Módulo VI. Sistemas de ecuaciones

Hola! Último módulo…por fín vas a aplicar todo lo que hemos estado viendo hasta ahora de matrices y te adelanto que, a partir de aquí, todo va a empezar a tomar sentido (hablando de matrices, claro).

Desde ya te digo que los sistemas de ecuaciones jamás te habrán resultado tan fáciles después de este módulo.

MÓDULO V.- SISTEMAS DE ECUACIONES

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES: Los sistemas se clasifican por el número de soluciones que tengan, de tal forma que tendremos sistemas incompatibles, que son los que no tienen solución y sistemas compatibles, que son los que tienen solución, dentro los compatibles podrán ser determinados, si solo poseen una solución única e indeterminados, si poseen infinitas soluciones.

Primeramente, debemos conocer cuáles son las matrices asociadas a un sistema de ecuaciones, puesto que vamos a usarlas para resolver y estudiar dicho sistema. Por ejemplo, sea el sistema de ecuaciones $\left\{\begin{matrix} 2x+3y-5z=2\\ x-y+2z = 3 \\ ax+2y-7z = -1 \end{matrix}\right.$

Sus matrices asociadas serán:

$C = \begin{pmatrix} 2 &3 &-5 \\ 1& -1 & 2\\ a& 2 & -7 \end{pmatrix}$ $X = \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}$ $D = \begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ $C^{*} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -5 & 2\\ 1& -1& 2&3 \\ a& 2 & -7 & -1 \end{pmatrix}$

Donde C es la matriz de coeficientes, X la matriz de incógnitas, D es la matriz de términos independientes y C* es la matriz ampliada, como se puede observar delante de la barra se coloca la matriz de coeficientes y detrás, la de los términos independientes.

ESTUDIO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES:

Para este estudio vamos a usar el teorema de Rouché Frobenius, que dice:

Si el Rg M = Rg M* = número de incógnitas Sistema COMPATIBLE DETERMINADO y tendrá una única solución
Si el Rg M = Rg M* $<$ número de incógnitas Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO y tendrá infinitas soluciones
Si el Rg M $\neq$ Rg M* Sistema INCOMPATIBLE y no tendrá solución

Donde Rg M es el Rango de la matriz de coeficientes y Rg M* es el rango de la matriz ampliada

Veamos un ejemplo: $\left\{\begin{matrix} 2x-3y+4z = 1\\2x+6y-3z = 2 \\ 4x-7y+5z = 1 \end{matrix}\right.$

Las matrices asociadas serían:

$M = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4\\ 2& 6 & -3\\ 4& -7 & 5 \end{pmatrix}$ y $M^{*} = \begin{pmatrix} 2& -3 & 4 & 1\\ 2& 6& -3 &2 \\ 4& -7& 5 & 1 \end{pmatrix}$

$\left | M \right |$ = 60 + 36 – 56 – 96 + 30 – 42 = -62 $\neq$ 0 $\rightarrow$ Rg M = 3

$\left | M^{*} \right |$ = 9 – 56 + 30 – 21 – 24 + 30 = -32 $\neq$ 0 $\rightarrow$ Rg M* = 3

Como Rg M = Rg M* = número de incógnitas Sistema COMPATIBLE DETERMINADO y tendrá una única solución.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

1.- RESOLUCIÓN MATRICIAL

Podremos resolver un sistema de ecuaciones matricialmente, siempre y cuando exista la inversa de la matriz de coeficientes.

Para ello, expresaremos el sistema de ecuaciones en forma matricial, despejaremos la matriz de incógnitas y resolvemos

Por ejemplo: $\left\{\begin{matrix} x-y = 2\\ 2x+y-2z = 0 \\ x-y+2z = 1 \end{matrix}\right.$

$C = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\ 2 & 1 &-1 \\ 1& -1 & 2 \end{pmatrix}$ ; $X = \begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}$ ; $D = \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Expresamos el sistema como una ecuación matricial: C $\cdot$ X = D

Despejamos la matriz de incógnitas: $C^{-1}\cdot C \cdot X = C^{-1}\cdot D$

$I\cdot X = C^{-1}\cdot D$

$X = C^{-1}\cdot D$

Estudiamos la existencia de $C^{-1}$ y la calculamos: $\left | C \right | = 6 \neq 0\rightarrow \exists C^{-1}$

Adj $c_{11}$ = $(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix} 1 & -2\\ -1& 2 \end{vmatrix}$ = 0

Adj $c_{12}$ = $(-1)^{1+2}\cdot \begin{vmatrix} 2 & -2\\ 1& 2 \end{vmatrix}$ = -6

Adj $c_{13}$ = $(-1)^{1+3}\cdot \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1& -1 \end{vmatrix}$ = -3

Adj $c_{21}$ = $(-1)^{2+1}\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0\\ -1& 2 \end{vmatrix}$ = 2

Adj $c_{22}$ = $(-1)^{2+2}\cdot \begin{vmatrix} 2 & 0\\ 1& 2 \end{vmatrix}$ = 4

Adj $c_{23}$ = $(-1)^{2+3}\cdot \begin{vmatrix} 2 & -1\\ 1& -1 \end{vmatrix}$ = 1

Adj $c_{31}$ = $(-1)^{3+1}\cdot \begin{vmatrix} -1 & 0\\ 1& -2 \end{vmatrix}$ = 2

Adj $c_{32}$ = $(-1)^{3+2}\cdot \begin{vmatrix} 2 & 0\\ 2& -2 \end{vmatrix}$ = 4

Adj $c_{33}$ = $(-1)^{3+3}\cdot \begin{vmatrix} 2 & -1\\ 2& 1 \end{vmatrix}$ = 4

Adj C = $\begin{pmatrix} 0 & -6 & -3\\ 2& 4 & 1\\ 2& 4 & 4 \end{pmatrix}$ ; $(Adj C)^{t} 0 \begin{pmatrix} 0 & 2&2 \\ -6& 4 & 4\\ -3& 1 & 4 \end{pmatrix}$

$C^{-1} = \frac{1}{\left | C \right |} (Adj C)^{t}$

$C^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2\\ -6& 4 & 4\\ -3& 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2/6 & 2/6\\ -6/6&4/6 &4/6 \\ -3/6 &1/6 &4/6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/3 & 1/3\\ -1& 2/3 & 2/3\\ -1/2& 1/6 & 2/3 \end{pmatrix}$

Resolvemos: $X = C^{-1}\cdot D$

X = $\begin{pmatrix} 0 & 1/3 & 1/3\\ -1& 2/3 & 2/3\\ -1/2& 1/6 & 2/3 \end{pmatrix}$ $\cdot$ $\begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1/3\\-4/3 \\ -1/3 \end{pmatrix}$

Solución: $\left\{\begin{matrix} x= 1/3\\ y = -4/3 \\ z = -1/3 \end{matrix}\right.$

2.- RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE GAUSS

Podremos resolver un sistema por este método haciendo ceros, de modo que nos quede un sistema escalonado

Los pasos a seguir serían:

1.- Escalonamos el sistema, es decir dejamos la primera ecuación con tres incógnitas, la segunda con dos y la tercera con una, haciendo ceros por debajo de la diagonal principal (Tip: Si el sistema está completo, es decir las tres ecuaciones tienen las tres incógnitas, mezcla la primera ecuación con la segunda y quita la x, mezcla la primera ecuación con la tercera y quita la x y mezcla la segunda con la tercera y quita la y)

Por ejemplo: $\left\{\begin{matrix} 2x-5y+3z = 4\\ x-2y+z = 3 \\ 5x+y+7z = 11 \end{matrix}\right.$

E₁ $\leftrightarrow$ E₂

E’₂ = 2E₁– E₂

E’₃ = 5E₁– E₃

E’’₃ = 11E’₂– E’₃

Ya tenemos el sistema escalonado y ahora empezamos resolviendo.

De la ecuación 3 sacamos que: ; z= -2

De la ecuación 2 sacamos que: ; y = 2+z = 2+(-2) = 0

De la ecuación 1 sacamos que: x-2y+z = 3; x = 3+2y-z = 3+2 0-(-2) = 5

Soluciones $\left\{\begin{matrix} x=5 \\ y= 0 \\ z = -2\end{matrix}\right.$

3.- RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE CRAMER

La teoría nos dice que un sistema será de Cramer si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de 0 y para resolverlo usaremos lo siguiente:

$x = \frac{\left | M_{x} \right |}{\left | M \right |}$ ; $y = \frac{\left | M_{y} \right |}{\left | M \right |}$ ; $z = \frac{\left | M_{z} \right |}{\left | M \right |}$

Donde Mx, My y Mz son las matrices de coeficientes en las que se ha sustituido la columna de la x, de la y o de la z (según corresponda) por la columna de los términos independientes y M es la matriz de coeficientes.

Veamos esto con un ejemplo mejor: $\left\{\begin{matrix} x+y-z = 0\\ 3x+y-z = 2 \\ 4x-2y+z = 3 \end{matrix}\right.$

M = $\begin{pmatrix} 1 & 1 &-1 \\ 3& 1 & -1\\ 4& -2& 1 \end{pmatrix}$

Primero haremos el determinante de M, para ver si podemos aplicar el método de Cramer: $\left | M \right |$ =2 $\neq$ 0, podemos aplicarlo

$\left | M_{x} \right |= \begin{vmatrix} 0 & 1& -1\\ 2& 1& -1\\ 3& -2& 1 \end{vmatrix} = 2$ (véase que se ha cambiado la primera columna, la de las “x”, por la de los términos independientes)

$\left | M_{y} \right |= \begin{vmatrix} 1& 0& -1\\ 3& 2& -1\\ 4& 3& 1 \end{vmatrix} = 4$ (véase que se ha cambiado la segunda columna, la de las “y”, por la de los términos independientes)

$\left | M_{z} \right |= \begin{vmatrix} 1 & 1& 0\\ 3& 1& 2\\ 4& -2& 3 \end{vmatrix} = 6$ (véase que se ha cambiado la tercera columna, la de las “z”, por la de los términos independientes)

$x = \frac{\left | M_{x} \right |}{\left | M \right |}$ = 2/2 =1

$y = \frac{\left | M_{y} \right |}{\left | M \right |}$ = 4/ 2 = 2

$z = \frac{\left | M_{z} \right |}{\left | M \right |}$ = 6/2 = 3

Solución: $\left\{\begin{matrix} x = 1\\y = 2 \\ z = 3 \end{matrix}\right.$

Hay veces, que nos encontramos con sistemas compatibles indeterminados, también podemos resolverlos fácilmente por este método, vamos a ver un ejemplo: $\left\{\begin{matrix} x -y-z = 0\\x+y-2z = 0 \\ 2x-4y-z = 0 \end{matrix}\right.$

Este es un sistema homogéneo, puesto que los términos independientes son 0; estos sistemas siempre son compatibles.

M = $\begin{pmatrix} 1 &-1 &-1 \\ 1& 1& -2\\ 2& -4 &-1 \end{pmatrix}$ ; $\left | M \right |$ = 0, por lo que el sistema será compatible indeterminado, tanto la matriz de coeficientes, como la ampliada tienen rango 2 (número de incógnitas – rango = número de parámetros que vamos a necesitar para resolver el sistema).

En este caso necesitamos un parámetro; elimino la última fila, por ejemplo, y le doy a z el valor de parámetro

Z = t, quedando el sistema así: $\left\{\begin{matrix} x -y-t = 0\\x+y-2t = 0 \\ 2x-4y-t = 0 \end{matrix}\right.$ $\rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x -y = t\\x+y = 2t \\ 2x-4y = t \end{matrix}\right.$

Eliminando la última fila, ahora la matriz de coeficientes, pasa a ser de orden 2×2 : M = $\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Det M = 2

$x = \frac{\left | M_{x} \right |}{\left | M \right |} = \frac{\begin{vmatrix} t & -1\\ 2t & 1 \end{vmatrix}}{2} = \frac{3t}{2}$

$y = \frac{\left | M_{y} \right |}{\left | M \right |} = \frac{\begin{vmatrix} 1 & t\\ 1 & 2t \end{vmatrix}}{2} = \frac{t}{2}$

z = t

Solución: $\left\{\begin{matrix} x = 3t/2\\ y = t/2 \\ z = t \end{matrix}\right.$

Ejemplos:

1.- a) Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones: $\left\{\begin{matrix} kx+y-2z = 0\\ -x-y+kz = 1 \\ x+y+z = k \end{matrix}\right.$ , según los valores del parámetro k

b) Resuélvelo, para k =2

Vamos a escribir la matriz y la matriz ampliada que corresponderían a este sistema para hacer el estudio de rangos correspondiente y poder tomar decisiones según el teorema de Rouché-Frobenius:

M/M^* = $\begin{pmatrix} k & 1 & -2 &0 \\ -1& -1 & k &1 \\ 1&1 &1 & k \end{pmatrix}$

Ahora vamos a estudiar el rango de la matriz de coeficientes (M) en función de los valores de k

$\left | M \right | = \begin{vmatrix} k &1 &-2 \\ -1&-1 &k \\ 1&1 &1 \end{vmatrix} = -k^{2}+1$

Veamos qué valores anulan este determinante resolviendo la ecuación: -k² + 1 = 0, de donde sale que k = $\pm$ 1

Vamos a estudiar el rango de M para los valores de k obtenidos

Si K = 1 $\rightarrow$ $\left | M \right |$ = 0 $\rightarrow$ Rg M $\neq$ 3

Veamos qué ocurre con un menor de orden 2×2: $\begin{vmatrix} 1 & -2\\ -1& k \end{vmatrix}$ , sustituyendo la k por 1, queda: $\begin{vmatrix} 1 & -2\\ -1& 1 \end{vmatrix}$ = -1 $\neq$ 0 $\rightarrow$ Rg M = 2

Ahora vamos a ver qué pasa con la matriz ampliada, para este valor de k:

$\left | M^{*} \right | = \begin{vmatrix} 1 &-2 &0 \\ -1&k &1 \\ 1&1 &k\end{vmatrix}$ = para k = 1 = $\begin{vmatrix} 1 &-2 &0 \\ -1&1 &1 \\ 1&1 &1\end{vmatrix}$ = -4 $\neq$ 0 $\rightarrow$ Rg M^* = 3

Si K = -1 $\rightarrow$ $\left | M \right |$ = 0 $\rightarrow$ Rg M $\neq$ 3

Veamos qué ocurre con un menor de orden 2×2: $\begin{vmatrix} 1 & -2\\ -1& k \end{vmatrix}$ , sustituyendo la k por -1, queda: $\begin{vmatrix} 1 & -2\\ -1& -1 \end{vmatrix}$ = -3 $\neq$ 0 $\rightarrow$ Rg M = 2

Ahora vamos a ver qué pasa con la matriz ampliada, para este valor de k:

$\left | M^{*} \right | = \begin{vmatrix} 1 &-2 &0 \\ -1&k &1 \\ 1&1 &k\end{vmatrix}$ = para k = -1 = $\begin{vmatrix} 1 &-2 &0 \\ -1&-1 &1 \\ 1&1 &-1\end{vmatrix}$ = 0 $\rightarrow$ Rg M^* = 2

Conclusión:

Si k = 1 $\rightarrow$ Rg M $\neq$ Rg M^* $\rightarrow$ sistema incompatible.

Si k = -1 Rg M = Rg M^* nº de incógnitas $\rightarrow$ sistema compatible indeterminado.

Si k $\neq$ 1 y k $\neq$ -1 Rg M = Rg M^*= nº de incógnitas sist. compatible determinado.

b) Resolver para k = 2

En este caso tendremos un sistema compatible determinado, por tanto con una solución única y que vamos a calcular por el método de Cramer. Para ello sustituimos la columna de los términos independientes por la de la incógnita que vayamos a calcular y resolvemos los determinantes oportunos:

$\left | M \right | = \begin{vmatrix} k &1 &-2 \\ -1&-1 &k \\ 1&1 &1 \end{vmatrix}$ = para k = 2 = $\begin{vmatrix} 2 &1 &-2 \\ -1&-1 &2 \\ 1&1 &1 \end{vmatrix}$ = – 3