Módulo V. Resolución de ecuaciones matriciales

Bienvenid@ al módulo V.

Aquí vamos a aprender de una manera fácil y rápida a resolver ecuaciones con matrices.

MÓDULO V.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MATRICIALES

A la hora de resolver una ecuación matricial, debemos tener en cuenta que al fin y al cabo es una ecuación; se va a resolver igual que todas las ecuaciones, con la salvedad que no podemos dividir matrices por tanto, cuando “tengamos que pasar una matriz dividiendo” para despejar la incógnita, tendremos que usar las propiedades de las matrices ( $A\cdot A^{-1} = I$ y que $I\cdot X = I$ )

Los pasos que os recomiendo seguir son:

1º) Despejar la matriz incógnita. Este paso es el más importante de todo el ejercicio, así que no olvidéis justificarlo bien

2º) Calculamos la inversa

3º) Operamos

Una última advertencia: Cuidado con el factor común en matrices, sobre todo con el orden, es importante no alterarlo, porque como ya sabemos: $A\cdot B\neq B\cdot A$

Recuerda:

XA+XB = X (A+B)

AX+BX = (A+B)X

XA+BX no es factor común

Ejemplos:

1.- Obtener la matriz que verifica que: AX = 2B-C, siendo: $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ -5 & 0 \end{pmatrix}$ ; $B = \begin{pmatrix} 3 & -4\\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 13 & 2 \end{pmatrix}$

– Primero despejamos: AX = 2B-C

Multiplicamos por la inversa de A para poder despejar la X y con la precaución de multiplicar ambos miembros de la igualdad y en el mismo sitio (recuerda que el producto de matrices no es conmutativo)

A^-1AX = A^-1(2B-C) Como se observa, en ambos lados de la igualdad está la inversa delante.

– Como sabemos que una matriz por su inversa, y viceversa, dan la matriz identidad (y ésta es lo mismo que el 1)

IX = A^-1(2B-C) X = A^-1(2B-C)

– Por último resolvemos las operaciones pertinentes y tendríamos la solución de la ecuación matricial

Cálculo de A^-1( $\left | A \right |$ = 5, podemos afirmar que sí existe la inversa)

$A^{-1}= \begin{pmatrix} x& y \\ z & t \end{pmatrix}$

A A^-1 = I; $\begin{pmatrix} 2 & 1\\ -5& 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x &y \\ z & t \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\left\{\begin{matrix} 2x+z = 1\\ 2y+t= 0 \\ -5x+0z = 0 \\ -5y+0t = 1 \end{matrix}\right.$

De resolver este sistema, obtenemos que A^-1 = $\begin{pmatrix} 0 & -1/5\\ 1 & 2/5 \end{pmatrix}$

Como X = A^-1(2B-C)

X = $\begin{pmatrix} 0 & -1/5\\ 1 & 2/5 \end{pmatrix}$ $\cdot$ (2 $\cdot$ $\begin{pmatrix} 3 & -4\\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ – $\begin{pmatrix} -2 & -7 \\ 13 & 2 \end{pmatrix}$ )

$X = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$

2.- Calcula la matriz X que verifica que: ABX = $\begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}$ , siendo $A = \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2& 0\\ -2& 1 \end{pmatrix}$

Despejamos: (AB)^-1ABX = (AB)^-1 $\begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}$ ; IX = (AB)^-1 $\begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}$ ; X = (AB)^-1 $\begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}$

Operamos: AB = $\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot$ $\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 2& 0\\ -2& 1 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -6 &3 \\ -3 &2 \end{pmatrix}$

Cálculo de AB^-1( $\left | AB \right |$ = -3, podemos afirmar que sí existe la inversa)

AB^-1 = $\begin{pmatrix} -2/3 &1 \\ -1 &2 \end{pmatrix}$

X = (AB)^-1 $\begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -2/3 &1 \\ -1 &2 \end{pmatrix}$ $\cdot$ $\begin{pmatrix} 2\\ 4 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 8/3\\ 6 \end{pmatrix}$

3.- Despeja: AX = B^t + X

Pasamos las X al mismo miembro: AX -X = B^t

Sacamos factor común: (A-I) X = B^t

Despejamos X: (A-I)^-1(A-I) X = (A-I)^-1B^t ; X = (A-I)^-1B^t

Y otro módulo terminado, Ole! Venga, ahora, como ya sabes, te toca a tí.

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