Módulo I. Matrices

Hola. Empezamos por el principio.

Aquí veremos qué es una matriz y cómo podemos operar con ellas.

Una MATRIZ es un conjunto de números y / o letras distribuidos en filas (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales).

La DIMENSIÓN de una matriz, se indica como m x n, donde m denota el número de filas y n el número de columnas de la misma.

TIPOS DE MATRICES:

Traspuesta: Es la matriz que resulta de cambiar las filas por las columnas
Fila: Es la matriz que está compuesta únicamente por una fila
Columna: Es la matriz que está compuesta únicamente por una columna
Cuadrada: Es la matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas
Nula: Es la matriz que tiene todos sus elementos nulos (0)
Identidad: Es la matriz que tiene todos sus elementos nulos, excepto los de la diagonal principal, que son 1. Es como el número 1. Por eso, se cumple que A I = I A = A y que A⁰ = I (esta última se cumple para cualquier matriz cuadrada, excepto la nula)
Involutiva: A² = A I = I
Idempotente: A² = A A = A
Nilpotente: A A A A … = 0
Cíclica: Aⁿ = I
Simétrica: A = A^t
Antisimétrica: A^t = – A

OPERACIONES CON MATRICES:

SUMA/RESTA: Se operan elemento a elemento

$A\pm B = \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}\pm b_{11}& a_{12}\pm b_{12}\\ a_{21}\pm b_{21}& a_{22}\pm b_{22} \end{pmatrix}$

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ: el escalar, multiplica a todos los elementos de la matriz $k\cdot A = \begin{pmatrix} k\cdot a_{11} & k\cdot a_{12}\\ k\cdot a_{21}& k\cdot a_{22} \end{pmatrix}$

PRODUCTO DE DOS MATRICES: Se multiplican filas por columnas, de tal forma, que para calcular el elemento que fila, columna 1 multiplicaremos los elementos de la fila 1 por los de la columna 1.

Para poder realizarlo debemos tener en cuenta que el número de columnas de la primera matriz tiene que coincidir con el número de filas de la segunda matriz: $A_{axb}\cdot B_{bxd}= C_{bxd}$

$A\cdot B= \begin{pmatrix} a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}+ & a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}\\ a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21} & a_{21}\cdot b_{21}+a_{22}\cdot b_{22} \end{pmatrix}$

OJO! El producto de matrices no es conmutativo, esto es que: $A\cdot B\neq B\cdot A$ , solo es conmutativo con la identidad, esto es: $A\cdot I=I\cdot A$

POTENCIA DE UNA MATRIZ CUADRADA: Se multiplica la matriz por sí misma tantas veces como sea necesario: A² = $A.A$ ; A³ = A² $.A$ ; …

Para el cálculo de la matriz enésima (Aⁿ), usaremos el método de recurrencia, es decir, multiplicaremos por sí misma tantas veces como necesitemos, hasta observar algún patrón de comportamiento en la matriz.

Veamos un ejemplo: Sea $A = \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 3& 1 \end{pmatrix}$ , calcular Aⁿ

Vamos a comenzar realizando A² = $A.A$ = $\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 3& 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 3& 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 +0\cdot 3 &1\cdot 0 + 0\cdot 1 \\ 3\cdot1+1\cdot 3& 3\cdot 0+1\cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 6& 1 \end{pmatrix}$

Realizamos, a continuación, A³ = A² $\cdot$ A = $\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 6& 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 9& 1 \end{pmatrix}$

Ya comenzamos a ver un patrón de comportamiento, vamos a realizar A⁴ para cerciorarnos

A⁴ = A³ A = $\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 9& 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 12& 1 \end{pmatrix}$

Se observa que solo va cambiando el elemento , quedando siempre de la forma 3n, por lo que el resultado sería el siguiente:

Ejemplos:

Sea: $A = \begin{pmatrix} 7 & 1 & -1\\ 8 & -10 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -3 &1 &5 \\ 6&2 &4 \end{pmatrix}$

a) Calcula A+B

A+B = $\begin{pmatrix} 7 & 1 & -1\\ 8 & -10 & 0 \end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix} -3 &1 &5 \\ 6&2 &4 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 7+(-3) &1+1 &-1+5 \\8+ 6&-10+2 &0+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 &2 &-4 \\14&-8 &4 \end{pmatrix}$

b) Calcula A-B

A-B = $\begin{pmatrix} 7 & 1 & -1\\ 8 & -10 & 0 \end{pmatrix}$ – $\begin{pmatrix} -3 &1 &5 \\ 6&2 &4 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 7-(-3) &1-1 &-1-5 \\8- 6&-10-2 &0-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 &0 &-6 \\2 & -12 &-4 \end{pmatrix}$

c) Calcula 2A

2A = 2 $\begin{pmatrix} 7 & 1 & -1\\ 8 & -10 & 0 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 14 & 2 & -2\\ 16 & -20 & 0 \end{pmatrix}$

d) Calcula $A\cdot B^{t}$

$B^{t} = \begin{pmatrix} -3 & 6\\ 1& 2\\ 5& 4 \end{pmatrix}$ Para hacer la matriz traspuesta solo tenemos que cambiar las filas por las columnas. La primera fila, la escribimos como primera columna y así con todas.

$A\cdot B^{t} = \begin{pmatrix} 7 &1 &-1 \\ 8&-10 &0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 &6 \\ 1& 2\\ 5 &4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\cdot (-3)+1\cdot 1+(-1)\cdot 5 &7\cdot 6+1\cdot 2+(-1)\cdot 4 \\ 8\cdot (-3)+(-10)\cdot 1+0\cdot 5 &8\cdot 6+ (-10)\cdot 2+0\cdot 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -25 & 40\\ -34& 28 \end{pmatrix}$

2.- Sea $A = \begin{pmatrix} 7 & 1\\ 8& -10 \end{pmatrix}$ ; calcula $A^{2}$

$A^{2} = A\cdot A = \begin{pmatrix} 7 & 1\\ 8& -10 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 7 & 1\\ 8& -10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\cdot 7+1\cdot 8 & 7\cdot 1+1\cdot (-10)\\ 8\cdot 7+(-10)\cdot 8&8\cdot 1+(-10)\cdot (-10) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 57 &-3 \\ -24&108 \end{pmatrix}$

3.- Sea $A = \begin{pmatrix} 7 & 1\\ 8& -10 \end{pmatrix}$ ; calcula $A^{3}$

= $A\cdot A\cdot A$ = $A^{2}\cdot A$ = $\begin{pmatrix} 57 &-3 \\ -24 &108 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 7 &1 \\ 8 &-10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}375 &87 \\ 696 &-1104 \end{pmatrix}$

4.- Sea $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0&3 \end{pmatrix}$ ; calcula su potencia enésima

Esto lo calculamos por el método de recurrencia:

$A^{2}= A\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&9 \end{pmatrix}$ ( $9 = 3^{2}$ )

$A^{3}= A^{2}\cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&27 \end{pmatrix}$ ( $27= 3^{3}$ )

Ya podemos observar que solo va cambiando el elemento y además podemos predecir que, si la matriz estuviera elevada a la cuarta, ese elemento quedaría como $3^{4}$ , puesto que se observa que el $a_{22}$ es 3 elevado al mismo exponente que la matriz. Es decir que: $A^{n}= \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&3^{n} \end{pmatrix}$

5.- Sea $B = \begin{pmatrix} 1 & 1/7 & 1/7\\ 0&1 &0 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}$ ; calcula su potencia enésima $B^{n}$

Vamos a proceder de la misma forma que en el ejercicio 2, por recurrencia:

$B^{2}= B\cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 1/7 & 1/7\\ 0&1 &0 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1/7 & 1/7\\ 0&1 &0 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2/7 & 2/7\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$ $( 2/7 = 2\cdot 1/7)$

$B^{3}= B^{2}\cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2/7 & 2/7\\ 0&1 &0 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1/7 & 1/7\\ 0&1 &0 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3/7 & 3/7\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$ $( 3/7 = 3\cdot 1/7)$

Si hacemos $B^{4}$ , observaremos por el comportamiento que está teniendo la matriz, que todos los términos permanecerá iguales excepto el $b_{12}$ y $b_{13}$ que quedan multiplicados por 2, 3 o cual sea el exponente que tenga la matriz, en este caso quedarían multiplicados por 4 y la matriz sería

$B^{4}= \begin{pmatrix} 1 & 4/7 & 4/7\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$

Podemos afirmar que = $B^{n}= \begin{pmatrix} 1 & n/7 & n/7\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix}$

Pues hasta aquí este módulo, te dejo unos ejercicios para practicar en la pestaña de materiales. Al lío!

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