Matemáticas CCSS archivos - Página 5 de 7

Módulo III.- Cómo Elaborar tu Material de Trabajo

En este módulo, voy a lanzarte unos tips para que tus apuntes te sean útiles. Y cómo hacerlos tanto en clase como en casa. En clase: No desconectes, escucha. La toma de apuntes favorece la concentración y la posterior memorización de los conceptos. No dejes escapar esta oportunidad. Tienes que estar en clase, pues aprovecha ese tiempo. Atiende a lo que tu profesor@ comenta y anótalo, no solo es importante lo que se escribe en la pizarra. A veces, es casi más importante lo que no se escribe en ella. En las aclaraciones muchas veces se da información casi más importante y, por suerte, a veces también se les escapa alguna pregunta del examen. Resalta lo que no entiendas para preguntarlo una vez finalice la explicación. No te lleves dudas para casa. En casa: Pasa a limpio los apuntes de clase, a ser posible el mismo día de la clase. Elabora tus propios formularios, esquemas, mapas, flash cards… Las notas de clase puedes complementarlas posteriormente con las de tus compañer@s o compartirlas si tienes un grupo de estudio serio y así mejorarás mucho tus apuntes. Ten siempre a mano tu libreta de dudas, apunta todas las que surjan y así no olvidarás resolverlas. Haz los deberes lo antes posible, mejorará la comprensión del tema y la ejecución de los mismos, pero si los dejas, se olvidarán. Hablando de deberes, cuando te pongas a hacer ejercicios en casa ten en cuenta lo siguiente: 1.- LEE con tranquilidad los enunciados. Sobre todo, presta atención a que la pregunta que te plantean quede correctamente contestada. Sobre todo, en problemas, ves leyendo las frases poco a poco y sacando los datos y las incógnitas de cada una de ellas. Anota todos los datos clave que te aportan. 2.- DIBUJA. Esto es algo que siempre te voy a recomendar y es que, aunque no lo creas, el ojo ayuda a la mente. Así que, cualquier cosa que puedas aportar al problema, un esquema, un dibujo, diagrama… te va a ayudar notablemente a simplificar el ejercicio, facilitar su comprensión y resolución. 3.- Usa tu CREATIVIDAD. Piensa qué herramientas pueden ayudarte, aplícalas, juega. Si es algo muy general, llévatelo a tu terreno, busca una situación parecida y más cercana. ¡Y si te equivocas, genial! Los errores, como ya has visto, son una de las mejores herramientas de aprendizaje 4.- RAZONA todo lo que haces. Escribe todo el proceso que sigues hasta llegar al resultado y trata de hacerlo de forma limpia y ordenada, con claridad y usando el lenguaje matemático que conozcas. 5.- CONTRASTA tus soluciones. Revisa que todo lo que has hecho tenga sentido, que sea coherente y comprueba, en la medida de lo posible, que la solución obtenida sea válida y que contesta a la pregunta que te hacen en el ejercicio.

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Módulo II.- Técnicas de Estudio Aplicadas a las Asignaturas de Ciencias

Después de la visión general y muy resumida del primer módulo, vamos a profundizar en cómo estudiamos asignaturas tales como Matemáticas, Física y/o Química. Las Ciencias deben estudiarse de una manera diferente, puesto que no puedes aprenderte todos los ejercicios de memoria. Pierdes el tiempo si a estas alturas crees que eso te funciona. Lo primero a destacar es el gran error que cometes al ponerte a hacer los ejercicios sin haber entendido y estudiado la parte teórica. Es imposible resolver un problema de derivadas sin saber las reglas de derivación, por ejemplo. Parece obvio, ¿verdad? Pues párate a pensar las veces que lo has intentado y la frustración que has sentido cuando no te salían los ejercicios y la pelota era cada vez más grande. Debes dominar los conceptos claves, puesto que hay demasiadas fórmulas y métodos. Como ya sé que quieres poner remedio y hacerte la tarea más sencilla, vamos con las pautas a seguir: 1.- ORGANIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN: Pues sí, otra vez estoy aquí con el temita. Es una de las pautas más importantes a la hora de estudiar cualquier materia. Organízate, usa tu agenda, organizador semanal, bullet journal, etc., lo que más te guste y mejor te funcione. Organízate a semana vista y a mes vista y no anotes simplemente la fecha de los exámenes. Marca tiempos para hacer los deberes, práctica extra y preparación de examen. Ana, ¿qué me apunto en la agenda? Esta es una de las preguntas que más me hacéis, sobre todo cuando no estáis acostumbrad@s a organizaros y no sabéis usar las agendas correctamente. Pues bien, lo primero que debes apuntar en tu horario y en la vista diaria, es el tiempo que tienes ocupado sí o sí, es decir, las horas que estás en clase, las actividades extra escolares, etc. Después programa tus actividades obligatorias, tales como los deberes que debes entregar al día siguiente, por ejemplo. Por último, distribuye el tiempo sobrante para reforzar tareas, preparación de exámenes, etc… Y no olvides programar tu tiempo de descanso. Es muy importante este punto y no debes olvidar dedicarte un rato a ti, a tu familia y /o a tus amig@s. Programa salidas con tus amig@s, ir al cine, ver una peli en familia, lo que más te guste hacer y te haga desconectar. El hecho de cumplir tus tareas y tacharlas de la lista de pendientes es satisfactorio, pero saber que cuando lo hagas tendrás una recompensa y disfrutar de ese tiempo de descanso, es más satisfactorio aún. Si pinchas aquí tendrás un montón de MATERIAL DIGITAL DESCARGABLE que te he preparado GRATIS para que te organices de maravilla. Este material está pensado para utilizarlo con aplicaciones como GoodNotes, Notability, Noteshelf, Xodo u otras del estilo. 2.- CREA UN AMBIENTE DE ESTUDIO SIN DISTRACCIONES: Ya te has organizado, ahora es el momento de cumplir tu programación. Hazlo en un lugar tranquilo que favorezca que todo fluya mejor, pon música bajita si te va bien, pero intenta que tu trabajo sea confortable y estar lo más cómod@ y centrad@ posible. Haz que tu zona de estudio sea bonita, que te guste pasar tiempo ahí. 3.- ESTÚDIATE LA TEORÍA PRIMERO: Como ya te he mencionado, no te plantees hacer ejercicios sin haber mirado los conceptos teóricos antes. Debes dominar primero los conceptos clave, es mucho más efectivo y así evitarás aprenderte los ejercicios de memoria; así solo perderás el tiempo. En este punto, apóyate de la elaboración de tu propio material. Realiza tus propios formularios, flash cards, mapas conceptuales, esquemas, mapas de procedimientos… Sintetiza toda la información esencial y, si puedes, crea además un diccionario matemático o de términos clave. Sería genial que es estas fichas de estudio o flash cards fueses apuntando todos los conceptos que vas aprendiendo. Un ejercicio, un trabajo, un examen… adquiere mucha más calidad cuando comenzamos a expresarlo correctamente. ¿Crees que entenderías bien un texto en inglés si está lleno de palabras en sueco? Pues esto es lo mismo, debemos aprender el lenguaje matemático y científico para poder expresarnos con claridad. Lo bueno de las Ciencias es que son asignaturas de aprendizaje continuo, esto quiere decir que lo que se estudia un día es la base de lo que aprenderás en días posteriores; por eso es tan importante construir una buena base, entendiendo todo lo que se va viendo, dominando los conceptos clave y teniendo claras las fórmulas o procedimientos esenciales que puedan utilizarse en repetidas ocasiones. No llegues tarde a una clase, ni mucho menos te saltes una; y menos aún, te quedes con una duda guardada. Aquí también te vas a dar cuenta de qué es lo que más te cuesta aprender y eso es genial. Si eres capaz de detectar en qué parte del proceso te pierdes, será más fácil que podamos ayudarte y solucionarlo más rápido. Vale, Ana…¿y cómo hago para llevar esto a cabo? Pues usa todas las herramientas que tengas a mano. Puedes consultar en otros libros de texto, apuntes de compañer@s de clase o de curso, pregunta a tus profes (que para eso estamos y te ayudamos encantad@s) e incluso puedes crear o asistir a grupos de estudio con el que quedes una vez a la semana para estudiar, comparar apuntes, ejercicios, plantearos retos, ayudaros… Estos grupos son muy efectivos, cuando se usan de forma adecuada. 4.- PRACTICA: El estudio de estas asignaturas requiere un aprendizaje activo, por suerte para ti. Es decir, toca practicar y practicar y no hay más, este es el secreto para dominar las Ciencias. Hay que practicar mucho para que cuando llegues al examen, cualquier ejercicio que te caiga, te suene, te resulte familiar y así elimines el factor sorpresa, el “¿esto qué es?”, “¡esto no lo hemos dado!”… y puedas resolverlo con éxito. No puedes aprender solo leyéndote la teoría o viendo un problema y pensando: “pues ok, ya se cómo es”, “sé como se hace” y frases del estilo. NO, es fundamental que

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Módulo I.- Pautas Generales de Estudio

¿Qué es eso de las técnicas de estudio y por qué son tan importantes? Las técnicas de estudio son un conjunto de herramientas que se ponen en práctica para obtener los mejores resultados académicos mediante la puesta en práctica de una serie de medidas y del uso optimizado de los recursos disponibles. El fracaso escolar NO suele venir dado por eso que me decís siempre de “No valgo para las ciencias”, eso es una excusa. En la mayoría de los casos, viene dado por no tener una buena técnica y unos buenos hábitos de estudio. Por eso es muy importante y urgente aprender a estudiar y usar unas buenas estrategias que te permitan afrontar correctamente tus actividades académicas y así alcanzar la comprensión de los temas y mejorar en el aprendizaje de los mismos. Como te he comentado y debido a la importancia del tema, este módulo te va a dar una visión general de técnicas de estudio. Estas asignaturas tienen una carga teórica importante y también debes saber cómo afrontarla correctamente. Es aconsejable tomar una serie de medidas: 1.- ORGANIZACIÓN Y PLANIFICACIÓN: Es necesario tener una buena planificación para poder priorizar unas tareas sobre otras. ¡Ojo! En este punto, no debes planear solo los deberes que tienes que hacer. Debes incluir tiempo para la preparación de exámenes, tareas extra, trabajos… 2.- LECTURAS: Cuando toque hincar el codo y memorizar una ley o cualquier otro texto procura realizar más de una lectura. Dedica siempre una primera lectura (o pre-lectura) donde verás de qué va el tema y una segunda lectura (o lectura comprensiva), donde tienes que tratar de empezar a entender el texto en su conjunto. Con ella ya empiezas a concretar la visión general que tenías. Si es necesario, puedes realizar más de una lectura. Es muy importante que trates de centrar tu atención en lo que estás leyendo y evites distraerte. 3.- SUBRAYADO: En este momento, resalta, remarca las ideas principales del texto. Lo subrayado no tiene necesariamente que formar una frase con sentido, pero sí que a simple vista de párrafo queden resaltadas las ideas principales. 4.- RESUMEN: Aquí puedes realizar una pequeña redacción que recoja todas las ideas principales subrayadas anteriormente. Utiliza tus palabras y crea tus propios apuntes, puesto que aquí es donde detectarás si de verdad estás entendiendo de qué va el tema. En caso de que sea demasiado complejo, también es recomendable, formarte un pequeño esquema. Recuerda que es mucho mejor estudiar con tus palabras, sabiendo que has entendido el tema, que plantarte delante de un libraco a leer una y otra vez sin motivación alguna. En esta parte también se favorece muchísimo la retención de la teoría, date cuenta que en este punto ya has trabajado unas cuantas veces el temario. 5.- MEMORIZACIÓN: A estas alturas ya debes memorizar el texto, o lo que te quede de él, ya debe ser mucho más sencillo que al principio. Seguro que te suena y recuerdas muchas cosas ya. Para facilitar esta tarea, te aconsejo el uso de reglas mnemotécnicas, tales como crear una palabra con las iniciales de los puntos más importantes, crear un relato con todos los elementos a memorizar, etc. Lo que mejor te ayude.

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Exámenes EBAU Extremadura

Hola, aquí os iré dejando próximamente la exámenes de EBAU de otros años de las asignaturas de Matemáticas II, Matemáticas CCSS, Física y Química. Como siempre, en la pestaña de materiales, podréis verlos.

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Módulo IV.- Ejercicios Finales

Vamos a por el sprint final con un popurrí de este curso, para que seas un as de este bloque también ( te los dejo en la pestaña de materiales)

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Módulo III.- Distribución Normal

Vamos a por el último módulo de este curso. La distribución Normal. En este caso, la forma de buscar la probabilidad de que algo suceda será mediante tablas. Fácil, eh? Vamos a ello. MÓDULO III.- DISTRIBUCIÓN NORMAL Una distribución normal es una distribución de probabilidad que se representa por N ( , ), donde , como ya sabes, es la media y , la desviación típica. Cualquier distribución Normal estandarizada se representa por N (0,1) Es decir, tiene de media 0 y de desviación 1. Esta es la más importante, puesto que es la que nos permitirá buscar la probabilidad en tabla. En el caso de que no estemos ante una distribución de esta forma, tendremos que transformarla (tipificarla) para poder usar la tabla. Datos que vamos a necesitar para calcular estas probabilidades: P (z a) es el dato que vamos a obtener de la tabla P (z a) = 1 – P (z a) P (z -a) = P (z a) P (z -a) = P (z a) = 1 – P (z a) P (a z b) = P (z b – P (z a) Como he comentado antes si la distribución no es del tipo N (0,1), vamos a tener que tipificarla, y lo haremos de la siguiente manera: Z = , siendo x el valor que nos piden en el problema; z el valor que vamos a buscar en la tabla; la media y la desviación típica de la distribución. Con estos datos y la tabla de distribución normal que te dejo en la pestaña de materiales, ya estás preparad@ para los cálculos. Veamos un ejemplo: En un instituto, la altura media es de 1.78 m con una desviación típica de 20 cm. SI elegimos un@ alumn@ al azar, calcula la probabilidad de que: a) Mida más de 1.85 m b) Mida menos de 1.7 m c) Mida entre 1.75 m y 1.9 m Estamos ante una distribución normal del tipo de media 1.78 m y de desviación 20 cm (0.20m; cuidado de trabajar todo en las mismas unidades) Es decir N (1.78; 0.20) No es una distribución Normal Estándar, así que hay que tipificar antes de realizar los cálculos a) P (x 1, 85) X= 1.85——–tipifico este valor: z = = = 0,35 P (x 1.85) = P (z 0.35) = 1 – P ( z 0.35) (voy a la tabla y busco este valor de z para obtener la probabilidad de este suceso) P (x 1.85) = P ( z 0.35) = 1 – P ( z 0.35) = 1 – 0.6368 = 0.3632 b) P (x 1,70) X= 1.70——–tipifico este valor: z = = = -0,40 P (x 1.70) = P (z -0.40) = 1 – P (z 0.40) (voy a la tabla y busco este valor de z para obtener la probabilidad de este suceso) P (x 1.70) = P (z -0.40) = 1 – P (z 0.40) = 1 – 0.6554 = 0.3446 c) P (1.75 x 1.90) X = 1.75——–tipifico este valor: z = = -0,15 X= 1.90——–tipifico este valor: z = = 0,60 P (1.75 x 1.90) = P (-0.15 z 0.60) = P (z 0.60) – P (z -0.15) = P (z 0.60) – [1-P (z 0.15) ]= 0.7257 – (1 – 0.5596)) = 0.2853 Por último una observación: puesto que en una distribución binomial podemos calcular su media y su desviación, podríamos calcularla como una normal (siempre que n p 5 y que n q 5) solo habría que hacerle, en algunos casos, unas pequeñas correcciones antes de tipificar (corrección de Yates): Si P (y k) = P (x k + 0.5) Si P (y k) = P (x k – 0.5) Si P (y k) = P (x k – 0.5) Si P (y k) = P (x k + 0.5) Si P (y = k) = P (k – 0.5 x k + 0.5) Veamos un ejemplo: El porcentaje de libros de matemáticas prestados en una biblioteca es del 10%. Si se han prestado 200 libros, calcula la probabilidad de que se hayan prestado más de 30 libros. Este ejercicio es una binomial, pero calcular la probabilidad de que se hayan prestado más de 30 libros es muy largo y aburrido, por lo que vamos a transformarla en una Normal B (200, 0.10) n p = 200 0.10 = 20 5 n q = 200 0.90 = 180 5 Viendo que cumple estas premisas, podemos normalizar la distribución. Calculamos la media y la desviación: = n p = 200 0.10 = 20 = = = 4.24 N (20, 4.24) Vamos a aplicar la corrección de Yates: P (y 30) = P (x 30+0.5) = P (x 30.5) Tipificamos: z = = = 2,48 P (y 30) = P (x 30+0.5) = P (x 30.5) = P (z 2.48) = 1 – P (z 2.48) = 1 – 0.9934 = 0.0066 Y este módulo, ya estaría listo también. Unos ejercicios, no? EJERCICIOS MÓDULO III 1.- La probabilidad de dar en la diana al lanzar un dardo es 0.75, ¿cuál es la probabilidad de hacer 77 dianas o más? 2.- El peso de los paquetes de azúcar de una determinada fábrica sigue una distribución normal de media 250 gramos y desviación típica 20 gramos. Calcular: a) La probabilidad de que un paquete pese menos de 260 gramos b) La probabilidad de que el peso de un paquete esté comprendido entre 245 y 260 gramos 3.- La altura de l@s estudiant@s de 18 años de los institutos de una ciudad, sigue una distribución normal de media 1.78 m y desviación típica 0.65 m. Calcular: a) El porcentaje de personas que tienen una altura de 1.90m b) Si tomamos una muestra de 100 personas de los mismos institutos y queremos seleccionar los 30 más alt@s. ¿Cuál es la altura mínima que ha de tener un estudiante para

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Módulo II.- Distribución Binomial

Otra manera de calcular la probabilidad de que algo suceda, es mediante este tipo de distribuciones. Son bastante sencillas de usar, así que vamos al lío. MÓDULO II.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Una DISTRIBUCIÓN BINOMIAL es una distribución de probabilidad que se representa por B (n, p), donde n es el número de ensayos (el número de veces que se repite el suceso) y p, la probabilidad de éxito (de que ocurra el suceso que estamos estudiando) ¿Cuándo vamos a usarla? Cuando realicemos un experimento n veces y solo tengamos la opción de que salga bien (éxito) o mal (fracaso) Cuando la probabilidad de éxito sea siempre la misma Cuando el resultado del experimento, no dependa de lo que haya sucedido en otro anterior La probabilidad, mediante este método la vamos a calcular mediante la siguiente fórmula: P(x = k) = , donde n es el número de veces que se repite el suceso, k es el número de éxitos (lo que nos pidan), p es la probabilidad de éxito y q es la de fracaso (q= = 1 – p) Será útil saber que: P (x a) = 1 – P (x a) P (x a) = 1 – P (x a) es un número combinatorio que se resuelve: Por último será útil que conozcas como calcular la media y la desviación típica de una distribución binomial, porque a veces se pueden usar para calcular la probabilidad del suceso, buscando sus valores en tablas. La media será: = n p La varianza: = n p q y por tanto, La desviación típica sería: n! es un número factorial que se resuelve multiplicando todos los números desde el valor de n hasta el 1 (por ejemplo: 4! = 4 3 2 1) Vamos a ver un ejemplo: Una jugadora de baloncesto encesta el 90 % de las canastas que tira. Si lanza 8 canastas en un partido. Calcula la probabilidad de: a) Encestar 7 canastas b) Encestar todas las canastas c) Encestar más de 6 canastas d) Encestar al menos 6 canastas e) Encestar al menos 1 canasta f) Encestar menos de dos canastas g) Encestar a lo sumo dos canastas En este caso sabemos que es una binomial, porque el suceso tirar la canasta se repite 8 veces y siempre tiene la misma probabilidad de acertar. La probabilidad de encestar es 0.90. Por lo que la binomial quedaría descrita como B (8, 0.90) a) En este apartado la k valdría 7 y, puesto que p = 0.90, q = 1-0.9= 0.1; por lo que: P (x = 7) = = 0.38 La probabilidad de encestar los 7 tiros sería de 0.38 b) La probabilidad de encestar todas las canastas, sería de la de acertar los 8 tiros, por lo que: P (x = 8) = = 0.43 Importante 0! = 1 y c) P (x 6) = P (x = 7) + P (x = 8) = 0.38 + 0.43 = 0.81 d) P (x 6) = P (x = 6) + P (x = 7) + P (x = 8) P (x = 6) = = 0.15 P (x 6) = P (x = 6) + P (x = 7) + P (x = 8)= 0.15 + 0.38 + 0.43 = 0.96 e) Importante: al menos 1, es el suceso contrario de ninguna P (x ) = 1 – P (x = 0) P (x = 0) = = 1.10-8 P (x ) = 1 – P (x = 0) = 1 – 1.10-8 = 0.99 f) Encestar menos de dos canastas, es la probabilidad de que x sea menor que 2 P (x 2) = P (x= 0) + P (x = 1) = 1.10-8 + 7.2.10-7 = 1.07. 10-8 P (x = 1) = = 7.2.10-7 g) Encestar a lo sumo dos canastas, es la probabilidad de que enceste 2 o menos de 2 P (x 2) = P (x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) = 1.10-8 + 7.2.10-7 + 2.2.10-5 = 3.4.10-8 P (x = 2) = = 2.2.10-5 Pues hasta aquí, voy a dejarte ahora unos ejercicios para practicar. Tu turno! EJERCICIOS MÓDULO II 1.- Una urna contiene 6 bolas con números pares y 9 bolas con números impares. Si hacemos diez extracciones con reemplazamiento, calcula la probabilidad de obtener número impar: a) Alguna vez. b) Más de 8 veces. c) Halla la media y la desviación típica. 2.- El 5% de los huevos de un supermercado están rotos. Halla la probabilidad de que un@ client@ que compra una docena de huevos encuentre alguno roto. 3.- La probabilidad de que un cierto experimento tenga éxito es 0,4. Si repetimos el experimento 15 veces, calcula la probabilidad de que tenga éxito: a) Alguna vez. b) Menor de dos veces. 4.- En un instituto aprueban matemáticas el 80% de l@s alumn@s. Si elegimos al azar 10, calcula la probabilidad de que: a) Aprueben todos l@s alumn@s b) aprueben 8 alumn@s c) apruebe al menos un@ alumn@ d) suspendan 3 alumn@s 5.- Un examen tipo test tiene 20 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro respuestas, de las que solo una es correcta. Si se contesta aleatoriamente, calcula: a) La probabilidad de aprobar el examen, suponiendo que solo suman puntos las preguntas acertadas y no restan los fallos b) la media y la desviación típica de la distribución 6.- El 30 % de los habitantes de un pueblo ve un concurso de televisión. Desde el concurso se llama por teléfono a 10 personas del pueblo, elegidas al azar. Calcular la probabilidad de que, de las 10 personas elegidas, estuvieran viendo el concurso: a) tres o menos personas b) ninguna 7.- En una partida de bombillas, el 10% son defectuosas. Si se eligen al azar 6 bombillas. Calcula la probabilidad de que: a) no haya ninguna defectuosa b) de que 2

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Módulo I.- Probabilidad

Hola, bienvenid@s al módulo I. En este módulo vamos a conocer un poco más el tema de probabilidad. Aquí ya no nos vale la excusa de… ¿cuándo voy a usar yo esto? Esto lo usamos tanto, que ni cuenta nos damos cuando lo hacemos. ¡Sigue leyendo, ya verás! MÓDULO I.- PROBABILIDAD Vamos a empezar el módulo viendo un poco de lenguaje, que nos vendrá bien manejar, para poder expresarnos mejor en la resolución de los ejercicios. Existen dos tipos de experimentos, los deterministas, que son aquellos en los que podemos predecir el resultado y los aleatorios, que son los que no podemos saber qué resultado vamos a obtener de antemano. En este módulo nos dedicaremos a estudiar los sucesos aleatorios. Cada suceso de este tipo, tendrá su espacio muestral, que es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Lo denotaremos con la letra E y se expresa entre llaves Algunos sucesos con los que vamos a trabajar serán: Sucesos elementales, que corresponde a cada uno de los sucesos que componen el espacio muestral. Sucesos compuestos: el que está formado por más de un suceso elemental. Suceso seguro: será el que siempre se cumple, con un 100% de probabilidad, sucederá. Suceso imposible: es el contrario del anterior, el que nunca se cumple. Tiene un 0% de probabilidad de suceder. Suceso contrario de un suceso A, es el que se verifica cuando no se verifica el A. También lo encontrareis como suceso complementario de A. Sucesos incompatibles, son los que si, al verificarse uno, no puede verificarse el otro. Es decir, si: A B = 0 (conjunto vacío). En caso contrario, diremos que los sucesos son compatibles. Sucesos independientes: son aquellos en los que el resultado de cada uno de ellos, no depende del otro. En caso que sí dependan, serán sucesos dependientes. OPERACIONES CON SUCESOS: Unión de sucesos: A B, ocurre cuando se cumple A o cuando se cumple B y se forma con la unión de los sucesos elementales de A y los de B. o = Intersección de sucesos: A B, ocurre cuando se realiza A y B a la vez y se forma con los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. y = PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS: Conmutativa: A B = B A (también se cumple con la unión) Asociativa: A (B C) = (A B) C (también se cumple con la unión) Distributiva: A (B C) = (A B) (A C) LEYES DE MORGAN: PROBABILIDAD: La probabilidad de que algo suceda se define, según la regla de LaPlace como: Va a estar comprendida siempre entre el 0 (suceso imposible) y el 1 (suceso seguro). PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD: Si dos sucesos son incompatibles: P (A B) = P (A) + P (B) Si dos sucesos son compatibles: P (A B) = P (A) + P (B) – P(A B) La probabilidad de un suceso contrario es: P () = 1 – P(A) Si dos sucesos son independientes: P(A B) = P (A) P (B) P(A ) = P (A) – P(A B). Con esta conseguimos calcular la probabilidad de que ocurra solo el suceso A, puesto que es la intersección de A con el contrario de B, es decir, que ocurra A y no ocurra B. (También podemos usarla al revés: P( B) = P (B) – P (A B). LEYES DE MORGAN: P ( ) = P ( ) = 1 – P (A B) P ( ) = P ( ) = 1 – P (A B) PROBABILIDAD CONDICIONADA: Para el cálculo de propiedades condicionadas, aquellas en las que sucede algo, habiendo sucedido otra cosa antes, vamos a utilizar el Teorema de Bayes: El “sabiendo”, lo que ha sucedido primero, es lo que va en el denominador siempre. Recordad que lo llamamos probabilidad condicionada cuando los datos están en el mismo orden que los tenemos colocados en el diagrama de árbol y Teorema de Bayes, cuando están al revés. Por lo que llevamos visto hasta ahora podrás ver que se hace necesaria la representación u organización de los datos en este tipo de diagrama, que llamamos árboles de probabilidad. Vamos a aprender con algún ejemplo, como hacerlo y como, a partir de él, calculamos las diferentes probabilidades Ejemplo: En una universidad el 70% de los alumn@s que acuden a la EBAU proceden de centros públicos y el resto de centros privados. De los alumn@s de centros públicos, el 25% obtienen una nota superior a 7 puntos. De los alumn@s de centros privados, el 28% obtiene una nota superior a 7 puntos. Se elige un@ alumn@ al azar y se pide: a) Probabilidad de que tenga una nota menor o igual a 7 puntos b) Sabiendo que viene de un centro público, cuál es la probabilidad de que tenga una nota superior a 7 puntos c) Sabiendo que la nota es superior a 7 puntos, cuál es la probabilidad de que el alumn@ proceda de un centro público? d) ¿Son incompatibles los sucesos: “alumn@ de centro publico” y “alumn@ con una nota menor o igual que 7 puntos”? Primero vamos a definir los sucesos y sus probabilidades: Sea el suceso O ser alumn@ de un centro público, cuya probabilidad es, según se indica en el enunciado, del 70%. P (O) = 0.70 Sea el suceso A ser alumn@ de un centro privado, cuya probabilidad es, según indica el enunciado el resto. Así que será el 100% – 70% = 30%. P (A) = 0.30 Sea el suceso S, obtener una nota superior a 7, cuya probabilidad, según el enunciado es del 25 % para l@ alumn@s de centros públicos y del 28 % para l@s de centros privados: P (S/O) = 0.25 y P (S/A) = 0.28 (observa, estas serían probabilidades condicionadas) Consideraremos , el suceso contrario al anterior, es decir sacar una nota menor o igual a 7 puntos, cuyas probabilidades calculamos por diferencia al 1

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Integrales Definidas- Módulo II – Definidas y Aplicaciones

Bienvenidos al módulo final. En este módulo, vamos a aprender a realizar integrales definidas y además sus aplicaciones. De esta forma veremos de forma más clara para qué podemos usar el cálculo integral – INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES- Definimos la integral definida de una función f (x) en el intervalo [a, b] como el área limitada por la función f(x), el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b Se representa como: (con b a) y se lee: integral definida de f (x) entre a y b. Propiedades de las integrales definidas: = 0, sea cual sea la función f (x) = , es decir, si cambiamos los límites de integración, la integral definida cambia de signo = k . = .Si c (a,b) ,entonces la integral definida entre a y b, puede descomponerse como la suma de la integral definida entre a y c y la integral definida entre c y b Si f es una función continua en [a, b], entonces existe un número c , tal que: . Esta propiedad es la que conocemos como el Teorema del Valor Medio del cálculo Integral Para calcular estas integrales definidas, usaremos la REGLA DE BARROW, que dice que: la integral definida de una función f(x), continua en [a, b], es igual a la diferencia del valor que toma la primitiva en los límites de integración: Para calcular este tipo de integrales definidas, vamos a seguir los siguientes pasos: 1º) Calculamos la primitiva (F (x)), de f (x) 2º) Calculamos F (b) y F (a) y hacemos su diferencia 3º) Escribimos el resultado Estos pasos, con la práctica los haremos de forma más mecánica y no será necesario hacerlos de uno en uno por ejemplo: 1º) 2º) F (3) = = 3 + K F (1) = = -1 + K F (3) – F (1) = 3 + K – (-1 + K) = 4 3º) = F (3) – F (1) = 4 Al realizar la diferencia de F (b) – F (a) desaparecen los valores constantes, por esto, en estas integrales definidas no necesitaremos sumar la constante. Estas integrales definidas, que representan como ya hemos dicho, el área encerrada por una función con el eje OX y las rectas x = a y x = b, podemos encontrarnos con varios casos: Si la función está por encima del eje X, tendremos un área positiva Si a función está por debajo del eje X, tendremos un área negativa y para dar el resultado, haremos su valor absoluto Ojo, la función puede tener una parte por encima y otra por debajo del eje, por eso, es importante una buena representación de la función, ya que de esto dependerá el resultado de la integral definida Este tipo de primitivas, también nos permitirá calcular el área encerrada entre dos curvas, o varias funciones, sean del tipo que sean. Para ello, representamos ambas funciones lo mejor que podamos y calcularemos el área mediante integración, puesto que el área comprendida entre dos curvas f y g, es igual al área comprendida entre la función diferencia, f-g y el eje OX (a la hora de realizar esta diferencia, siempre tenemos que restar la función que va por encima menos la que va por debajo). Pueden ocurrir los siguientes casos: Caso I: Que ambas curvas sean positivas y no se corten A = Caso II: Ambas curvas son de distinto signo y no se cortan A = A1 + A2 = Caso III: Ambas curvas se cortan A = A1 + A2 = Donde c, es el punto de corte de ambas funciones Lo más conveniente es representar ambas funciones y observar cómo es esa área, para no errar en su cálculo. Ahora es el momento de dejaros unos ejemplos de los ejercicios de estos temas (en la pestaña de materiales) Y por último, os dejo los ejercicios de este módulo para practicar: a) Calcula la integral: b) Calcula el área que determina la curva y = y el eje X c) Halla el área limitada por las parábolas e . Representar el recinto cuya área se pide d) Considera la función , siendo . Calcula el valor de m para que el área del recinto plano limitado por la gráfica de f y la recta y = -mx, sea e) Representa y calcula el recinto limitado entre las curvas e f) Dada la función ; se pide representar gráficamente la función y determinar el área limitada por dicha curva y el eje de las abscisas de los puntos mínimo y máximo de la función g) Calcular el valor de k para que se cumpla: h) Calcular una primitiva de , cuya gráfica pase por el punto (1, 3) i) Dada la función , calcular el área encerrada por la curva, el eje X y las rectas perpendiculares al eje X que pasan por el máximo y el mínimo de la función dada j) Encuentra una función de la que se sabe que su derivada es y que f (2) = 5 k) Calcular el área de la región del semiplano limitada por la curva , su tangente en x= 1 y la recta x = 3 l) Hallar el área del rento plano limitado por y = 1 e m) Determinar f(x), sabiendo que f”’ (x) = 24x; f(0) = 0; f ‘(0) = 1 y f” (0) = 2

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Integrales Indefinidas- Módulo I – Inmediatas

Bienvenid@s al módulo I Aquí vamos a aprender un poquito sobre las integrales inmediatas. Si me sigues con atención, en un ratito serás capaz de jugar y divertirte con ellas. -CÁLCULO DE INTEGRALES INMEDIATAS- El primer tipo de integral que debemos conocer es la integral de una potencia, puesto que, es la que más se utiliza Esta sería del tipo: = De esta forma, tendríamos que: = = Para este tipo de integración y para las que vienen a continuación, es importante conocer dos propiedades de las integrales, que también se van a usar con mucha frecuencia: = Esto significa que todo valor constante que esté multiplicando a una función puede “salir” de la integral “sin pena ni gloria” = Es decir, la integral de una suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales. Se hace necesario, para proseguir, una tabla con integrales inmediatas que debéis conocer Con todo esto, ya estaréis preparad@s para resolver un montón de integrales. Pero antes de dejaros sol@s a la aventura, os voy a dejar unos ejemplos comentados, en la pestaña de materiales, para orientaros un poquito, os parece? Y ya, por último, os propongo una serie de ejercicios para que empecéis a jugar y a perder un poquito el miedo (puedes verlos aquí o si lo prefieres, descargar el archivo, lo que te sea más cómodo) EJERCICIOS PROPUESTOS FIN MÓDULO I a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) w) x) y) z) aa) bb)

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Matemáticas CCSS