Integrales- Ejercicios de pruebas de acceso a la Universidad - Copy

Por último, os dejo unos ejercicios propuestos en las pruebas de acceso a la Universidad de Extremadura desde el año 2000 hasta el año 2020; así podréis haceros una idea de qué suelen preguntar en estos exámenes y seguís practicando.

A por ellas!

1.- Calcular, integrando por partes, el valor de: $\"\\int_{1}^{2}x^{2}$

2.- Calcular el área limitada por la parábola $\"y$ , la circunferencia $\"x^{2}+y^{2}=1\"$ y el eje OX, que aparece rayada en la figura

3.- Determinar una función f(x) cuya segunda derivada sea $\"f\'\'(x)=x\\cdot$

4.- Calcular, con el cambio de variable $\"t^{2}=x+3\"$ , el valor de: $\"\\int_{1}^{6}\\frac{x}{\\sqrt{x+3}}dx\"$

5.- Determinar una constante positiva \”a\”, sabiendo que la figura plana limitada por la parábola $\"y$ , la recta y = 0 y la recta x= a tiene área $\"(a^{2}-1)^{2}\"$

6.- Calcular el valor de: $\"\\int_{0}^{1}\\frac{x}{e^{x^{2}}}dx\"$ ( puede hacerse con el cambio de variable $\"t$ )

7.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por la curva $\"y=x^{3}-x\"$ y su tangente en el punto de abscisa x = 1.

Calcula su área

8.- Definir el concepto de primitiva de una función y explicar su relación con el concepto de integral definida

9.- Representar gráficamente la figura plana limitada por las parábolas $\"y=4-x^{2}\"$ e $\"y$ .

Calcula su área

10.- Calcula el valor de la integral: $\"\\int_{0}^{1}x\\cdot$

11.- Representa gráficamente el recinto plano limitado, en la región donde la coordenada x es positiva, por la recta x = 1, la hipérbola xy = 1,y la recta 6y-x+1= 0.

Calcular su área

12.- Calcular una primitiva de la función $\"f(x)=$ , que se anule para x = 2

13.- Representar gráficamente el recinto limitado por la recta y =x-2 y la parábola de ecuación $\"y^{2}$

14.- Calcular el valor de la integral $\"\\int_{e}^{^{e^{2}}}\\frac{dx}{x\\cdot$ , donde ln denota el logaritmo neperiano. Puede hacerse con el cambio de variable $\"x=e^{t}\"$

15.- Calcular el valor de $\"\\int_{0}^{1}\\frac{dx}{e^{x}+1}\"$ ( puede hacerse con el cambio de variable t = $\"e^{-x}\"$ )

16.- Representar gráficamente la figura plana limitada por la curva $\"y$ , su recta tangente en el punto de abscisa x = 0 y la recta x = 1.

Calcular su área

17.- Representar gráficamente el recinto del plano limitado, en la región donde la abscisa x sea positiva, por la curva $\"y=x^{3}+x\"$ , por la recta y = 2x.

Calcular su área

18.- Representar gráficamente la figura plana limitada en el primer cuadrante ( $\"x\\geq$ ) limitada por la recta y = x y la curva $\"x=$ .

Calcula su área

19.- Calcular el valor de la integral $\"I=\\int_{1}^{2}x^{3}\\sqrt[2]{x^{2}-1}dx\"$ ( Puede hacerse con $\"x^{2}-1$ )

20.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por las curvas $\"y$ e $\"y=e^{-x}\"$ , y por la recta x = 1.

Calcular su área

21.- Calcular el valor de la integral $\"I$ , donde L denota el logaritmo neperiano

(puede hacerse por partes)

22.- Calcular una primitiva de la función $\"f(x)=(x+1)^{2}$ que se anule en x = 1

23.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por la recta x – y = 1 y por la curva de ecuación $\"y=\\sqrt{x-1}\"$

Calcular su área

24.- Representar gráficamente la figura plana limitada por la curva $\"y=x^{4}\"$ , su recta tangente en el punto P (1,1) y el eje OY.

Calcular su área

25.- Halla una primitiva de la función $\"f(x)=x$

26.- Enuncia la Regla de Barrow.

Representa la gráfica de la función $\"f(x)=\\int_{1}^{x}t$

27.- Representa la figura plana limitada por la gráfica de la función f (x) = cos x, en el intervalo $\"\\frac{-\\pi$ , y por la recta y = ½

Calcula su área

28.- Representa gráficamente el recinto plano limitado por las parábolas y = 1- x² e y = 2x²y calcula su área

29.- Calcula el valor de la integral $\"I=\\int_{3}^{10}(x-2)^{1/3}dx\"$

30.- Representa gráficamente la figura plana limitada por la curva $\"y=2x^{3}\"$ , su recta tangente en el origen de coordenadas y la recta x = 2.

Calcula su área

31.- a) Enuncia el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral

b) Calcula el punto al que se refiere dicho teorema para la función $\"f(x)=3x^{2}+1\"$ en el intervalo [0, 3]

32.- a) Representa gráficamente el recinto plano limitado por la recta $\"y+2x-6=0\"$ y la parábola $\"y=-x^{2}+2x+3\"$

b) Calcula su área

33.- Calcula la función f (x) cuya gráfica pasa por el punto A (0, 1), es decir f (0) = 1, y que tiene como derivada la función $\"f\'(x)=\\frac{2x}{x^{2}+1}\"$

34.- a) Define el concepto de primitiva de una función

b) Di, razonando la respuesta, si las funciones $\"F_{1}(x)=sen^{2}x\"$ y $\"F_{2}(x)=-cos^{2}x\"$ son primitivas de una misma función

35.- a) Exprese $\"f(x)=x\\cdot$ como una función definida a trozos y dibuje su gráfica de forma aproximada

b) Calcule la integral definida: $\"\\int_{-1}^{1}x\\cdot$

c) Calcule el área del recinto plano limitado por la gráfica de f (x), el eje OX, la recta x = -1 y la recta x=1

36.- a) Escriba la fórmula o regla de la integración por partes

b) Aplíquela para calcular la integral indefinida $\"I=\\int$

37.- Dada la parábola de ecuación $\"y=-x^{2}-2x+3\"$ ; sea r su recta tangente en x = -1 y sea s su recta tangente en x = 1

a) Calcule las ecuaciones de r y de s

b) Represente, de forma aproximada, el recinto plano limitado por la parábola, la recta r y la recta s

c) Calcule el área de dicho recinto

38.- a) Calcule la primitiva de la función racional $\"f(x)=\\frac{1}{1-x^{2}}\"$

b) Calcule la integral $\"I=\\int$ (puede utilizarse el cambio t = sen x)

39.- a) Represente, de forma aproximada, la recta x = 1 y las curvas $\"y=\\frac{x^{2}}{2}\"$ , $\"y=$ , y señale el recinto plano limitado por ellas

b) Calcule el área de dicho recinto

40.- a) Diga cuándo una función F (x) es primitiva de otra función f (x)

b) Calcule una primitiva F (x) de la función $\"f(x)=x\\cdot$ que cumpla que F (0) = 0

41.- a) Represente, de forma aproximada, la curva $\"y=x^{4}+x^{3}+x^{2}+1\"$ y la recta tangente a dicha curva en el punto Q₀ (-1, 4)

b) Señale el recinto plano limitado por el eje OY y por la curva y la recta del apartado anterior, y calcule el área de dicho recinto

42.- Calcula el valor de la integral $\"I=\\int_{1}^{2}$

43.- a) Represente, aproximadamente, el recinto plano limitado por la parábola $\"y=2x^{2}\"$ y la parábola $\"y=x^{2}+4\"$

b) Calcule el área de dicho recinto

44.- a) Represente, de forma aproximada, la figura plana limitada por la hipérbola xy = 1, su recta tangente en el punto A (1, 1) y la recta x = 2

b) Calcule el área de dicha región plana

45.- Calcule las primitivas de la función $\"f(x)=\\frac{1}{e^{x}-e^{-x}}\"$ con $\"x>$

(puede utilizarse el cambio de variable $\"t=e^{x}\"$ )

46.- a) Represente, de forma aproximada, la figura plana limitada por la curva $\"y=-2(x-1)^{3}\"$ , su recta tangente en el punto A (1, 0) y la recta x = 0

(Puede ser útil calcular los cortes de la curva con los ejes de coordenadas)

b) Calcule el área de dicha figura plana

47.- a) Enuncie el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral

b) Calcule el punto al que se refiere dicho teorema para la función $\"f(x)=e^{x}+1\"$ en el intervalo [0, 1]

48.- Calcule, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva F (x) de la función $\"f(x)=x^{2}\\cdot$ que cumpla F (1) = 0

49.- a) Represente, de forma razonada, la gráfica de la función $\"f(x)=x\\cdot$

Señale el recinto plano limitado por dicha gráfica, el eje OX, la recta x = -1 y la recta x = 1

b) Calcule el área del recinto del apartado anterior

50.- a) Calcule los puntos de corte de la recta $\"r\\equiv$ y de la recta y = 1 con la rama hiperbólica $\"xy=2\"$ , $\"x>$

b) Dibuje el recinto plano limitado por las tres curvas del apartado anterior

c) Calcule el área de dicho recinto

51.- Calcule la siguiente integral de una función racional: $\"I=\\int$

52.- a) Calcule el siguiente límite: $\"\\lim_{x\\rightarrow$ (L $\"\\rightarrow\"$ neperiano)

b) Estudie los extremos relativos, las asíntotas y el signo de la función definida en el intervalo abierto $\"(0,$

c) Haciendo el cambio de variable $\"t=\\sqrt{x-1}\"$ , calcule la primitiva de la siguiente función $\"f(x)=x\\cdot$ , cuya gráfica pasa por el punto A (1, 0) del plano

53.- Calcule, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva de F (x) de la función $\"f(x)=$ que cumpla F (0) = 1

54.- a) Halle, utilizando la fórmula de integración por partes, una primitiva de la función $\"f(x)=1+Ln$

b) Calcule el área de la región plana limitada por la curva $\"y=Lnx\"$ , la recta horizontal y = -1, y las rectas verticales x = 1 y x = e

55.- Calcule la siguiente integral de una función racional: $\"I=\\frac{3x}{x^{2}+x-2}dx\"$

56.- Calcule el valor de la integral definida: $\"\\int_{0}^{1}[\\frac{2x}{x^{2}+1}+(2x-1)\\cdot$

57.- a) Dibuje el recinto plano limitado por la parábola $\"y=1-x^{2}\"$ , el eje OX, la recta x = 0 y la recta x = 2

b) Calcule el área de dicho recinto

58.- Calcule el área de la región plana limitada por la gráfica de la función f (x) = sen x, el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2 $\"\\pi\"$

59.- Calcule la siguiente suma de integrales definidas: $\"\\int_{1}^{2}\\frac{-2}{x^{3}}dx$ , cuyas integrales indefinidas asociadas son inmediatas

60.- Calcule la siguiente integral definida de una función racional: $\"\\int_{2}^{e+1}\\frac{x-2}{x^{2}-3x+2}dx\"$

61.- a) Dibuje el recinto plano limitado por la parábola $\"y=x^{2}-2\"$ y la recta $\"y=x\"$

b) Calcule el área de dicho recinto plano

62.- Calcule la suma de integrales definidas: $\"\\int_{0}^{e-1}\\frac{1}{x+1}dx$

63.- a) Represente, aproximadamente, la gráfica de la función $\"g(x)=$ definida en el intervalo $\"[0,\\pi$

b) Calcule el área de la región limitada por la gráfica de la función $\"g(x)=$ , el eje OX y las rectas x = 0 y x = $\"\\pi\"$

64.- a) Diga cuándo una función F (x) es una primitiva de otra función f (x)

b) Diga cómo puede comprobarse, sin necesidad de hacer derivadas, si dos funciones F (x) y G (x) son primitivas de una misma función

c) Diga si las funciones $\"F(x)=$ y $\"G(x)=\\frac{1-sen^{2}x}{cosx\\cdot$ , razonando la respuesta, si son primitivas de una misma función

65.- Calcule la siguiente integral definida de una función racional: $\"\\int_{1-\\sqrt{5}}^{1+\\sqrt{5}}\\frac{x-1}{x^{2}-2x}dx\"$

66.- Calcule una primitiva F (x) de la función: $\"f(x)=\\frac{-2x}{e-x^{2}}-2x\\cdot$ , que cumpla F (0) = 1

67.- a) Calcule los puntos en los que la recta $\"y=x-1\"$ y el eje OX cortan a la parábola $\"y=-x^{2}+6x-5\"$

b) Dibuje, aproximadamente, el recinto plano limitado entre la parábola $\"y=-x^{2}+6x-5\"$ y la recta $\"y=x-1\"$

c) Calcule el área de dicho recinto plano

68.- Calcule el valor de la integral definida: $\"\\int_{0}^{a}\\frac{1}{\\sqrt{x}+1}dx\"$ donde $\"a=(e-1)^{2}\"$

[El cálculo de la integral indefinida puede hacerse con el cambio de variable $\"t=\\sqrt{x}\"$ , (es decir, $\"x=t^{2}\"$ ), o también con el cambio de variable $\"u=\\sqrt{x}-1\"$ ]

69.- a) escriba la “regla de la cadena” para la derivación de funciones compuestas

b) Calcule la derivada de la función: $\"f(x)=ln$

c) Obtenga, utilizando el apartado b), una primitiva G (x) de la función g (x) = tg (x) que cumpla G (0) = 1

70.- Utilizando el cambio de variable $\"1+x^{2}=t^{2}\"$ , calcule una primitiva F (x) de la función $\"f(x)=\\frac{x^{3}}{\\sqrt{1+x^{2}}}\"$ que cumpla F (0) = 0

71.- a) Calcule los puntos en los que las dos curvas $\"y$ , $\"y=-x^{2}\"$ cortan a la recta x = 0 y a la recta x = 1

b) Calcule el área de la región plana limitada por las curvas $\"y$ , $\"y=-x^{2}\"$ , y por las rectas x = 0 y x = 1

72.- Calcule una primitiva F (x) de la función $\"f(x)=\\frac{2x}{x^{2}+1}-e^{x}+2x\\cdot$ que cumpla que F(0) = 0

73.- a) Estudie el dominio, las asíntotas y máximos y mínimos de la función: $\"f(x)=\\frac{1}{x^{2}-1}\"$

b) Represente la gráfica de f (x) utilizando los datos del apartado anterior

c) Calcule una primitiva F (x) de la función f (x)

74.- Sea la función $\"f(x)=\\left$

a) Estudie la continuidad y derivabilidad de f (x)

b) Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de f (x) y justifique si en el punto x = 0 la función f (x) tiene un mínimo relativo

c) Dibuje el recinto plano limitado entre las funciones $\"f(x)=$ y $\"g(x)=2-x^{2}\"$ y calcule su área

75.- Sea la función $\"f(x)=Lnx\"$ para $\"x>$

a) ¿Se puede definir f (0) para que f (x) sea continua por la derecha de x = 0?

b) Estudie los máximos y mínimos relativos de f (x) para $\"x>$

c) Halle, si existe, la recta tangente a f (x) en x = 1

d) Calcule una primitiva F (x) de la función $\"f(x)=x\\cdot$

76.- Sean las funciones $\"f(x)=x^{2}-4\"$ y $\"g(x)=\\frac{1}{2}x^{2}-2\"$

a) Represente la región plana encerrada por las funciones f (x) y g (x)

b) Calcule el área de la región anterior

77.- Resuelve la integral: $\"\\int$

78.- Dadas las funciones $\"f(x)=x^{2}-2\"$ y $\"g(x)=x\"$

a) Represente la región plana encerrada por f (x) y g (x)

b) Calcule el área de la región anterior

79.- Calcule una primitiva F (x) de la función $\"f(x)=\\frac{x-3}{x^{2}-1}\"$

80.- Definir el concepto de primitiva de una función.

¿Existe alguna primitiva de la función $\"f(x)=x^{-1}\"$ que no tome ningún valor negativo en el intervalo $\"1\\leq$ ?

81- Sean las funciones $\"f(x)=1-x^{2}\"$ y $\"g(x)=-3\"$

a) Represente la región plana encerrada por las funciones f(x) y g(x)

b) Calcule el área de la región anterior

82.- Calcule la integral: $\"\\int$

83.- Dadas las funciones $\"f(x)=$ y $\"g(x)=-x+1\"$

Se pide:

a) Represente de forma aproximada la región delimitada por las dos curvas

b) Calcule el área de dicha región

84.- Resuelva la integral: $\"\\int$

11.- Ejercicios Acceso Universidad Extremadura

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