Módulo III.- Distribución Normal

Vamos a por el último módulo de este curso. La distribución Normal.

En este caso, la forma de buscar la probabilidad de que algo suceda será mediante tablas. Fácil, eh?

Vamos a ello.

MÓDULO III.- DISTRIBUCIÓN NORMAL

Una distribución normal es una distribución de probabilidad que se representa por N ( , ), donde , como ya sabes, es la media y , la desviación típica.

Cualquier distribución Normal estandarizada se representa por  N (0,1) Es decir, tiene de media 0 y de desviación 1. Esta es la más importante, puesto que es la que nos permitirá buscar la probabilidad en tabla. En el caso de que no estemos ante una distribución de esta forma, tendremos que transformarla (tipificarla) para poder usar la tabla.

 

Datos que vamos a necesitar para calcular estas probabilidades:

• P (z   a) es el dato que vamos a obtener de la tabla
• P (z a) = 1 – P (z a)
• P (z  -a) = P (z  a)
• P (z -a) = P (z   a) = 1 – P (z a)
• P (a z b) = P (z   b – P (z  a)

 

Como he comentado antes si la distribución no es del tipo N (0,1), vamos a tener que tipificarla, y lo haremos de la siguiente manera:

Z = , siendo x el valor que nos piden en el problema; z el valor que vamos a buscar en la tabla; la media y la desviación típica de la distribución.

Con estos datos y la tabla de distribución normal que te dejo en la pestaña de materiales, ya estás preparad@ para los cálculos.

Veamos un ejemplo:

En un instituto, la altura media es de 1.78 m con una desviación típica de 20 cm. SI elegimos un@ alumn@ al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Mida más de 1.85 m

b) Mida menos de 1.7 m

c) Mida entre 1.75 m y 1.9 m

 

Estamos ante una distribución normal del tipo de media 1.78 m y de desviación 20 cm (0.20m; cuidado de trabajar todo en las mismas unidades) Es decir N (1.78; 0.20) No es una distribución Normal Estándar, así que hay que tipificar antes de realizar los cálculos

 

a) P (x 1, 85)

X= 1.85——–tipifico este valor: z =  = = 0,35

P (x 1.85) = P (z 0.35) = 1 – P ( z 0.35) (voy a la tabla y busco este valor de z para obtener la probabilidad de este suceso)

P (x 1.85) = P ( z 0.35) = 1 – P ( z 0.35) = 1 – 0.6368 = 0.3632

 

b) P (x 1,70)

X= 1.70——–tipifico este valor: z =  = = -0,40

P (x  1.70) = P (z -0.40) = 1 – P (z 0.40) (voy a la tabla y busco este valor de z para obtener la probabilidad de este suceso)

P (x 1.70) = P (z  -0.40) = 1 – P (z  0.40) = 1 – 0.6554 = 0.3446

 

c) P (1.75  x 1.90)

X = 1.75——–tipifico este valor: z =  = -0,15

X= 1.90——–tipifico este valor: z =  = 0,60

P (1.75 x 1.90) = P (-0.15 z 0.60) =   P (z 0.60) – P (z -0.15) = P (z  0.60) – [1-P (z 0.15) ]=   0.7257 – (1 – 0.5596)) = 0.2853

 

 

Por último una observación: puesto que en una distribución binomial podemos calcular su media y su desviación, podríamos calcularla como una normal (siempre que n p 5 y que n q   5) solo habría que hacerle, en algunos casos, unas pequeñas correcciones antes de tipificar (corrección de Yates):

• Si P (y   k) = P (x  k + 0.5)
• Si P (y k) = P (x   k  – 0.5)
• Si P (y k) = P (x k – 0.5)
• Si P (y k) = P (x  k + 0.5)
• Si P (y = k) = P (k – 0.5 x k + 0.5)

 

Veamos un ejemplo: El porcentaje de libros de matemáticas prestados en una biblioteca es del 10%. Si se han prestado 200 libros, calcula la probabilidad de que se hayan prestado más de 30 libros.

 

Este ejercicio es una binomial, pero calcular la probabilidad de que se hayan prestado más de 30 libros es muy largo y aburrido, por lo que vamos a transformarla en una Normal

B (200, 0.10)

n p = 200  0.10 = 20  5

n  q = 200  0.90 = 180  5

Viendo que cumple estas premisas, podemos normalizar la distribución.

Calculamos la media y la desviación:

= n p = 200  0.10 = 20

= =  = 4.24

N (20, 4.24)

Vamos a aplicar la corrección de Yates: P (y  30) = P (x 30+0.5) = P (x 30.5)

Tipificamos: z =   = = 2,48

P (y 30) = P (x 30+0.5) = P (x 30.5) = P (z 2.48) = 1 – P (z 2.48) = 1 – 0.9934 = 0.0066

Y este módulo, ya estaría listo también. Unos ejercicios, no?

 

EJERCICIOS MÓDULO III

 

1.- La probabilidad de dar en la diana al lanzar un dardo es 0.75, ¿cuál es la probabilidad de hacer 77 dianas o más?

 

2.- El peso de los paquetes de azúcar de una determinada fábrica sigue una distribución normal de media 250 gramos y desviación típica 20 gramos. Calcular:

a) La probabilidad de que un paquete pese menos de 260 gramos

b) La probabilidad de que el peso de un paquete esté comprendido entre 245 y 260 gramos

 

3.- La altura de l@s estudiant@s de 18 años de los institutos de una ciudad, sigue una distribución normal de media 1.78 m y desviación típica 0.65 m. Calcular:

a) El porcentaje de personas que tienen una altura de 1.90m

b) Si tomamos una muestra de 100 personas de los mismos institutos y queremos seleccionar los 30 más alt@s. ¿Cuál es la altura mínima que ha de tener un estudiante para ser seleccionado?

 

4.- La probabilidad de que al lanzar un peso pasemos los 7 m es 0.87.

a) Si lanzamos el peso 10 veces, ¿cuál es la probabilidad de pasar los 7m en más de 7 ocasiones?

b) Si lanzamos 100 veces, ¿cuál es la probabilidad de pasar de 7 m en 88 ocasiones?

 

5.- El número de pasos que da Juan durante una hora de clase sigue una distribución normal de probabilidad de media 100 pasos y desviación típica 20.5 pasos. Calcular la probabilidad de que el profesor de más de 125 pasos es una hora de clase.

 

6.- L@s 460 alumn@s de un centro tienen 156 cm. de estatura media con una varianza de 81 cm.

a) Determine el porcentaje de alumnos que miden más de 160 cm.

b) Cuántos alumnos miden entre 140 y 150 cm.

 

7.- El 80% de los integrantes de un grupo de personas tienen menos de 30 años. Sabiendo que la edad media del grupo es de 24 años, calcule su desviación típica.

 

8.- El coefciente de inteligencia de un grupo de 500 alumn@s es una variable aleatoria que se distribuye como una normal de media 100 y desviación típica 16. Determina el número esperado de alumn@s que tienen un coeficiente entre 118 y 122