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Integrales Anexo II: Descomposición en fracciones simples Copy

Hola, aquí te dejo otra ayudita para repasar las diferentes formas que tenemos de descomponer una fracción

-DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES-

Podemos hacerlo de forma sencilla siguiendo estos pasos:

  • Factorizamos el denominador (tendremos tantas fracciones simples como factores tenga el denominador)
  • Expresamos la fracción dada como suma de tantas como nos hayan salido y hacemos el mínimo común múltiplo para sumarlas
  • Igualamos los numeradores para poder averiguar los valores de los parámetros A, B,…

Este procedimiento es el mismo para todos los casos, pero vamos a ver los más habituales con unos ejemplos, para que nos sea más sencillo de explicar y de comprender

Caso a) Raíces reales sencillas: \frac{7x+1}{x^{2}-x-2}

  • x^{2}-x-2=0 (resolvemos esta ecuación y obtenemos dos resultados: x = 2 y x = -1) de ahí deducimos quex^{2}-x-2= (x-2)\cdot (x+1)  y por tanto, que:  \frac{7x+1}{x^{2}-x-2}= \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}
  • \frac{7x+1}{x^{2}-x-2}= \frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}=\frac{A(x+1)+B(x-2)}{x^{2}-x-2}
  • 7x+1 = A (x+1) + B (x-2)

Usamos las raíces del polinomio para resolver A y B

Para x = 2;

7 \cdot 2 + 1 = A (2+1) + B (2 – 2)

15 = 3A ; A = 5

Para x = -1;

7 \cdot(-1) +1 = A (-1+1) + B (-1- 2)

-6 = -3B ; B = 2

4) Solución:

  • \frac{7x+1}{x^{2}-x-2}= \frac{5}{x-2}+\frac{2}{x+1}

Caso b) Raíces múltiples: \frac{3x-2}{x^{2}-2x+1}

  • x^{2}-2x+1 = 0  (resolvemos esta ecuación y obtenemos dos resultados: x = 1 (doble)) de ahí deducimos que x^{2}-2x+1 =(x-1)^{2}
  •  y por tanto, que: \frac{3x-2}{x^{2}-2x+1} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}
  • \frac{3x-2}{x^{2}-2x+1} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}= \frac{A(x-1)+B}{(x-1)^{2}}
  • 3x-2 = A (x-1) + B

Usamos las raíces del polinomio para resolver A y B, como solo tenemos una raíz, la segunda podemos poner la que queramos o nos convenga

Para x = 1;

3 \cdot 1 – 2 = A (1-1) + B

1 = B ; B = 1

Para x = 0;

3 \cdot 0 – 2  = A (0-1) + B

-2 = -A + B ; -2 = -A + 1 ; A = 3

4) Solución: \frac{3x-2}{x^{2}-2x+1} = \frac{3}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}

Caso c) Raíces complejas: \frac{2x+1}{x^{3}-2x^{2}+x-2}

  •  (resolvemos esta ecuación por Ruffini y obtenemos una única solución: x = 2)

 

De ahí deducimos que x^{3}-2x^{2}+x-2 = (x-2)\cdot (x^{2}+1)y por tanto, que: \frac{2x+1}{x^{3}-2x^{2}+x-2} = \frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}

  • \frac{2x+1}{x^{3}-2x^{2}+x-2} = \frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}= \frac{A(x^{2}+1)+ (Bx+C)(x-2)}{(x^{2}+1)(x-2)}
  • 2x-1=A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x-2)

Usamos las raíces del polinomio para resolver A, B y C, como solo tenemos una raíz, las otras podemos poner las que queramos o nos convengan

Para x = 2;

2 \cdot 2 -1 = A (22+1) + (B \cdot  2 + C) (2 – 2)

5 = 5A ; A = 1

Para x = 0

2 \cdot 0 -1 = A (02+1) + (B \cdot  0 + C) (0 – 2)

1 = 1A – 2C ; 1 = 1- 2C ; C = 0

Para x = 1

2 \cdot 1 -1 = A (12+1) + (B \cdot 1 + C) (1 – 2)

3 = 2A – B – C ; 3 = 2 – B – 0 ; B = -1

  • Solución: \frac{2x+1}{x^{3}-2x^{2}+x-2} = \frac{1}{x-2}+\frac{-1x+0}{x^{2}+1}= \frac{1}{x-2}-\frac{x}{x^{2}+1}

 

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