Módulo II.- Distribución Binomial

Otra manera de calcular la probabilidad de que algo suceda, es mediante este tipo de distribuciones. Son bastante sencillas de usar, así que vamos al lío.

MÓDULO II.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Una DISTRIBUCIÓN BINOMIAL es una distribución de probabilidad que se representa por B (n, p), donde n es el número de ensayos (el número de veces que se repite el suceso) y p, la probabilidad de éxito (de que ocurra el suceso que estamos estudiando)

¿Cuándo vamos a usarla?

Cuando realicemos un experimento n veces y solo tengamos la opción de que salga bien (éxito) o mal (fracaso)
Cuando la probabilidad de éxito sea siempre la misma
Cuando el resultado del experimento, no dependa de lo que haya sucedido en otro anterior

La probabilidad, mediante este método la vamos a calcular mediante la siguiente fórmula: P(x = k) = $binom{n}{k} cdot p^{k}cdot q^{n-k}$ , donde n es el número de veces que se repite el suceso, k es el número de éxitos (lo que nos pidan), p es la probabilidad de éxito y q es la de fracaso (q= $bar{p}$ = 1 – p)

Será útil saber que:

P (x $<$ a) = 1 – P (x $geq$ a)
P (x $>$ a) = 1 – P (x $leq$ a)
es un número combinatorio que se resuelve: $binom{n}{k} = frac{n!}{k! (n-k)!}$

Por último será útil que conozcas como calcular la media y la desviación típica de una distribución binomial, porque a veces se pueden usar para calcular la probabilidad del suceso, buscando sus valores en tablas.

La media será: $mu$ = n $cdot$ p

La varianza: $sigma ^{2}$ = n $cdot$ p $cdot$ q y por tanto,

La desviación típica sería: $sigma = sqrt{ncdot pcdot q}$

n! es un número factorial que se resuelve multiplicando todos los números desde el valor de n hasta el 1 (por ejemplo: 4! = 4 3 2 1)

Vamos a ver un ejemplo: Una jugadora de baloncesto encesta el 90 % de las canastas que tira. Si lanza 8 canastas en un partido. Calcula la probabilidad de:

a) Encestar 7 canastas

b) Encestar todas las canastas

c) Encestar más de 6 canastas

d) Encestar al menos 6 canastas

e) Encestar al menos 1 canasta

f) Encestar menos de dos canastas

g) Encestar a lo sumo dos canastas

En este caso sabemos que es una binomial, porque el suceso tirar la canasta se repite 8 veces y siempre tiene la misma probabilidad de acertar. La probabilidad de encestar es 0.90. Por lo que la binomial quedaría descrita como B (8, 0.90)

a) En este apartado la k valdría 7 y, puesto que p = 0.90, q = 1-0.9= 0.1; por lo que:

P (x = 7) = $binom{8}{7} cdot 0,9^{7}cdot 0,1^{1} = frac{8!}{7!cdot 1!}cdot 0,9^{7}cdot 0,1^{1}$ = 0.38

La probabilidad de encestar los 7 tiros sería de 0.38

b) La probabilidad de encestar todas las canastas, sería de la de acertar los 8 tiros, por lo que:

P (x = 8) = $binom{8}{8} cdot 0,9^{8}cdot 0,1^{0} = frac{8!}{8!cdot 0!}cdot 0,9^{8}cdot 0,1^{0}$ = 0.43

Importante 0! = 1 y

c) P (x $>$ 6) = P (x = 7) + P (x = 8) = 0.38 + 0.43 = 0.81

d) P (x $geq$ 6) = P (x = 6) + P (x = 7) + P (x = 8)

P (x = 6) = $binom{8}{6} cdot 0,9^{6}cdot 0,1^{2} = frac{8!}{6!cdot 2!}cdot 0,9^{6}cdot 0,1^{2}$ = 0.15

P (x $geq$ 6) = P (x = 6) + P (x = 7) + P (x = 8)= 0.15 + 0.38 + 0.43 = 0.96

e) Importante: al menos 1, es el suceso contrario de ninguna

P (x $geq 1$ ) = 1 – P (x = 0)

P (x = 0) = $binom{8}{0} cdot 0,9^{0}cdot 0,1^{8} = frac{8!}{0!cdot 8!}cdot 0,9^{0}cdot 0,1^{8}$ = 1.10^-8

P (x $geq 1$ ) = 1 – P (x = 0) = 1 – 1.10^-8= 0.99

f) Encestar menos de dos canastas, es la probabilidad de que x sea menor que 2

P (x $<$ 2) = P (x= 0) + P (x = 1) = 1.10^-8 + 7.2.10^-7 = 1.07. 10^-8

P (x = 1) = $binom{8}{1} cdot 0,9^{1}cdot 0,1^{7} = frac{8!}{1!cdot 7!}cdot 0,9^{1}cdot 0,1^{7}$ = 7.2.10^-7

g) Encestar a lo sumo dos canastas, es la probabilidad de que enceste 2 o menos de 2

P (x $leq$ 2) = P (x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) = 1.10^-8 + 7.2.10^-7 + 2.2.10^-5 = 3.4.10^-8

P (x = 2) = $binom{8}{2} cdot 0,9^{2}cdot 0,1^{6} = frac{8!}{2!cdot 6!}cdot 0,9^{2}cdot 0,1^{6}$ = 2.2.10^-5

Pues hasta aquí, voy a dejarte ahora unos ejercicios para practicar. Tu turno!

EJERCICIOS MÓDULO II

1.- Una urna contiene 6 bolas con números pares y 9 bolas con números impares. Si hacemos diez extracciones con reemplazamiento, calcula la probabilidad de obtener número impar:

a) Alguna vez.

b) Más de 8 veces.

c) Halla la media y la desviación típica.

2.- El 5% de los huevos de un supermercado están rotos. Halla la probabilidad de que un@ client@ que compra una docena de huevos encuentre alguno roto.

3.- La probabilidad de que un cierto experimento tenga éxito es 0,4. Si repetimos el experimento 15 veces, calcula la probabilidad de que tenga éxito:

a) Alguna vez.

b) Menor de dos veces.

4.- En un instituto aprueban matemáticas el 80% de l@s alumn@s. Si elegimos al azar 10, calcula la probabilidad de que:

a) Aprueben todos l@s alumn@s

b) aprueben 8 alumn@s

c) apruebe al menos un@ alumn@

d) suspendan 3 alumn@s

5.- Un examen tipo test tiene 20 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro respuestas, de las que solo una es correcta. Si se contesta aleatoriamente, calcula:

a) La probabilidad de aprobar el examen, suponiendo que solo suman puntos las preguntas acertadas y no restan los fallos

b) la media y la desviación típica de la distribución

6.- El 30 % de los habitantes de un pueblo ve un concurso de televisión. Desde el concurso se llama por teléfono a 10 personas del pueblo, elegidas al azar. Calcular la probabilidad de que, de las 10 personas elegidas, estuvieran viendo el concurso:

a) tres o menos personas

b) ninguna

7.- En una partida de bombillas, el 10% son defectuosas. Si se eligen al azar 6 bombillas. Calcula la probabilidad de que:

a) no haya ninguna defectuosa

b) de que 2 o más estén defectuosas

c) la media y la desviación típica de la distribución.

Módulo II.- Distribución Binomial

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