1}{3}$ ; 3x = (-1) (y-1) ; 3x = -y+1; 3x+y-1= 0

$\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{-5}$ ; (-5) (y-1) = 3 (z+1); -5y+5 = 3z +3; -5y -3z +2 = 0

quedando la ecuación general de la siguiente manera: $r\equiv \left\{\begin{matrix} 3x+y-1= 0\\ -5y-3z+2 = 0 \end{matrix}\right.$

b) Recta paralela a otra que pasa por un punto: Calcula la recta s, paralela a $r\equiv \left\{\begin{matrix} x= -t\\ y = 1+3t \\ z= -1-5t \end{matrix}\right.$ , y que pasa por el punto A (0, -1, 2)

Pasos:

Obtener el vector director de s, al ser paralela a r, vamos a usar el mismo vector director de r.
Colocamos los datos en la ecuación que queramos o nos pidan

En este caso el vector director de r, es el factor que está multiplicando al parámetro t, es decir $\vec{d_{r}}= \vec{d_{s}}$ = (-1, 3, -5)

Ecuación vectorial de la recta r: (x, y, z) = (0, -1, 2)+ t (-1, 3, -5)

Ecuaciones paramétricas: $\left\{\begin{matrix} x= 0+t\cdot (-1) & & \\ y = -1+t\cdot 3& & \\ z= 2+t\cdot (-5)& & \end{matrix}\right.$ = $\left\{\begin{matrix} x= -t\ & & \\ y = -1+3t& & \\ z= 2-5t& & \end{matrix}\right.$

Ecuación continua: $\frac{x-0}{-1} = \frac{y-(-1)}{3}=\frac{z-2}{-5}$ = $\frac{x}{-1} = \frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{-5}$

Para obtener la ecuación implícita o general, es decir como corte de dos planos, multiplicamos de dos en dos, en cruz, las fracciones de la continua:

$\frac{x}{-1} = \frac{y+1}{3}$ ; 3x = (-1) (y+1) ; 3x = -y-1; 3x+y+1= 0

$\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{-5}$ ; (-5) (y+1) = 3 (z-2); -5y-5 = 3z -6; -5y -3z +1= 0

quedando la ecuación general de la siguiente manera: $s\equiv \left\{\begin{matrix} 3x+y+1= 0\\ -5y-3z+1 = 0 \end{matrix}\right.$

c) Recta perpendicular a otra que pasa por un punto: Calcula la recta s, perpendicular a $r\equiv \left\{\begin{matrix} x= -t\\ y = 1+3t \\ z= -1-5t \end{matrix}\right.$ , y que pasa por el punto A (0, -1, 2)

Pasos:

Obtener el vector director de s, al ser perpendicular a r, vamos a usar un vector perpendicular al vector director de r, es decir, su producto escalar debe dar 0; para ello vamos a cambiar dos coordenadas de sitio, a una le cambiamos el signo y a la tercera que no hemos usado, le damos el valor 0 (muy importante, verificar que el producto escalar da 0)
Colocamos los datos en la ecuación que queramos o nos pidan

En este caso el vector director de r, es el factor que está multiplicando al parámetro t, es decir $\vec{d_{r}}$ = (-1, 3, -5). Uno perpendicular sería: $\vec{d_{s}}$ = (3, 1, 0).

$\vec{d_{r}}\cdot \vec{d_{s}}$ = (-1, 3, -5) (3, 1, 0) = -3+3+0 = 0, se verifica la condición de perpendicularidad.

Ecuación vectorial de la recta r: (x, y, z) = (0, -1, 2) + t (3, 1, 0)

Ecuaciones paramétricas: $\left\{\begin{matrix} x= 0+t\cdot 3 & & \\ y = -1+t\cdot 1& & \\ z= 2+t\cdot 0& & \end{matrix}\right.$ = $\left\{\begin{matrix} x= 3t\ & & \\ y = -1+t& & \\ z= 2& & \end{matrix}\right.$

Ecuación continua: $\frac{x-0}{3} = \frac{y-(-1)}{1}=\frac{z-2}{0}$ = $\frac{x}{3} = \frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{0}$

Para obtener la ecuación implícita o general, es decir como corte de dos planos, multiplicamos de dos en dos, en cruz, las fracciones de la continua:

$\frac{x}{3} = \frac{y+1}{1}$ ; x = (3) (y+1) ; x = 3y+3; x-3y-3= 0

$\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{0}$ ; (0) (y+1) = 1 (z-2); 0 = z -2; z -2= 0

quedando la ecuación general de la siguiente manera: $s\equiv \left\{\begin{matrix} x-3y-3= 0\\ z-2 = 0 \end{matrix}\right.$

d) Cómo pasar de las ecuaciones implícitas a las paramétricas de una recta: Esto nos va a resultar bastante útil, puesto que podremos trabajar la recta mejor en este tipo de ecuación

Vamos a verlo con un ejemplo: dada la recta $r\equiv \left\{\begin{matrix} x+y+1=1\\ -x-2y+z= 0 \end{matrix}\right.$

Lo primero es reducir el número de incógnitas, para ello vamos a hacer una reducción (E₁+E₂), quedando la siguiente ecuación con dos incógnitas; $-y+2z = 1$

En este momento, no podríamos resolver nada, es el momento de darle valor a un parámetro; por ejemplo, z = t

Quedando: $-y+2z = 1 ; -y+2t = 1; y = 2t-1$

Si sustituimos estas formas paramétricas en cualquiera de las dos del enunciado, conseguiremos expresar la x dependiendo del parámetro t también.

$x+y+z = 1; x = -y-z+1 = - (2t-1) -t+1 ; x = -3t+2$

Quedando así: $r\equiv \left\{\begin{matrix} x= 2-3t\\ y = -1+2t \\ z= t\end{matrix}\right.$

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO:

Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano, lo primero que vamos a sacar es el vector director de cada una de las rectas y vamos a estudiar si son proporcionales y, por tanto, paralelos.

Si $\vec{d_{r}}\left | \right |\vec{d_{s}}$ (son paralelos) $\rightarrow \frac{d_{rx}}{d_{sx}} = \frac{d_{ry}}{d_{sy}}= \frac{d_{rz}}{d_{sz}}$ .

En este caso las rectas serán paralelas o coincidentes, para saber en cuál de los dos casos estamos, sacamos un punto de una de las rectas y verificamos si pertenece o no a la otra. Si pertenece, ambas rectas serán coincidentes y si no pertenece, serán paralelas.

En el caso, de que los vectores no sean paralelos, las rectas serán secantes o se cruzan. Sabremos en cuál de los casos estamos observando la dependencia de los vectores. Tomamos un punto de cada una de las rectas y hacemos el vector que los une ( $\vec{PQ}$ ) y si los vectores $\vec{PQ}, \vec{d_{r}} y, \vec{d_{s}}$ son dependientes, es decir coplanarios y por tanto el determinante formado por ellos dará 0, las rectas se cortan; en caso contrario, se cruzan

Otra manera bastante sencilla de estudiar la posición relativa de dos rectas es mediante el estudio de rangos. De tal forma que:

Rectas coincidentes

Rg M = Rg M’ = 1

Sist. Comp. Indeter.

$\vec{d_{r}}\left | \right |\vec{d_{s}}$

$P\epsilon r$

$P\epsilon s$

Rectas paralelas

Rg M =1 Rg M’= 2

Sistema Incompatible

$\vec{d_{r}}\left | \right |\vec{d_{s}}$

$P\epsilon r$

P no pertenece a s

Rectas que se cortan (*)

Rg M = Rg M’= 2

Sist. Comp. Indeter.

$\left | M' \right |= 0$

Rectas que se cruzan

Rg M =2 Rg M’= 3

Sistema Incompatible

$\left | M' \right |\neq 0$

(*) Podemos calcular el punto de corte resolviendo el sistema de ecuaciones que forman las ecuaciones de las dos rectas. En el caso de que las ecuaciones de las rectas estén en forma paramétrica, igualamos por coordenadas hasta obtener el valor de uno de los parámetros, que, al sustituirlo en la recta correspondiente, nos dará las coordenadas de x, y y z del punto de corte

Siendo $M=\begin{pmatrix} d_{rx} & d_{sx}\\ d_{ry}&d_{sy} \\ d_{rz}& d_{sz} \end{pmatrix}$ y $M'= \begin{pmatrix} d_{rx}& d_{sx} & v_{x}\\ d_{ry}&d_{sy} & v_{y}\\ d_{rz}& d_{sz} & v_{z} \end{pmatrix}$

(El vector $\vec{v}$ es un vector formado por un punto de una de las rectas y otro punto de la otra)

Vamos a ver algunos ejemplos:

a) Sean las rectas $r\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1-5t\\ y = 2+3t \\ z= -5+t \end{matrix}\right.$ y $s\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1\\ y = 1 \\ z= \lambda \\\end{matrix}\right.$

Sacamos los vectores de ambas rectas y un punto de cada una de ellas para formar las matrices y hacer el estudio de rangos:

$\vec{d_{r}}$ = ( -5, 3, 1)

P r = (1, 2, -5)

$\vec{d_{s}}$ = (0, 0, 1)

Q $\epsilon$ s = (1, 1, 0)

$\vec{PQ}$ = (0, -1, 5)

$M=\begin{pmatrix} -5 & 0\\ 3&0 \\ 1& 1 \end{pmatrix}$ y $M'= \begin{pmatrix} -5& 0 & 0\\ 3&0 & -1\\ 1& 1 & 5 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 3 &0 \\ 1&1 \end{vmatrix} = 3\neq 0$ ; Rg M = 2

$M'= \begin{vmatrix} -5 &0 &0 \\ 3& 0 & -1\\ 1&1 &5 \end{vmatrix} = -5 \neq 0$ ; Rg = 3

Por lo que, según tenemos en la tabla anterior, Como Rg M = 2 Rg M’ = 3; tenemos un sistema incompatible y las rectas se cruzan, ya que los tres vectores son linealmente independientes y, por tanto, no son coplanarios.

b) Sean las rectas $r\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1+2\lambda \\ y = 5-\lambda \\ z= -2+3\lambda \end{matrix}\right.$ y $s\equiv \frac{x+7}{1}= \frac{y-4}{2}= \frac{z-1}{-6}$

$\vec{d_{r}}$ = (2, -1, 3)

P $\epsilon$ r = (1, 5, -2)

$\vec{d_{s}}$ = (1, 2, -6)

Q $\epsilon$ s = (-7, 4, 1)

$\vec{PQ}$ = (-8, -1, 3)

$M=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ -1&2 \\ 3& -6 \end{pmatrix}$ y $M'= \begin{pmatrix} 2& 1 & -8\\ -1&2 & -1\\ 3& -6 & 3 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 2 &1 \\ -1&2 \end{vmatrix} = 5\neq 0$ ; Rg M = 2

$M'= \begin{vmatrix} 5 &1 &-8 \\ -1& 2 & -1\\ 3&-6 &3 \end{vmatrix} = 0$ ; Rg M’ $\neq$ 3 ;

Tomando el menor anterior, se observa que el rango de esta matriz ampliada también sería 2.

Por tanto, como Rg M = Rg M’= 2; las rectas se cortan en un punto. Vamos a averiguar el punto de corte, para facilitar el trabajo, voy a expresar la recta s con sus ecuaciones paramétricas:

$s\equiv \left\{\begin{matrix} x= -7+t\\ y = 4+2t\\ z= 1-6t \end{matrix}\right.$

Ahora, igualo las coordenadas x e y para obtener los parámetros:

$\left\{\begin{matrix} 1+2\lambda = -7+t\\ 5-\lambda = 4+2t \end{matrix}\right.$ ; t = 2 $\lambda$ + 8; 5- $\lambda$ = 4+2 (2 $\lambda$ + 8); 5 $\lambda$ = -15; $\lambda$ = -3

Como he calculado el valor de $\lambda$ , sustituyo en la recta r y obtengo las coordenadas del punto de corte:

$r\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1+2\lambda \\ y = 5-\lambda \\ z= -2+3\lambda \end{matrix}\right. = \left\{\begin{matrix} x= 1+2(-3) = -5\\y = 5- (-3) = 8 \\ z= -2+3(-3)= -11 \end{matrix}\right.$

Ambas rectas se cortan en el punto K (-5, 8, -11)

Ahora es tu turno, en la pestaña de materiales, tienes unos ejercicios para practicar. A por ellos!

Módulo II.- Puntos y Rectas en el espacio

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