Cuadro que usaremos
Hola, aquí os dejo el cuadro que vamos a ir usando para la preparación de las pruebas. Tendrás que tener uno por cada asignatura que vayas a preparar
Cuadro que usaremos Leer más »
Módulo II.- Puntos y Rectas en el espacio
Hola, bienvenid@s al módulo II. En este módulo vas a aprender cómo son los puntos y las rectas en el espacio y sus posiciones relativas. De esta forma, al final del módulo, podrás trabajar de forma muy sencilla, con estos elementos. MÓDULO II.- PUNTOS Y RECTAS EN EL ESPACIO II.a.- PUNTOS. – Los puntos los expresaremos siempre con sus tres coordenadas. II.b.- RECTAS. – Las rectas van a venir definidas siempre por un punto por el que pasan, P, y por su vector director, Las diferentes ecuaciones de la recta que te vas a encontrar son: Ecuación VECTORIAL: Ecuaciones PARAMÉTRICAS: Ecuación CONTINUA: Ecuación IMPLÍCTA o GENERAL: En este caso la recta queda definida como corte de dos planos, puesto que cada una de las ecuaciones que aquí aparecen representa un plano. Ahora vamos a ver en qué formas nos pueden pedir que calculemos la ecuación de una recta y cómo resolverlo con algunos ejemplos: a) Recta que pasa por dos puntos: Calcula la recta r que pasa por los puntos A (1, -2, 4) y B (0, 1, -1) Como he mencionado anteriormente, vamos a necesitar un punto, podemos usar cualquiera de los que nos dan, y un vector director. Pasos: Calcular el vector director, siendo éste el que une ambos puntos Decidimos qué punto usar Colocamos los datos en la ecuación que queramos o nos pidan Vector = B – A = (0, 1, -1) – (1, -2, 4) = (-1, 3, -5) Punto B = (0, 1, -1) Ecuación vectorial de la recta r: (x, y, z) = (0, 1, -1)+ t (-1, 3, -5) Ecuaciones paramétricas: = Ecuación continua: = Para obtener la ecuación implícita o general, es decir como corte de dos planos, multiplicamos de dos en dos, en cruz, las fracciones de la continua: ; 3x = (-1) (y-1) ; 3x = -y+1; 3x+y-1= 0 ; (-5) (y-1) = 3 (z+1); -5y+5 = 3z +3; -5y -3z +2 = 0 quedando la ecuación general de la siguiente manera: b) Recta paralela a otra que pasa por un punto: Calcula la recta s, paralela a , y que pasa por el punto A (0, -1, 2) Pasos: Obtener el vector director de s, al ser paralela a r, vamos a usar el mismo vector director de r. Colocamos los datos en la ecuación que queramos o nos pidan En este caso el vector director de r, es el factor que está multiplicando al parámetro t, es decir = (-1, 3, -5) Ecuación vectorial de la recta r: (x, y, z) = (0, -1, 2)+ t (-1, 3, -5) Ecuaciones paramétricas: = Ecuación continua: = Para obtener la ecuación implícita o general, es decir como corte de dos planos, multiplicamos de dos en dos, en cruz, las fracciones de la continua: ; 3x = (-1) (y+1) ; 3x = -y-1; 3x+y+1= 0 ; (-5) (y+1) = 3 (z-2); -5y-5 = 3z -6; -5y -3z +1= 0 quedando la ecuación general de la siguiente manera: c) Recta perpendicular a otra que pasa por un punto: Calcula la recta s, perpendicular a , y que pasa por el punto A (0, -1, 2) Pasos: Obtener el vector director de s, al ser perpendicular a r, vamos a usar un vector perpendicular al vector director de r, es decir, su producto escalar debe dar 0; para ello vamos a cambiar dos coordenadas de sitio, a una le cambiamos el signo y a la tercera que no hemos usado, le damos el valor 0 (muy importante, verificar que el producto escalar da 0) Colocamos los datos en la ecuación que queramos o nos pidan En este caso el vector director de r, es el factor que está multiplicando al parámetro t, es decir = (-1, 3, -5). Uno perpendicular sería: = (3, 1, 0). = (-1, 3, -5) (3, 1, 0) = -3+3+0 = 0, se verifica la condición de perpendicularidad. Ecuación vectorial de la recta r: (x, y, z) = (0, -1, 2) + t (3, 1, 0) Ecuaciones paramétricas: = Ecuación continua: = Para obtener la ecuación implícita o general, es decir como corte de dos planos, multiplicamos de dos en dos, en cruz, las fracciones de la continua: ; x = (3) (y+1) ; x = 3y+3; x-3y-3= 0 ; (0) (y+1) = 1 (z-2); 0 = z -2; z -2= 0 quedando la ecuación general de la siguiente manera: d) Cómo pasar de las ecuaciones implícitas a las paramétricas de una recta: Esto nos va a resultar bastante útil, puesto que podremos trabajar la recta mejor en este tipo de ecuación Vamos a verlo con un ejemplo: dada la recta Lo primero es reducir el número de incógnitas, para ello vamos a hacer una reducción (E1+E2), quedando la siguiente ecuación con dos incógnitas; En este momento, no podríamos resolver nada, es el momento de darle valor a un parámetro; por ejemplo, z = t Quedando: Si sustituimos estas formas paramétricas en cualquiera de las dos del enunciado, conseguiremos expresar la x dependiendo del parámetro t también. Quedando así: POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO: Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano, lo primero que vamos a sacar es el vector director de cada una de las rectas y vamos a estudiar si son proporcionales y, por tanto, paralelos. Si (son paralelos) . En este caso las rectas serán paralelas o coincidentes, para saber en cuál de los dos casos estamos, sacamos un punto de una de las rectas y verificamos si pertenece o no a la otra. Si pertenece, ambas rectas serán coincidentes y si no pertenece, serán paralelas. En el caso, de que los vectores no sean paralelos, las rectas serán secantes o se cruzan. Sabremos en cuál de los casos estamos observando la dependencia de los vectores. Tomamos un punto de cada una de las rectas y hacemos el
Módulo II.- Puntos y Rectas en el espacio Leer más »
Guía para estudiar desde casa
Hola, bienvenid@ a este curso Intensivo para la preparación de la EBAU. Primero de todo, decirte que en la pestaña de materiales, te dejo unos tips para que el estudio desde casa te sea más efectivo. En breve irás teniendo acceso a todo el material disponible, según la/s asignatura/s que vayamos a preparar junt@s. Vamos a por todas, ¿verdad? Un saludo y hasta pronto, Ana
Guía para estudiar desde casa Leer más »
Módulo I.- Cómo representar una función
Hola, Bienvenid@ a este primer módulo del curso de representación de funciones. Vamos a ver por módulo cada tipo de función para poder dominar el tema a la perfección Preparad@s? listos? Empezamos! ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN: Para hacer un estudio pormenorizado y que la representación de la función sea lo más real posible, te aconsejo que sigas todos estos pasos. Es importante que lo hagas, además para que todo quede muy bien justificado. 1.- DOMINIO, pudiendo destacar los siguientes casos: – Función polinómica (tipo f(x) = axm+bxm-1+cxm-2+… ): dominio Dom f(x) = ℝ – Función racional (fracción algebraica) (tipo f(x) = n(x)d(x) ): dominio excepto los valores que anulan el denominador Condición: d(x)≠0 – Función irracionales – raíz de índice par (tipo f(x) = i (x) par ): el radicando (lo de dentro de la raíz) debe ser mayor o igual que cero Condición: radicando ( i(x)≥0 ) – Función raíz de índice impar (tipo f(x) = i(x)impar ): el dominio depende del radicando (de i(x)) – Función exponencial (tipo f(x) = : el dominio depende de la función que tenga el exponente (e(x)) – Función logarítmica (tipo f(x) = : el argumento (lo de dentro del logaritmo (a(x))) debe ser mayor que cero Condición: a(x) 0 – Función trigonométrica (tipo f(x) = : el dominio dependerá de a(x) – Función definida a trozos: el dominio dependerá de los tramos que intervengan en la función. Se calcula el dominio de cada uno de los tramos, según el tipo de función que sea, y después se resumen para el dominio general de la función – Función valor absoluto: Hay que desdoblarla primero como una función definida a trozos y después calcular su dominio 2.- PUNTOS DE CORTE de la función con los ejes de coordenadas – el punto de corte con el eje OX lo obtenemos sustituyendo la y por 0, es decir, igualando la función a 0 – el punto de corte con el eje OY lo obtenemos sustituyendo la x por 0 En caso de no encontrar ningún punto de corte (porque al resolver la ecuación nos salga una raíz negativa, por ejemplo) podemos recurrir al uso del teorema de Bolzano, donde podemos indicar si existe algún intervalo donde la función corte al eje x El teorema de BOLZANO dice que: “ si f (x) es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f (a) f (b) , o lo que es lo mismo, f (a) f(b) 0, entonces, existe un valor de c (a, b), tal que la función se anula, es decir: f(c) = 0” 3.- SIMETRÍA de la función. Podemos encontrar los siguientes casos: –Par, en este caso la función es simétrica respecto del eje OY y se dará siempre y cuando f(x) = f(-x) – Impar, en este caso la función es simétrica respecto del origen de coordenadas, y se dará siempre y cuando f (-x) = -f(x) 4.- En algunas funciones será necesario también comprobar su CONTINUIDAD en algún punto en el que no sepamos qué ocurre (suele hacerse para funciones definidas a trozos, en el punto donde cambia el tramo) Y para que una función sea continua en un punto debe cumplirse que: f (xo) (exista la función en el punto) para lo que es necesario que = , es decir, deben coincidir los límites laterales f (xo) = Si esto no se cumple, tendremos que indicar el tipo de discontinuidad que presente la función en ese punto. Estos tipos podrán ser: Discontinuidad evitable, si ocurre que no existe la función en el punto, o el límite no coincide con el valor de la función en ese punto Discontinuidad de salto finito, si no coinciden los límites laterales, pero los valores son numéricos Discontinuidad de salto infinito, si no coinciden los límites laterales, pero los valores son infinito 5.- Estudio de las ASÍNTOTAS y RAMAS PARABÓLICAS de la función, que podrán ser: – Asíntotas verticales: existen en los puntos que anulen el denominador de la función y existirán siempre y cuando el límite cuando x tiende a este punto de la función resulte infinito Condición: ; La función presenta una asíntota vertical en x = k Si hacemos los límites laterales, obtendremos además la posición de la curva respecto de la asíntota, de tal forma que, si el resultado es , la función subirá y si es , la función bajará – Asíntotas horizontales: existen siempre y cuando el grado del denominador sea mayor o igual que el del numerador Condición: La función presenta una asíntota horizontal en y = K Para saber la posición de la curva respecto de la asíntota, haremos una tabla de valores, sustituyendo valores muy grandes (por ejemplo 1000 y -1000) tanto en la función como en la asíntota y así apreciaremos quién está por encima y quién por debajo -Asíntotas oblicuas: existen siempre y cuando el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador. No puede darse el caso de que una función presente una asíntota horizontal y una oblicua, puede tener una, otra o ninguna de las dos. La asíntota será del tipo y = mx + n y calcularemos la m y la n haciendo lo siguiente: m (esto se hace para igualar el grado del numerador y del denominador y poder obtener un valor numérico) n (con esto también conseguimos que el resultado de este límite sea un valor numérico) También podríamos obtener la asíntota oblicua dividiendo el numerador entre el denominador, obteniendo en el cociente el valor de dicha asíntota. En el caso de que la función no presente ninguna asíntota, procederemos al estudio de sus ramas parabólicas, haciendo los límites siguientes: y para ver cómo se comporta la función en ambos casos Para saber la posición de la curva respecto de la asíntota, haremos una tabla
Módulo I.- Cómo representar una función Leer más »
Módulo I.- Vectores en el espacio
Hola, bienvenid@s al módulo I. En este módulo vamos a aprender a operar con los vectores de forma fácil y sencilla, para que pueda utilizarse este cálculo en los siguientes módulos del curso. Vamos a empezar viendo qué es un vector. Un vector, no es más que un segmento de una recta en el espacio que sale de un punto y llega a otro, es decir tiene origen, fin, dirección y sentido. . Al hablar del espacio de ,todos los puntos y vectores vendrán representados por tres coordenadas, correspondientes a cada uno de los ejes coordenados. Un vector nos indica que tiene su origen en el punto A y su fin en el punto B, para calcular sus coordenadas a partir de estos puntos origen y fin, tendremos que restar las coordenadas del punto final menos las del punto inicial ( se restan coordenada a coordenada, de tal forma que obtenemos el vector con sus tres coordenadas correspondientes, también. Otro dato importante a conocer de un vector es cuánto mide, es decir, su módulo. Se representa como y se calcula de la siguiente manera: Por ejemplo: Dados los puntos A = (1, 2, 3) y B = (-2, 1, 0); calcular el vector y su módulo: = B-A = (-2, 1, 0) – (1, 2, 3) = (-2-1, 1-2, 0-3)= (-3, -1, -3) = (-3) 2+(-1) 2+(-3) 2 = 19 OPERACIONES CON VECTORES: SUMA/RESTA DE VECTORES: Para sumar y/o restar vectores operamos por coordenadas, es decir se suman o restan las coordenadas correspondientes a cada eje por separado. Sean los vectores y , entonces Ejemplo: Dados los vectores = (1, -2, 1) y = (-2, 1, -3). Calcula y = (1, -2, 1) + (-2, 1, -3) = (1+(-2) , (-2)+1 , 1+(-3)) = ( -1, -1, -2) = (1, -2, 1) – ( -2, 1,-3) = (1-(-2) , -2-1 , 1-(-3) = (3, -3, 4) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR: Esta operación es bastante intuitiva, vamos a multiplicar el escalar (número) por todas las coordenadas del vector, quedando de la siguiente forma: Ejemplo: = 3 (1, -2, 1) = (3, -6, 3) PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: El producto escalar se define como: , siendo α el ángulo que forman los vectores a y b y pudiendo operarse de la siguiente manera también: Hay que tener en cuenta que, del producto escalar, siempre vamos a obtener como resultado un número, nunca un vector. Además este producto se usa muy frecuentemente, puesto que nos ofrece la ventaja de poder operarlo de una manera u otra. Como ya te he comentado, el producto escalar es muy útil a la hora de trabajar con vectores. Voy a destacar algunas de las aplicaciones que más vas a usar: Si dos vectores son perpendiculares (forman un ángulo de ), su producto escalar siempre va a ser igual a 0 (u) Si despejamos la parte del , podremos obtener el ángulo que forman esos dos vectores ( ) Nos permite calcular la proyección (sombra) de un vector sobre otro. La proyección del vector sobre el vector es igual a: (Lo trabajamos en valor absoluto, puesto que estamos dando una medida. Y el que va en el denominador siempre es el “sobre” ) Veamos unos ejemplos: Sean los vectores y = 1 (-2) 1 + 1 (-3) = -7 Al no dar el producto escalar 0, podremos verificar que estos vectores no son perpendiculares. Averigüemos el ángulo que forman: = -0,76 ; = arccos (-0,76) = 139,8 grados Y por último vamos a calcular la proyección de sobre el vector es igual a: PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES: El producto vectorial se define como: , donde ; hacen referencia a las coordenadas del eje x, y y z, respectivamente. El producto puede resolverse como cualquier determinante de orden 3, por Sarrus o por adjuntos, como prefieras. Voy a destacar algunas de las aplicaciones que más vas a usar: del producto vectorial de dos vectores, se obtiene un vector perpendicular a ambos. Si calculamos el módulo del vector obtenido, estaríamos calculando el área del paralelogramo definido por ambos vectores. Si dividimos ese área entre dos, obtenemos el área del triángulo, de la mitad del paralelogramo. Veamos un ejemplo: Si tengo los vectores y a) Calculamos el producto vectorial de ambos: Este vector que henos obtenido sería perpendicular a y a b) Calculamos ahora el módulo del vector obtenido: , este valor correspondería al área del paralelogramo que forman ambos vectores c) Si dividimos el área obtenida entre dos, obtenemos el área de medio paralelogramo, por tanto, del triángulo: PRODUCTO MIXTO: El producto mixto se designa como De este producto también vamos a obtener un valor escalar (un número), que representa el volumen del paralelepípedo que definen los tres vectores. Si lo dividimos entre 6, obtendríamos el volumen del tetraedro formado. Veamos un ejemplo: Dados los vectores , y Calcularemos su producto mixto, haciendo primero el producto vectorial de y y después el escalar del resultado con el = (1, -2, 1) (5, 4, -2) = 1 5 + (-2) 4 + 1 (-2) = -5 por último, te dejo un vídeo explicativo y además, en la pestaña de materiales, unos ejercicios para que vayas haciéndote amig@ de los vectores. A por ellos!
Módulo I.- Vectores en el espacio Leer más »
Módulo VI. Sistemas de ecuaciones
Hola! Último módulo…por fín vas a aplicar todo lo que hemos estado viendo hasta ahora de matrices y te adelanto que, a partir de aquí, todo va a empezar a tomar sentido (hablando de matrices, claro). Desde ya te digo que los sistemas de ecuaciones jamás te habrán resultado tan fáciles después de este módulo. MÓDULO V.- SISTEMAS DE ECUACIONES CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES: Los sistemas se clasifican por el número de soluciones que tengan, de tal forma que tendremos sistemas incompatibles, que son los que no tienen solución y sistemas compatibles, que son los que tienen solución, dentro los compatibles podrán ser determinados, si solo poseen una solución única e indeterminados, si poseen infinitas soluciones. Primeramente, debemos conocer cuáles son las matrices asociadas a un sistema de ecuaciones, puesto que vamos a usarlas para resolver y estudiar dicho sistema. Por ejemplo, sea el sistema de ecuaciones Sus matrices asociadas serán: Donde C es la matriz de coeficientes, X la matriz de incógnitas, D es la matriz de términos independientes y C* es la matriz ampliada, como se puede observar delante de la barra se coloca la matriz de coeficientes y detrás, la de los términos independientes. ESTUDIO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES: Para este estudio vamos a usar el teorema de Rouché Frobenius, que dice: Si el Rg M = Rg M* = número de incógnitas Sistema COMPATIBLE DETERMINADO y tendrá una única solución Si el Rg M = Rg M* número de incógnitas Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO y tendrá infinitas soluciones Si el Rg M Rg M* Sistema INCOMPATIBLE y no tendrá solución Donde Rg M es el Rango de la matriz de coeficientes y Rg M* es el rango de la matriz ampliada Veamos un ejemplo: Las matrices asociadas serían: y = 60 + 36 – 56 – 96 + 30 – 42 = -62 0 Rg M = 3 = 9 – 56 + 30 – 21 – 24 + 30 = -32 0 Rg M* = 3 Como Rg M = Rg M* = número de incógnitas Sistema COMPATIBLE DETERMINADO y tendrá una única solución. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- RESOLUCIÓN MATRICIAL Podremos resolver un sistema de ecuaciones matricialmente, siempre y cuando exista la inversa de la matriz de coeficientes. Para ello, expresaremos el sistema de ecuaciones en forma matricial, despejaremos la matriz de incógnitas y resolvemos Por ejemplo: ; ; Expresamos el sistema como una ecuación matricial: C X = D Despejamos la matriz de incógnitas: Estudiamos la existencia de y la calculamos: Adj = = 0 Adj = = -6 Adj = = -3 Adj = = 2 Adj = = 4 Adj = = 1 Adj = = 2 Adj = = 4 Adj = = 4 Adj C = ; Resolvemos: X = = Solución: 2.- RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE GAUSS Podremos resolver un sistema por este método haciendo ceros, de modo que nos quede un sistema escalonado Los pasos a seguir serían: 1.- Escalonamos el sistema, es decir dejamos la primera ecuación con tres incógnitas, la segunda con dos y la tercera con una, haciendo ceros por debajo de la diagonal principal (Tip: Si el sistema está completo, es decir las tres ecuaciones tienen las tres incógnitas, mezcla la primera ecuación con la segunda y quita la x, mezcla la primera ecuación con la tercera y quita la x y mezcla la segunda con la tercera y quita la y) Por ejemplo: E1 E2 E’2 = 2E1 – E2 E’3 = 5E1 – E3 E’’3 = 11E’2 – E’3 Ya tenemos el sistema escalonado y ahora empezamos resolviendo. De la ecuación 3 sacamos que: ; z= -2 De la ecuación 2 sacamos que: ; y = 2+z = 2+(-2) = 0 De la ecuación 1 sacamos que: x-2y+z = 3; x = 3+2y-z = 3+2 0-(-2) = 5 Soluciones 3.- RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE CRAMER La teoría nos dice que un sistema será de Cramer si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de 0 y para resolverlo usaremos lo siguiente: ; ; Donde Mx, My y Mz son las matrices de coeficientes en las que se ha sustituido la columna de la x, de la y o de la z (según corresponda) por la columna de los términos independientes y M es la matriz de coeficientes. Veamos esto con un ejemplo mejor: M = Primero haremos el determinante de M, para ver si podemos aplicar el método de Cramer: =2 0, podemos aplicarlo (véase que se ha cambiado la primera columna, la de las “x”, por la de los términos independientes) (véase que se ha cambiado la segunda columna, la de las “y”, por la de los términos independientes) (véase que se ha cambiado la tercera columna, la de las “z”, por la de los términos independientes) = 2/2 =1 = 4/ 2 = 2 = 6/2 = 3 Solución: Hay veces, que nos encontramos con sistemas compatibles indeterminados, también podemos resolverlos fácilmente por este método, vamos a ver un ejemplo: Este es un sistema homogéneo, puesto que los términos independientes son 0; estos sistemas siempre son compatibles. M = ; = 0, por lo que el sistema será compatible indeterminado, tanto la matriz de coeficientes, como la ampliada tienen rango 2 (número de incógnitas – rango = número de parámetros que vamos a necesitar para resolver el sistema). En este caso necesitamos un parámetro; elimino la última fila, por ejemplo, y le doy a z el valor de parámetro Z = t, quedando el sistema así: Eliminando la última fila, ahora la matriz de coeficientes, pasa a ser de orden 2×2 : M = Det M = 2 z = t Solución: Ejemplos: 1.- a) Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones: , según los valores del parámetro k b) Resuélvelo, para k =2 Vamos a escribir la matriz y la matriz ampliada que
Módulo VI. Sistemas de ecuaciones Leer más »
Módulo V. Resolución de ecuaciones matriciales
Bienvenid@ al módulo V. Aquí vamos a aprender de una manera fácil y rápida a resolver ecuaciones con matrices. MÓDULO V.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MATRICIALES A la hora de resolver una ecuación matricial, debemos tener en cuenta que al fin y al cabo es una ecuación; se va a resolver igual que todas las ecuaciones, con la salvedad que no podemos dividir matrices por tanto, cuando “tengamos que pasar una matriz dividiendo” para despejar la incógnita, tendremos que usar las propiedades de las matrices ( y que ) Los pasos que os recomiendo seguir son: 1º) Despejar la matriz incógnita. Este paso es el más importante de todo el ejercicio, así que no olvidéis justificarlo bien 2º) Calculamos la inversa 3º) Operamos Una última advertencia: Cuidado con el factor común en matrices, sobre todo con el orden, es importante no alterarlo, porque como ya sabemos: Recuerda: XA+XB = X (A+B) AX+BX = (A+B)X XA+BX no es factor común Ejemplos: 1.- Obtener la matriz que verifica que: AX = 2B-C, siendo: ; y – Primero despejamos: AX = 2B-C Multiplicamos por la inversa de A para poder despejar la X y con la precaución de multiplicar ambos miembros de la igualdad y en el mismo sitio (recuerda que el producto de matrices no es conmutativo) A-1AX = A-1(2B-C) Como se observa, en ambos lados de la igualdad está la inversa delante. – Como sabemos que una matriz por su inversa, y viceversa, dan la matriz identidad (y ésta es lo mismo que el 1) IX = A-1(2B-C) X = A-1(2B-C) – Por último resolvemos las operaciones pertinentes y tendríamos la solución de la ecuación matricial Cálculo de A-1 ( = 5, podemos afirmar que sí existe la inversa) A A-1 = I; = De resolver este sistema, obtenemos que A-1 = Como X = A-1(2B-C) X = (2 – ) 2.- Calcula la matriz X que verifica que: ABX = , siendo y Despejamos: (AB)-1ABX = (AB)-1 ; IX = (AB)-1 ; X = (AB)-1 Operamos: AB = = Cálculo de AB-1 ( = -3, podemos afirmar que sí existe la inversa) AB-1 = X = (AB)-1 = = 3.- Despeja: AX = Bt + X Pasamos las X al mismo miembro: AX -X = Bt Sacamos factor común: (A-I) X = Bt Despejamos X: (A-I)-1(A-I) X = (A-I)-1Bt ; X = (A-I)-1Bt Y otro módulo terminado, Ole! Venga, ahora, como ya sabes, te toca a tí.
Módulo V. Resolución de ecuaciones matriciales Leer más »
Módulo IV. Inversa de una matriz
Hola! Bienvenid@ al módulo IV Muchas cosas estás aprendiendo sobre las matrices y aun parecen sin sentido, verdad? Aguanta un poco más, pronto cambiará esa visión. MÓDULO IV.- CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Podremos calcular la inversa de una matriz por varios métodos, pero antes de nada una de las propiedades de las matrices más importantes y que sin duda, usaremos con mucha frecuencia es que una matriz por su inversa o viceversa, siempre da la matriz identidad También debemos conocer que una matriz tendrá inversa, única y exclusivamente, si su determinante es distinto de cero: 1.- Podremos calcular la inversa de una matriz, usando esta propiedad (método recomendado para matrices de orden 2×2, en órdenes mayores, resulta muy entretenido) Ejemplo: Sea , vamos a calcular su inversa. Primero nos aseguramos de que la tenga haciendo su determinante: . Como , entonces sí existe Suponemos que la matriz y aplicamos ; Resolvemos igualando los elementos uno a uno: , resolviendo este sistema se obtiene que a = -2 y c = 3/2 , resolviendo este sistema se obtiene que b = 1 y d = -1/2 quedando 2.- Otro método para calcular la inversa sería el de Gauss /Jordan Este consiste en ampliar la matriz dada con su inversa y operarla de tal manera que invirtamos el orden, quedando delante la matriz identidad y detrás, la inversa pedida Usaremos como ejemplo la matriz de antes , que ya sabemos que existe, puesto que su determinante daba distinto de cero Ampliamos la matriz, colocando detrás la identidad de orden 2×2 Ahora es el momento de hacer combinaciones lineales. Si primero empezáis haciendo los ceros y después los unos, os será más sencillo F’2 = 3F1-F2 A = F’1 = F1-F’2 A = F’’2 = ½ F’2 A = Como se puede observar, se ha conseguido el objetivo, tener delante la matriz identidad. De esta forma la matriz resultante será la inversa de A 3.- El último método que vamos a ver es aplicando la siguiente fórmula: , donde Adj A, denota la matriz Adjunta de A Sea Primero vamos a calcular para asegurarnos de que tiene inversa. Aplicando la regla de Cramer observamos que = -5, por lo que existe En segundo lugar, calcularemos la matriz Adjunta de A Adj = Adj = Adj = Adj = Adj = Adj = Adj = Adj = Adj = Adj A = ; Adj = ; Psst psst: En internet tenéis esta herramienta: https://matrixcalc.org/es/ Es una calculadora de inversas, con la que podréis jugar y además, comprobar si lo que vais haciendo está bien. Venga, tu turno. Te haces unos ejercicios?
Módulo IV. Inversa de una matriz Leer más »
Módulo III. Rango de una matriz
Otro dato muy importante a conocer de las matrices es su rango, nos va a ayudar a saber muchas cosas después. Así que, atención, vamos a ver qué es esto del Rango en este módulo III. MÓDULO III.- RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz es el mayor número de líneas independientes que tiene la matriz. Para averiguar el rango de una matriz podemos usar cualquiera de los métodos siguientes: 1.- Método de Gauss: Este método lo usaremos para hacer ceros y convertir la matriz en una equivalente, de tal forma que, el número de líneas que tenga la matriz, distintas de cero, será el rango de la matriz 2.- A partir de sus menores (por determinantes): El rango de una matriz coincidirá con el orden del determinante mayor (el mayor menor) distinto de cero, que quepa en la matriz La condición necesaria y suficiente para que el determinante de una matriz cuadrada sea cero es que sus líneas sean linealmente independientes, esto es, que alguna de ellas se pueda poner como combinación lineal de las otras. Es decir: las filas de A son linealmente dependientes las filas de A son linealmente independientes Vamos a ver esto con un ejemplo: Sea la matriz: Si usamos el método de Gauss: F2 F1 : quedando , quedando , quedando Tenemos una fila de ceros y 3 filas distintas de cero, por lo que podemos decir que el rango de esta matriz es 3 y como consecuencia, tiene 3 filas linealmente independientes Vamos a repetir el estudio de rango, pero haciéndolo por determinantes: Vamos a empezar probando con un menor de orden 2×2 = -5, como sale un determinante, distinto de cero, podemos asegurar que el rango será 2 o superior Seguimos comprobando con uno de orden 3×3 = -35 0. Podemos asegurar que el rango de la matriz es 3 o superior = 0, porque la primera fila es la suma de la segunda y la cuarta. Así que el rango de la matriz nunca podrá ser 4, porque como hemos visto, el determinante de orden 4×4 se anula. Como el determinante de mayor orden distinto de cero que hemos obtenido ha sido el de 3×3. Ya sí podemos afirmar, que el rango de la matriz es 3 Ejemplos: 1.- Calcula el rango de Empezamos comprobando un menor de orden 2×2 : = 9-4 = 5 0; Con esto ya sabemos que el rango de A será 2 o superior Vamos con orden 3×3: = 0 (F1= F2 + F3) Comprobamos otro: = 0 (F1= F2 + F3) Como todos los menores de orden 3×3 son nulos el rango no podrá ser 3 y como no hay ninguna matriz cuadrada de orden 4×4, el rango tampoco podrá ser 4. Así que, ya podemos afirmar que el rango de A es 2 2.- Estudia el rango de en función del parámetro En primer lugar, vamos a ver qué valores de anulan el determinante de la matriz: = = -9 Independientemente del valor de , el rango de esta matriz será 3, puesto que no se anula nunca el determinante. 3.- Estudia el rango de en función del parámetro Como siempre, en primer lugar, estudiamos qué valores de anulan el determinante de A = = = 0; = 0; Si Rg A 3 Comprobamos un menor de orden 2×2: =15-25= -10 0 Rg A = 2 Solución: Si Rg A = 2 Si Rg A 3 Pr último, unos ejercicios para que juegues en la pestaña de materiales.
Módulo III. Rango de una matriz Leer más »
Módulo II. Determinantes
Hola de nuevo! Módulo II y ya sabes un montón sobre matrices, ¿verdad? Vamos a ver ahora los determinantes; un módulo solo para ellos porque son muy importantes. MÓDULO II.- DETERMINANTES Un determinante es un número que asociamos a una matriz. Se representa por Det M o . La forma de calcularlos dependerá del orden que tenga la matriz. Si la matriz es de orden 2×2 se calculará multiplicando los elementos de la diagonal principal y restándole el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Ejemplo: Sea El determinante de A será: Det A = Si la matriz es de orden 3×3 se calculará aplicando la Regla de Sarrus (suma de la diagonal principal más sus paralelas y resta de la secundaria más sus paralelas) Ejemplo: Sea Si la matriz es de orden superior a 3×3, calcularemos su determinante por adjuntos, pero antes de ver este método necesitamos conocer un par de conceptos más: ¿Qué es el menor complementario? Mij, del elemento aij de la matriz A, es el determinante de la matriz de orden más pequeño que resulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A ¿Qué es un adjunto? El adjunto del elemento aij de la matriz A es Aij = Mij Una vez tenemos claros estos conceptos, podemos indicar que, si los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el determinante de esa matriz. En este caso, será útil, hacer los máximos ceros posibles dentro de una línea, para que el desarrollo del determinante sea lo más sencillo posible. Ejemplo: Sea Podríamos seleccionar la primera columna, por ejemplo, y desarrollar el determinante por los elementos de dicha columna, esto sería: = Este proceso es demasiado lento, por eso la mejor manera es hacer ceros en una línea para que los determinantes a calcular sean los mínimos posibles. Primero vamos a decidir con qué fila o columna queremos trabajar y hacemos ceros, dejando como pívot un elemento que, a ser posible, sea un 1 y después realizamos el determinante desarrollándolo por esa línea, puesto que, al haber hecho ceros, nos quedará solamente un determinante a calcular; el resto serán: 0 por el determinante, que terminarán dando 0. En este caso los cambios a realizar serán: F’2 = 2F1-F2 F’3 = F1+F3 F’4 = 3F1-F4 Como se puede comprobar, merece la pena hacer los ceros, los cálculos se reducen considerablemente. Para finalizar con esta parte de los determinantes, vamos a ver unas propiedades importantes, que nos ayudarán también a simplificar estos cálculos: 1.- El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. 2.- El determinante de la inversa de una matriz es igual a la inversa del determinante. 3.- Si una matriz cuadrada tiene una línea de ceros, su determinante es cero. 4.- Si en una matriz cambiamos de sitio dos líneas paralelas, el determinante cambia de signo. 5.- Si una matriz cuadrara tiene dos líneas paralelas iguales o proporcionales, su determinante es cero. 6.- Si multiplicamos todos los elementos de una línea por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número. 7.- Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás paralelas, el determinante no varía. 8.- Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, su determinante es cero Ojo.- Esto también nos indica que, cuando el determinante de una matriz es cero, va a tener una línea que es combinación lineal de las demás, o proporcional o igual. 9.- El determinante del producto de matrices es igual al producto de sus determinantes. Ejemplos: 1.- Si , calcula: a) *1 == *2 = = (-1) (-1) 7 = 7 *1, aquí se observa que la primera columna está cambiada con la segunda y por tanto, el determinante cambia de signo. *2, aquí se observa que la segunda columna está cambiada con la tercera y por tanto, el determinante vuelve a cambiar de signo. b) = *1 = 3 = *2 = 3 (-1) = *3 = 3 (-1) = 3 (-1)7 = -21 *1, aquí se observa que la primera fila está multiplicada por 3 segunda y por tanto, el determinante queda multiplicado por dicho número. *2 , aquí se observa que la tercera fila está multiplicada por -1 y por tanto, el determinante queda multiplicado por dicho número. *3 , aquí se observa que la segunda fila se ha obtenido de la siguiente manera: , y que la tercera fila se ha obtenido así: , es decir mediante combinaciones lineales y estas transformaciones no afectan al valor del determinante. c) = *1 = = *2 =2 = *3= *1 , aquí se observa que la primera fila está obtenida de la siguiente forma: F’1 = F1 +2F3. Esto es una combinación lineal que no altera el valor del determinante *2 y *3, aquí se observa que la tercera fila está multiplicada por dos y además es combinación lineal de otras, es decir: F’3 = 2F3 +F2 , por lo que el determinante queda multiplicado por dos también d) = *1 = (-1) = *2 = (-1) (-1) = *3 = (-1) (-1) 5 = *4 = (-1) (-1) 5 (-1) = *5 = (-1) (-1) 5 (-1) = (-1) (-1) 5 (-1) 7 = -35 *1 , aquí se observa que la segunda columna está cambiada (permuta) con la tercera, por lo que, el determinante cambia de signo (queda multiplicado por -1). *2 , aquí se observa que la primera columna está cambiada (permuta) con la segunda, por lo que, el determinante cambia de signo. *3, aquí se observa que la primera columna está multiplicada por 5, por lo que el determinante queda multiplicado por dicho valor. *4 , aquí se observa que la segunda columna está multiplicada por -1, por lo que el determinante queda multiplicado por dicho valor. *5 , C’3 = C2+C3, es decir
Módulo II. Determinantes Leer más »