Módulo III. Rango de una matriz

Otro dato muy importante a conocer de las matrices es su rango, nos va a ayudar a saber muchas cosas después. Así que, atención, vamos a ver qué es esto del Rango en este módulo III.

MÓDULO III.- RANGO DE UNA MATRIZ

El rango de una matriz es el mayor número de líneas independientes que tiene la matriz.

Para averiguar el rango de una matriz podemos usar cualquiera de los métodos siguientes:

1.- Método de Gauss: Este método lo usaremos para hacer ceros y convertir la matriz en una equivalente, de tal forma que, el número de líneas que tenga la matriz, distintas de cero, será el rango de la matriz

2.- A partir de sus menores (por determinantes): El rango de una matriz coincidirá con el orden del determinante mayor (el mayor menor) distinto de cero, que quepa en la matriz

La condición necesaria y suficiente para que el determinante de una matriz cuadrada sea cero es que sus líneas sean linealmente independientes, esto es, que alguna de ellas se pueda poner como combinación lineal de las otras. Es decir: $\left | A \right |= 0$ $\leftrightarrow$ las filas de A son linealmente dependientes

$\left | A \right |\neq 0$ $\leftrightarrow$ las filas de A son linealmente independientes

Vamos a ver esto con un ejemplo:

Sea la matriz: $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -2& 2\\ 1& -1 & 1&2 \\ 0& 5 & 2& 1\\ 2& 3 &-3 & 0 \end{pmatrix}$

Si usamos el método de Gauss:

F₂ $\leftrightarrow$ F₁ : quedando $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1& 2\\ 3& 2 & -2&2 \\ 0& 5 & 2& 1\\ 2& 3 &-3 & 0 \end{pmatrix}$

, quedando $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1& 2\\ 0& -5 & 5&4 \\ 0& 5 & 2& 1\\ 0& -5 &5 & 4 \end{pmatrix}$

, quedando $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1& 2\\ 0& -5 & 5&4 \\ 0& 0 & 7& 5\\ 0& 0 &0 & 0 \end{pmatrix}$

Tenemos una fila de ceros y 3 filas distintas de cero, por lo que podemos decir que el rango de esta matriz es 3 y como consecuencia, tiene 3 filas linealmente independientes

Vamos a repetir el estudio de rango, pero haciéndolo por determinantes:

Vamos a empezar probando con un menor de orden 2×2

$\left | det \right |= \begin{vmatrix} 3& 2\\ 1& -1 \end{vmatrix}$ = -5, como sale un determinante, distinto de cero, podemos asegurar que el rango será 2 o superior

Seguimos comprobando con uno de orden 3×3

$\left | det \right |= \begin{vmatrix} 3 & 2 & -2\\ 1& -1 &1 \\ 0 &5 & 2 \end{vmatrix}$ = -35 $\neq$ 0. Podemos asegurar que el rango de la matriz es 3 o superior

$\begin{vmatrix} 3 & 2 & -2 &2 \\ 1& -1 & 1 &2 \\ 0&5 & 2 & 1\\ 2& 3 &-3 & 0 \end{vmatrix}$ = 0, porque la primera fila es la suma de la segunda y la cuarta. Así que el rango de la matriz nunca podrá ser 4, porque como hemos visto, el determinante de orden 4×4 se anula.

Como el determinante de mayor orden distinto de cero que hemos obtenido ha sido el de 3×3. Ya sí podemos afirmar, que el rango de la matriz es 3

Ejemplos:

1.- Calcula el rango de $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 4 & 0\\ 1& 3& 2 & -2\\ 2& 1 &2 & 2 \end{pmatrix}$

Empezamos comprobando un menor de orden 2×2 : $\begin{vmatrix} 3 & 4\\ 1& 3 \end{vmatrix}$ = 9-4 = 5 $\neq$ 0; Con esto ya sabemos que el rango de A será 2 o superior

Vamos con orden 3×3: $\begin{vmatrix} 3 & 4 & 4\\ 1 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$ = 0 (F₁= F₂ + F₃)

Comprobamos otro: $\begin{vmatrix} 4 & 4 & 0\\ 3 & 2 & -2\\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix}$ = 0 (F₁= F₂ + F₃)

Como todos los menores de orden 3×3 son nulos el rango no podrá ser 3 y como no hay ninguna matriz cuadrada de orden 4×4, el rango tampoco podrá ser 4. Así que, ya podemos afirmar que el rango de A es 2

2.- Estudia el rango de $A = \begin{pmatrix} 1&1 & -1\\ 1& -1 &2 \\ 2& 1 & \alpha \end{pmatrix}$ en función del parámetro $\alpha$

En primer lugar, vamos a ver qué valores de $\alpha$ anulan el determinante de la matriz: $\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 2\\ 2& 1 & \alpha \end{vmatrix}$ = $-\alpha -4-1-2+\alpha -2$ = -9

Independientemente del valor de $\alpha$ , el rango de esta matriz será 3, puesto que no se anula nunca el determinante.

3.- Estudia el rango de $A = \begin{pmatrix} 5 & -5 & -6\\ -5& 3 & -1\\ 0& \beta & 7 \end{pmatrix}$ en función del parámetro $\beta$

Como siempre, en primer lugar, estudiamos qué valores de $\beta$ anulan el determinante de A

$\left | A \right |= \begin {vmatrix} 5 & -5 & -6\\ -5 & 3& -1\\ 0&\beta & 7 \end{vmatrix}$ = $105+0+30\beta -0-175+5\beta$ = $35\beta -70$

$\left | A \right |$ = 0; $35\beta -70$ = 0; $\beta = 2$

Si $\beta = 2$ $\rightarrow$ $\left | A \right |=0$ $\rightarrow$ Rg A $\neq$ 3

Comprobamos un menor de orden 2×2: $\begin{vmatrix} 5 & -5\\ -5 & 3 \end{vmatrix}$ =15-25= -10 $\neq$ 0 Rg A = 2

Solución: Si $\beta = 2$ $\rightarrow$ Rg A = 2

Si $\beta \neq 2$ $\rightarrow$ Rg A 3

Pr último, unos ejercicios para que juegues en la pestaña de materiales.

Módulo III. Rango de una matriz

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