Módulo I.- Estudio y representación de una función

Hola!

Bienvenid@ a este primer módulo sobre estudio y representación de funciones.

En este caso vamos a ver, paso por paso, cuáles son los puntos más importantes a estudiar a la hora de representar una función. En los siguientes módulos os dejaré un ejemplo de los tipos de funciones más frecuentes, para que veas como aplicar este estudio a cada caso.

Así que sin más, arrancamos!

MÓDULO I.- ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN

1.- Primero estudiaremos el DOMINIO de la función (los valores de x para los que ésta está definida), pudiendo destacar los siguientes casos:

– Función polinómica (tipo $f(x)= ax^{m}+bx^{m-1} cx^{m-2}+...$ ): dominio $\mathbb{R}$ o lo que es lo mismo de $(-\infty, +\infty)$

– Función racional (fracción algebraica) (tipo f $f(x) =\frac{n(x)}{d(x)}$ ): dominio $\mathbb{R}$ excepto los valores que anulan el denominador

Condición: d(x) $\neq$ 0

– Función irracionales – raíz de índice par (tipo $f(x)= \sqrt[par]{i(x)}$ ): el radicando (lo de dentro de la raíz) debe ser mayor o igual que cero

Condición: radicando (i(x)) $\geq$ 0

– Función raíz de índice impar (tipo $f(x)= \sqrt[impar]{i(x)}$ ): el dominio depende del radicando (de i(x))

– Función exponencial (tipo $f(x)= a^{e(x)}$ ) : el dominio depende de la función que tenga el exponente (e(x))

– Función logarítmica (tipo $f(x)= log_{b}a(x)$ ) : el argumento (lo de dentro del logaritmo (a(x))) debe ser mayor que cero

Condición: a(x) $>$ 0

– Función trigonométrica (tipo $f(x)= sen /cos ...a(x)$ ) = : el dominio dependerá de a(x)

– Función definida a trozos: el dominio dependerá de los tramos que intervengan en la función. Se calcula el dominio de cada uno de los tramos, según el tipo de función que sea, y después se resumen para el dominio general de la función

– Función valor absoluto: Hay que desdoblarla primero como una función definida a trozos y después calcular su dominio

2.- PUNTOS DE CORTE de la función con los ejes de coordenadas

– el punto de corte con el eje OX lo obtenemos sustituyendo la y por 0, es decir, igualando la función a 0

– el punto de corte con el eje OY lo obtenemos sustituyendo la x por 0

En caso de no encontrar ningún punto de corte (porque al resolver la ecuación nos salga una raíz negativa, por ejemplo) podemos recurrir al uso del teorema de Bolzano, donde podemos indicar si existe algún intervalo donde la función corte al eje x

El teorema de BOLZANO dice que: “ si f (x) es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f (a) $\neq$ f (b) , o lo que es lo mismo, f (a) $\cdot$ f(b) $<$ 0, entonces, existe un valor de c $\epsilon$ (a, b), tal que la función se anula, es decir: f(c) = 0”

3.- SIMETRÍA de la función. Podemos encontrar los siguientes casos:

–Par, en este caso la función es simétrica respecto del eje OY y se dará siempre y cuando f(x) = f(-x)

– Impar, en este caso la función es simétrica respecto del origen de coordenadas, y se dará siempre y cuando f (-x) = -f(x)

4.- En algunas funciones será necesario también comprobar su CONTINUIDAD en algún punto en el que no sepamos qué ocurre (suele hacerse para funciones definidas a trozos, en el punto donde cambia el tramo)

Y para que una función sea continua en un punto debe cumplirse que:

$\exists$ f (x_o) (exista la función en el punto)
$\exists\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ , para lo que es necesario que $\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x) = \lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)$ , es decir, deben coincidir los límites laterales
f (x_o) = $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)$

Si esto no se cumple, tendremos que indicar el tipo de discontinuidad que presente la función en ese punto. Estos tipos podrán ser:

Discontinuidad evitable, si ocurre que no existe la función en el punto, o el límite no coincide con el valor de la función en ese punto
Discontinuidad de salto finito, si no coinciden los límites laterales, pero los valores son numéricos
Discontinuidad de salto infinito, si no coinciden los límites laterales, pero los valores son infinito

También podríamos necesitar, para algunos ejercicios comprobar la derivabilidad de una función en un punto

Para que esto ocurra, es decir para que una función sea derivable en un punto x_o, tiene que cumplirse que:

f(x) sea continua en x_o
$f'(x_{0}^{+})= f'(x_{0}^{-})$ , es decir, deben coincidir las derivadas laterales.

5.- Estudio de las ASÍNTOTAS y RAMAS PARABÓLICAS de la función, que podrán ser:

– Asíntotas verticales: existen en los puntos que anulen el denominador de la función y existirán siempre y cuando el límite cuando x tiende a este punto de la función resulte infinito

Condición: $\lim_{x\rightarrow k}f(x)= \pm \infty$

La función presenta una asíntota vertical en x = k

Si hacemos los límites laterales, obtendremos además la posición de la curva respecto de la asíntota, de tal forma que, si el resultado es $+\infty$ , la función subirá y si es $-\infty$ , la función bajará

– Asíntotas horizontales: existen siempre y cuando el grado del denominador sea mayor o igual que el del numerador

Condición: $\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=k$

La función presenta una asíntota horizontal en y = K

Para saber la posición de la curva respecto de la asíntota, haremos una tabla de valores, sustituyendo valores muy grandes (por ejemplo x= 1000 y x = -1000) tanto en la función como en la asíntota y así apreciaremos quién está por encima y quién por debajo

-Asíntotas oblicuas: existen siempre y cuando el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador.

No puede darse el caso de que una función presente una asíntota horizontal y una oblicua, puede tener una, otra o ninguna de las dos.

La asíntota será del tipo y = mx + n y calcularemos la m y la n haciendo lo siguiente:

$m\equiv \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{f(x)}{x}$ (esto se hace para igualar el grado del numerador y del denominador y poder obtener un valor numérico)

$n\equiv \lim_{x\rightarrow \infty}f(x)-mx$ (con esto también conseguimos que el resultado de este límite sea un valor numérico)

También podríamos obtener la asíntota oblicua dividiendo el numerador entre el denominador, obteniendo en el cociente el valor de dicha asíntota.

En el caso de que la función no presente ninguna asíntota, procederemos al estudio de sus ramas parabólicas, haciendo los límites siguientes: $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ y $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$ para ver cómo se comporta la función en ambos casos.

Para saber la posición de la curva respecto de la asíntota, haremos una tabla de valores, sustituyendo valores muy grandes (por ejemplo x= 1000 y x= -1000) tanto en la función como en la asíntota y así apreciaremos quién está por encima y quién por debajo

OJO.- Algunas funciones como las logarítmicas, las radicales y las exponenciales también presentan asíntotas. No solo las tenemos en las fracciones.

Así que, es importante comprobar las asíntotas en todas las funciones para que no se nos olvide y así queda justificado dónde presenta una asíntota una función o por qué no tiene asíntotas otra función.

6.- SIGNO DE LA FUNCIÓN, para el estudio de este punto vamos a recurrir a igualar la función a 0, f(x) = 0. Los valores obtenidos de la resolución de esta ecuación (que, si hemos calculado los puntos de corte con el eje OX, ya los tendremos).

Damos valores a la derecha y la izquierda de estos puntos y además de los puntos que representan asíntotas verticales y:

donde f(x) $>$ 0, es decir positiva, la función quedará representada por encima del eje OX
donde f(x) $<$ 0, es decir negativa, la función quedará representada por debajo del eje OX

7.- MONOTONÍA Y PUNTOS SINGULARES (crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos)

Para este punto haremos la derivada de la función y la igualaremos a 0 (f ’ (x) = 0). Los puntos que obtengamos, serán posibles máximos o mínimos de la función. Daremos valores a la derecha y la izquierda de estos puntos, así como de los valores que representen asíntotas verticales y:

donde f ’ (x) $>$ 0, es decir positiva, la función tendrá un tramo creciente
donde f ’ (x) $<$ 0, es decir negativa, la función tendrá un tramo decreciente

Los puntos donde haya un cambio de creciente a decreciente, serán valores máximos (que demostraremos más adelante); y los puntos donde haya un cambio de decreciente a creciente, serán valores mínimos (que también veremos cómo quedan demostrados)

8.- CURVATURA (concavidad, convexidad y puntos de inflexión)

Ahora, haremos la segunda derivada de la función (es decir, la derivada de la derivada) y la igualaremos a 0 (f ’’ (x) = 0). Los puntos que obtengamos, serán posibles puntos de inflexión de la función. Daremos valores a la derecha y la izquierda de estos puntos, así como de los valores que representen asíntotas verticales y:

donde f ’’ (x) $>$ 0, es decir positiva, la función tendrá un tramo cóncavo (feliz)
donde f ’’ (x) $<$ 0, es decir negativa, la función tendrá un tramo convexo (triste)

Los puntos donde haya un cambio de cóncava a convexa, serán los puntos de inflexión

9.- COMPROBACIONES Y/O DEMOSTRACIONES

Para demostrar que la función presenta un máximo de coordenadas ( $x, f(x_{0})$ ) debe ocurrir que f ’’ ( $x_{o}$ ) $<$ 0

Para demostrar que la función presenta un mínimo de coordenadas ( $x, f(x_{0})$ ) debe ocurrir que f ’’ ( $x_{o}$ ) $>$ 0

Para demostrar que la función presenta un punto de inflexión de coordenadas ( $x, f(x_{0})$ ) debe ocurrir que f ’’’ ( $x_{o}$ ) $\neq$ 0

10.- PERIODICIDAD: Solo en el caso de funciones trigonométricas, puesto que son las únicas periódicas que vamos a ver.

Para calcular el periodo de estas funciones igualamos lo de dentro del seno o del coseno a 2 $\pi$

11.- RESUMEN Y REPRESENTACIÓN

Toda la información obtenida, la resumiremos aquí y la colocaremos en los ejes de coordenadas para representar la función.

Solo en caso de que nos quede alguna duda o nos sea estrictamente necesario, recurriremos a una tabla de valores.

Por último en la pestaña de materiales, os dejo una ficha para que veas qué pinta tiene cada tipo de función.

1.-CURSO REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

Módulo I.- Estudio y representación de una función

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