Módulo IV. Inversa de una matriz

Hola! Bienvenid@ al módulo IV

Muchas cosas estás aprendiendo sobre las matrices y aun parecen sin sentido, verdad?

Aguanta un poco más, pronto cambiará esa visión.

MÓDULO IV.- CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ

Podremos calcular la inversa de una matriz por varios métodos, pero antes de nada una de las propiedades de las matrices más importantes y que sin duda, usaremos con mucha frecuencia es que una matriz por su inversa o viceversa, siempre da la matriz identidad

$A\cdot A^{-1}= A^{-1}\cdot A = I$

También debemos conocer que una matriz tendrá inversa, única y exclusivamente, si su determinante es distinto de cero: $\exists A^{-1} \leftrightarrow \left | A \right |\neq 0$

1.- Podremos calcular la inversa de una matriz, usando esta propiedad (método recomendado para matrices de orden 2×2, en órdenes mayores, resulta muy entretenido)

Ejemplo: Sea $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , vamos a calcular su inversa.

Primero nos aseguramos de que la tenga haciendo su determinante: $\left | A \right | = 2$ . Como $\left | A \right |\neq 0$ , entonces sí existe $A^{-1}$

Suponemos que la matriz $A^{-1} = \begin{pmatrix} a &b\\ c& d \end{pmatrix}$ y aplicamos $A\cdot A^{-1}= I$

$A\cdot A^{-1}= \begin{pmatrix} a+2c &b+2d \\ 3a+4c & 3b+4d \end{pmatrix}$

$A\cdot A^{-1}= I$ ; $\begin{pmatrix} a+2c &b+2d \\ 3a+4c & 3b+4d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}$

Resolvemos igualando los elementos uno a uno:

$\left\{\begin{matrix} a+2c = 1 \\ b+2d= 0 \\ 3a+4c=0 \\ 3b+4d=1 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a+2c = 1\\ 3a+4c = 0 \end{matrix}\right.$ , resolviendo este sistema se obtiene que a = -2 y c = 3/2

$\left\{\begin{matrix} b+2d = 0\\ 3b+4d = 1 \end{matrix}\right.$ , resolviendo este sistema se obtiene que b = 1 y d = -1/2

quedando $A^{-1}= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 3/2& -1/2 \end{pmatrix}$

2.- Otro método para calcular la inversa sería el de Gauss /Jordan

Este consiste en ampliar la matriz dada con su inversa y operarla de tal manera que invirtamos el orden, quedando delante la matriz identidad y detrás, la inversa pedida

Usaremos como ejemplo la matriz de antes $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , que ya sabemos que existe, puesto que su determinante daba distinto de cero

Ampliamos la matriz, colocando detrás la identidad de orden 2×2 $\begin{pmatrix} 1 &2 &1 &0 \\ 3& 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Ahora es el momento de hacer combinaciones lineales. Si primero empezáis haciendo los ceros y después los unos, os será más sencillo

F’₂ = 3F₁-F₂ A = $\begin{pmatrix} 1 &2 &1 &0 \\ 0& 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$

F’₁ = F₁-F’₂ A = $\begin{pmatrix} 1 &0 &-2 &1 \\ 0& 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}$

F’’₂ = ½ F’₂ A = $\begin{pmatrix} 1 &0 &-2 &1 \\ 0& 1 & 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$

Como se puede observar, se ha conseguido el objetivo, tener delante la matriz identidad. De esta forma la matriz resultante será la inversa de A

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$

3.- El último método que vamos a ver es aplicando la siguiente fórmula: $A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\cdot (Adj A)^{t}$ , donde Adj A, denota la matriz Adjunta de A

Sea $A = \begin{pmatrix} 5 &0 & 2\\ 0 & 0 &1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Primero vamos a calcular $\left | A \right |$ para asegurarnos de que tiene inversa.

Aplicando la regla de Cramer observamos que $\left | A \right |$ = -5, por lo que existe $A^{-1}$

En segundo lugar, calcularemos la matriz Adjunta de A

Adj $a_{11}$ = $(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 0 &1 \\ 1& 0 \end{vmatrix} = -1$

Adj $a_{12}$ = $(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 0 &1 \\ 3& 0 \end{vmatrix} = 3$

Adj $a_{13}$ = $(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 0 &0 \\ 3& 1 \end{vmatrix} = 0$

Adj $a_{21}$ = $(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 0 &12\\ 1& 0 \end{vmatrix} = 2$

Adj $a_{22}$ = $(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 5 &2 \\ 3& 0 \end{vmatrix} = -6$

Adj $a_{23}$ = $(-1)^{2+3}\begin{vmatrix} 5 &0 \\ 3& 1 \end{vmatrix} = -5$

Adj $a_{31}$ = $(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 0 &2 \\ 0& 1 \end{vmatrix} = 0$

Adj $a_{32}$ = $(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 5 &2 \\ 0& 1 \end{vmatrix} = -5$

Adj $a_{33}$ = $(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 5 &0 \\ 0& 0 \end{vmatrix} = 0$

Adj A = $\begin{pmatrix} -1 & 3 & 0\\ 2& -6 &-5 \\ 0 & -5 & 0 \end{pmatrix}$ ; Adj $A^{t}$ = $\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0\\ 3& -6 &-5 \\ 0 & -5 & 0 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\cdot (Adj A)^{t}$ ; $A^{-1}=\frac{1}{-5}\cdot \begin{pmatrix} -1 &2 &0 \\ 3& -6 &-5 \\ 0& -5 & 0 \end{pmatrix}$

$A^{-1}= \begin{pmatrix} 1/5 &12/5 &0 \\ -3/5& 6/5 &1 \\ 0& 1 & 0 \end{pmatrix}$

Psst psst: En internet tenéis esta herramienta: https://matrixcalc.org/es/

Es una calculadora de inversas, con la que podréis jugar y además, comprobar si lo que vais haciendo está bien.

Venga, tu turno. Te haces unos ejercicios?

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