Módulo II. Determinantes

Hola de nuevo!

Módulo II y ya sabes un montón sobre matrices, ¿verdad?

Vamos a ver ahora los determinantes; un módulo solo para ellos porque son muy importantes.

MÓDULO II.- DETERMINANTES

Un determinante es un número que asociamos a una matriz. Se representa por Det M o $\left | M \right |$ . La forma de calcularlos dependerá del orden que tenga la matriz.

Si la matriz es de orden 2×2 se calculará multiplicando los elementos de la diagonal principal y restándole el producto de los elementos de la diagonal secundaria.

Ejemplo: Sea $A = \begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3& 4 \end{pmatrix}$

El determinante de A será: Det A = $\left | A \right | = 1\cdot 4 -2\cdot 3= -2$

Si la matriz es de orden 3×3 se calculará aplicando la Regla de Sarrus (suma de la diagonal principal más sus paralelas y resta de la secundaria más sus paralelas)

Ejemplo: Sea $A = \begin{pmatrix} 1& 2 &0 \\ 3 &4 & -1\\ 1& 1 & -2 \end{pmatrix}$

$\left | A \right | = 1\cdot 4\cdot (-2)+2\cdot (-1)\cdot 1+3\cdot 1\cdot 0-0\cdot 4\cdot 1-2\cdot 3\cdot (-2)-1\cdot 1\cdot (-1) = -8-2+12+1 = 3$

Si la matriz es de orden superior a 3×3, calcularemos su determinante por adjuntos, pero antes de ver este método necesitamos conocer un par de conceptos más:

¿Qué es el menor complementario? Mij, del elemento aij de la matriz A, es el determinante de la matriz de orden más pequeño que resulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A

¿Qué es un adjunto? El adjunto del elemento aij de la matriz A es Aij = $(-1)^{i+j}$ Mij

Una vez tenemos claros estos conceptos, podemos indicar que, si los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el determinante de esa matriz.

En este caso, será útil, hacer los máximos ceros posibles dentro de una línea, para que el desarrollo del determinante sea lo más sencillo posible.

Ejemplo: Sea $A = \begin{pmatrix} 1&0 &3 &-3 \\ 2&-3 &-2 &3 \\ -1&2 &1 &2 \\ 3&2 &5 &0 \end{pmatrix}$

Podríamos seleccionar la primera columna, por ejemplo, y desarrollar el determinante por los elementos de dicha columna, esto sería:

$\left | A \right | = 1\cdot Adj^{11} +2\cdot Adj_{21}+(-1)\cdot Adj_{31}+2\cdot Adj_{41} =$

= $1\cdot (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} -3 &-2 &3 \\ 2& 1 &2 \\ 2& 5 & 0 \end{vmatrix}+2\cdot (-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 0 &3 &-3 \\ 2& 1&2 \\ 2& 5&0 \end{vmatrix} + (-1)\cdot (-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 0 &3 &-3 \\ -3&-2 &3 \\ 2& 5 &0 \end{vmatrix}+3\cdot (-1)^{4+1}\begin{vmatrix} 0 &3 &-3 \\ -3&-2 &3 \\ 2&1 &2 \end{vmatrix}$

$\left | A \right | = 1\cdot 1\cdot 46 + 2 \cdot (-1)\cdot (-12)+(-1)\cdot 1\cdot 51+3\cdot (-1)\cdot 33 = -80$

Este proceso es demasiado lento, por eso la mejor manera es hacer ceros en una línea para que los determinantes a calcular sean los mínimos posibles.

Primero vamos a decidir con qué fila o columna queremos trabajar y hacemos ceros, dejando como pívot un elemento que, a ser posible, sea un 1 y después realizamos el determinante desarrollándolo por esa línea, puesto que, al haber hecho ceros, nos quedará solamente un determinante a calcular; el resto serán: 0 por el determinante, que terminarán dando 0.

En este caso los cambios a realizar serán:

F’₂ = 2F₁-F₂

F’₃ = F₁+F₃

F’₄ = 3F₁-F₄

$\left | A \right |= \begin{vmatrix} 1 &0 &3 &-3 \\ 2 & -3 & -2 & 3\\ -1 & 2 & 1 &2 \\ 3& 2 & 5 &0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 &0 &3 &-3 \\ 0 &2 & 4 & -1\\ 0 & -2 & 4 &-9 \\ 3& 2 & 5 &0 \end{vmatrix} = 1(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 3 &8 &-9 \\ 2 &4 &-1 \\ -2 &4 &-9 \end{vmatrix} = -80$

Como se puede comprobar, merece la pena hacer los ceros, los cálculos se reducen considerablemente.

Para finalizar con esta parte de los determinantes, vamos a ver unas propiedades importantes, que nos ayudarán también a simplificar estos cálculos:

1.- El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. $\left | A \right | = \left | A^{t} \right |$

2.- El determinante de la inversa de una matriz es igual a la inversa del determinante. $\left | A^{-1} \right | = \frac{1}{\left | A \right |}$

3.- Si una matriz cuadrada tiene una línea de ceros, su determinante es cero.

4.- Si en una matriz cambiamos de sitio dos líneas paralelas, el determinante cambia de signo.

5.- Si una matriz cuadrara tiene dos líneas paralelas iguales o proporcionales, su determinante es cero.

6.- Si multiplicamos todos los elementos de una línea por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número.

7.- Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás paralelas, el determinante no varía.

8.- Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, su determinante es cero

Ojo.- Esto también nos indica que, cuando el determinante de una matriz es cero, va a tener una línea que es combinación lineal de las demás, o proporcional o igual.

Ejemplos:

1.- Si $\begin{vmatrix} a & b & c\\ p& q & r\\ x& y & z \end{vmatrix} = 7$ , calcula:

a) $\begin{vmatrix} c & a & b\\ r& p & q\\ z& x & y \end{vmatrix}$ *1 = $(-1)\cdot \begin{vmatrix} a & c & b\\ p&r &q \\ x& z & y \end{vmatrix}$ = *2 = $(-1)\cdot (-1)\cdot \begin{vmatrix} a & b & c\\ p&q &r \\ x& y & z \end{vmatrix}$ = (-1) $\cdot$ (-1) $\cdot$ 7 = 7

*1, aquí se observa que la primera columna está cambiada con la segunda y por tanto, el determinante cambia de signo.

*2, aquí se observa que la segunda columna está cambiada con la tercera y por tanto, el determinante vuelve a cambiar de signo.

b) $\begin{vmatrix} 3a &3b & 3c\\ a+p& b+q& c+r\\ -x+a& -y+b & -z+c \end{vmatrix}$ = *1 = 3 $\cdot$ $\begin{vmatrix} a &b & c\\ a+p& b+q& c+r\\ -x+a& -y+b & -z+c \end{vmatrix}$ = *2 = 3 $\cdot$ (-1) $\cdot$ $\begin{vmatrix} a &b & c\\ a+p& b+q & c+r\\ x-a&y-b & z-c \end{vmatrix}$ = *3 = 3 $\cdot$ (-1) $\cdot$ $\begin{vmatrix} a &b & c\\ p& q & r\\ x&y & z \end{vmatrix}$ = 3 (-1)7 = -21

*1, aquí se observa que la primera fila está multiplicada por 3 segunda y por tanto, el determinante queda multiplicado por dicho número.

*2 , aquí se observa que la tercera fila está multiplicada por -1 y por tanto, el determinante queda multiplicado por dicho número.

*3 , aquí se observa que la segunda fila se ha obtenido de la siguiente manera: , y que la tercera fila se ha obtenido así: , es decir mediante combinaciones lineales y estas transformaciones no afectan al valor del determinante.

c) $\begin{vmatrix} a+2x & b+2y &c+2z \\ p &q &r \\ 2x+p& 2y+q & 2z+r \end{vmatrix}$ = *1 = $\begin{vmatrix} a & b &c \\ p &q &r \\ 2x+p& 2y+q & 2z+r \end{vmatrix}$ = *2 =2 $\begin{vmatrix} a & b &c \\ p &q &r \\ x+p& y+q & z+r \end{vmatrix}$ = *3= $2\begin{vmatrix} a & b &c \\ p &q &r \\ x& y & z \end{vmatrix} = 2\cdot 7 = 14$

*1 , aquí se observa que la primera fila está obtenida de la siguiente forma: F’₁ = F₁ +2F₃. Esto es una combinación lineal que no altera el valor del determinante

*2 y *3, aquí se observa que la tercera fila está multiplicada por dos y además es combinación lineal de otras, es decir: F’₃ = 2F₃ +F₂, por lo que el determinante queda multiplicado por dos también

d) $\begin{vmatrix} -b & c+b &5a \\ -q &r+q &5p \\ -y& z+y & 5x \end{vmatrix}$ = *1 = (-1) $\cdot$ $\begin{vmatrix} -b & 5a &c+b \\ -q &5p &r+q \\ -y& 5x & z+y \end{vmatrix}$ = *2 = (-1) $\cdot$ (-1) $\begin{vmatrix} 5a & -b &c+b \\ 5p &-q &r+q \\ 5x& -y & z+y \end{vmatrix}$ = *3 = (-1) $\cdot$ (-1) $\cdot$ 5 $\cdot$ $\begin{vmatrix} a & -b &c+b \\ p &-q &r+q \\ x& -y & z+y \end{vmatrix}$ = *4 = (-1) $\cdot$ (-1) $\cdot$ 5 $\cdot$ (-1) $\begin{vmatrix} a & b &c+b \\ p & q &r+q \\ x& y & z+y \end{vmatrix}$ = *5 = (-1) $\cdot$ (-1) $\cdot$ 5 $\cdot$ (-1) $\begin{vmatrix} a & b &c \\ p & q &r \\ x& y & z\end{vmatrix}$ = (-1) $\cdot$ (-1) $\cdot$ 5 $\cdot$ (-1) $\cdot$ 7 = -35

*1 , aquí se observa que la segunda columna está cambiada (permuta) con la tercera, por lo que, el determinante cambia de signo (queda multiplicado por -1).

*2 , aquí se observa que la primera columna está cambiada (permuta) con la segunda, por lo que, el determinante cambia de signo.

*3, aquí se observa que la primera columna está multiplicada por 5, por lo que el determinante queda multiplicado por dicho valor.

*4 , aquí se observa que la segunda columna está multiplicada por -1, por lo que el determinante queda multiplicado por dicho valor.

*5 , C’₃ = C₂+C₃, es decir es una combinación lineal que no afecta al valor del determinante.

2.- Demuestra, sin desarrollar el determinante, que: $\begin{vmatrix} a^{2} & ab & b^{2}\\ 2a& a+b &2b \\ 1& 1 & 1 \end{vmatrix} = (a-b)^{3}$

En este tipo de ejercicios, vamos a ir haciendo combinaciones, para reducir el determinante al máximo:

C’₁ = C₁-C₃ = $\begin{vmatrix} a^{2}-b^{2} & ab & b^{2}\\ 2a-2b& a+b &2b \\ 0& 1 & 1 \end{vmatrix}$

C’₂ = C₂-C₃ = $\begin{vmatrix} a^{2}-b^{2} & ab-b^{2} & b^{2}\\ 2a-2b& a+b -2b&2b \\ 0& 0& 1 \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} a^{2}-b^{2} & ab-b^{2} & b^{2}\\ 2a-2b& a -b&2b \\ 0& 0& 1 \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} (a+b)(a-b) & b(a-b) & b^{2}\\ 2(a-b)& a -b&2b \\ 0& 0& 1 \end{vmatrix}$

Saco factor común (a-b) en C₁: (a-b) $\begin{vmatrix} (a+b) & b(a-b) & b^{2}\\ 2& a -b&2b \\ 0& 0& 1 \end{vmatrix}$

Saco factor común (a-b) en C₂: (a-b)(a-b) $\begin{vmatrix} (a+b) & b & b^{2}\\ 2& 1&2b \\ 0& 0& 1 \end{vmatrix}$

C’’₁ = C’₁-2C₂: (a-b)(a-b) $\begin{vmatrix} (a+b)-2b & b & b^{2}\\ 0& 1&2b \\ 0& 0& 1 \end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix} a-b & b & b^{2}\\ 0& 1&2b \\ 0& 0& 1 \end{vmatrix}$ = *1 = $(a-b)^{2}(a-b) = (a-b)^{3}$

*1 aquí nos queda una matriz triangular, por lo que su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

Y has llegado al fin de este módulo, bien!

Te dejo unos ejercicios en la pestaña de materiales para que practiques a tope.

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