2º Bachillerato

Vamos a por el último módulo de este curso. La distribución Normal. En este caso, la forma de buscar la probabilidad de que algo suceda será mediante tablas. Fácil, eh? Vamos a ello. MÓDULO III.- DISTRIBUCIÓN NORMAL Una distribución normal es una distribución de probabilidad que se representa por N ( , ), donde , como ya sabes, es la media y , la desviación típica. Cualquier distribución Normal estandarizada se representa por  N (0,1) Es decir, tiene de media 0 y de desviación 1. Esta es la más importante, puesto que es la que nos permitirá buscar la probabilidad en tabla. En el caso de que no estemos ante una distribución de esta forma, tendremos que transformarla (tipificarla) para poder usar la tabla.   Datos que vamos a necesitar para calcular estas probabilidades: P (z   a) es el dato que vamos a obtener de la tabla P (z a) = 1 – P (z a) P (z  -a) = P (z  a) P (z -a) = P (z   a) = 1 – P (z a) P (a z b) = P (z   b – P (z  a)   Como he comentado antes si la distribución no es del tipo N (0,1), vamos a tener que tipificarla, y lo haremos de la siguiente manera: Z = , siendo x el valor que nos piden en el problema; z el valor que vamos a buscar en la tabla; la media y la desviación típica de la distribución. Con estos datos y la tabla de distribución normal que te dejo en la pestaña de materiales, ya estás preparad@ para los cálculos. Veamos un ejemplo: En un instituto, la altura media es de 1.78 m con una desviación típica de 20 cm. SI elegimos un@ alumn@ al azar, calcula la probabilidad de que: a) Mida más de 1.85 m b) Mida menos de 1.7 m c) Mida entre 1.75 m y 1.9 m   Estamos ante una distribución normal del tipo de media 1.78 m y de desviación 20 cm (0.20m; cuidado de trabajar todo en las mismas unidades) Es decir N (1.78; 0.20) No es una distribución Normal Estándar, así que hay que tipificar antes de realizar los cálculos   a) P (x 1, 85) X= 1.85——–tipifico este valor: z =  = = 0,35 P (x 1.85) = P (z 0.35) = 1 – P ( z 0.35) (voy a la tabla y busco este valor de z para obtener la probabilidad de este suceso) P (x 1.85) = P ( z 0.35) = 1 – P ( z 0.35) = 1 – 0.6368 = 0.3632   b) P (x 1,70) X= 1.70——–tipifico este valor: z =  = = -0,40 P (x  1.70) = P (z -0.40) = 1 – P (z 0.40) (voy a la tabla y busco este valor de z para obtener la probabilidad de este suceso) P (x 1.70) = P (z  -0.40) = 1 – P (z  0.40) = 1 – 0.6554 = 0.3446   c) P (1.75  x 1.90) X = 1.75——–tipifico este valor: z =  = -0,15 X= 1.90——–tipifico este valor: z =  = 0,60 P (1.75 x 1.90) = P (-0.15 z 0.60) =   P (z 0.60) – P (z -0.15) = P (z  0.60) – [1-P (z 0.15) ]=   0.7257 – (1 – 0.5596)) = 0.2853     Por último una observación: puesto que en una distribución binomial podemos calcular su media y su desviación, podríamos calcularla como una normal (siempre que n p 5 y que n q   5) solo habría que hacerle, en algunos casos, unas pequeñas correcciones antes de tipificar (corrección de Yates): Si P (y   k) = P (x  k + 0.5) Si P (y k) = P (x   k  – 0.5) Si P (y k) = P (x k – 0.5) Si P (y k) = P (x  k + 0.5) Si P (y = k) = P (k – 0.5 x k + 0.5)   Veamos un ejemplo: El porcentaje de libros de matemáticas prestados en una biblioteca es del 10%. Si se han prestado 200 libros, calcula la probabilidad de que se hayan prestado más de 30 libros.   Este ejercicio es una binomial, pero calcular la probabilidad de que se hayan prestado más de 30 libros es muy largo y aburrido, por lo que vamos a transformarla en una Normal B (200, 0.10) n p = 200  0.10 = 20  5 n  q = 200  0.90 = 180  5 Viendo que cumple estas premisas, podemos normalizar la distribución. Calculamos la media y la desviación: = n p = 200  0.10 = 20 = =  = 4.24 N (20, 4.24) Vamos a aplicar la corrección de Yates: P (y  30) = P (x 30+0.5) = P (x 30.5) Tipificamos: z =   = = 2,48 P (y 30) = P (x 30+0.5) = P (x 30.5) = P (z 2.48) = 1 – P (z 2.48) = 1 – 0.9934 = 0.0066 Y este módulo, ya estaría listo también. Unos ejercicios, no?   EJERCICIOS MÓDULO III   1.- La probabilidad de dar en la diana al lanzar un dardo es 0.75, ¿cuál es la probabilidad de hacer 77 dianas o más?   2.- El peso de los paquetes de azúcar de una determinada fábrica sigue una distribución normal de media 250 gramos y desviación típica 20 gramos. Calcular: a) La probabilidad de que un paquete pese menos de 260 gramos b) La probabilidad de que el peso de un paquete esté comprendido entre 245 y 260 gramos   3.- La altura de l@s estudiant@s de 18 años de los institutos de una ciudad, sigue una distribución normal de media 1.78 m y desviación típica 0.65 m. Calcular: a) El porcentaje de personas que tienen una altura de 1.90m b) Si tomamos una muestra de 100 personas de los mismos institutos y queremos seleccionar los 30 más alt@s. ¿Cuál es la altura mínima que ha de tener un estudiante para

Hola, bienvenid@s al módulo I. En este módulo vamos a conocer un poco más el tema de probabilidad. Aquí ya no nos vale la excusa de… ¿cuándo voy a usar yo esto? Esto lo usamos tanto, que ni cuenta nos damos cuando lo hacemos. ¡Sigue leyendo, ya verás!   MÓDULO I.- PROBABILIDAD   Vamos a empezar el módulo viendo un poco de lenguaje, que nos vendrá bien manejar, para poder expresarnos mejor en la resolución de los ejercicios. Existen dos tipos de experimentos, los deterministas, que son aquellos en los que podemos predecir el resultado y los aleatorios, que son los que no podemos saber qué resultado vamos a obtener de antemano. En este módulo nos dedicaremos a estudiar los sucesos aleatorios. Cada suceso de este tipo, tendrá su espacio muestral, que es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Lo denotaremos con la letra E y se expresa entre llaves Algunos sucesos con los que vamos a trabajar serán: Sucesos elementales, que corresponde a cada uno de los sucesos que componen el espacio muestral. Sucesos compuestos: el que está formado por más de un suceso elemental. Suceso seguro: será el que siempre se cumple, con un 100% de probabilidad, sucederá. Suceso imposible: es el contrario del anterior, el que nunca se cumple. Tiene un 0% de probabilidad de suceder. Suceso contrario de un suceso A, es el que se verifica cuando no se verifica el A. También lo encontrareis como suceso complementario de A. Sucesos incompatibles, son los que si, al verificarse uno, no puede verificarse el otro. Es decir, si: A B = 0 (conjunto vacío). En caso contrario, diremos que los sucesos son compatibles. Sucesos independientes: son aquellos en los que el resultado de cada uno de ellos, no depende del otro. En caso que sí dependan, serán sucesos dependientes.   OPERACIONES CON SUCESOS: Unión de sucesos: A B, ocurre cuando se cumple A o cuando se cumple B y se forma con la unión de los sucesos elementales de A y los de B. o = Intersección de sucesos: A B, ocurre cuando se realiza A y B a la vez y se forma con los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. y =   PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS: Conmutativa: A B = B A (también se cumple con la unión) Asociativa: A (B C) = (A B) C (también se cumple con la unión) Distributiva: A (B C) = (A B) (A C) LEYES DE MORGAN:   PROBABILIDAD: La probabilidad de que algo suceda se define, según la regla de LaPlace como: Va a estar comprendida siempre entre el 0 (suceso imposible) y el 1 (suceso seguro).   PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD: Si dos sucesos son incompatibles: P (A B) = P (A) + P (B) Si dos sucesos son compatibles: P (A B) = P (A) + P (B) – P(A B) La probabilidad de un suceso contrario es: P () = 1 – P(A) Si dos sucesos son independientes: P(A B) = P (A)    P (B) P(A ) = P (A) – P(A B). Con esta conseguimos calcular la probabilidad de que ocurra solo el suceso A, puesto que es la intersección de A con el contrario de B, es decir, que ocurra A y no ocurra B. (También podemos usarla al revés:  P( B) = P (B) – P (A B).   LEYES DE MORGAN: P ( ) = P ( ) = 1 – P (A  B) P ( ) = P ( ) = 1 – P (A B)   PROBABILIDAD CONDICIONADA: Para el cálculo de propiedades condicionadas, aquellas en las que sucede algo, habiendo sucedido otra cosa antes, vamos a utilizar el Teorema de Bayes: El “sabiendo”, lo que ha sucedido primero, es lo que va en el denominador siempre. Recordad que lo llamamos probabilidad condicionada cuando los datos están en el mismo orden que los tenemos colocados en el diagrama de árbol y Teorema de Bayes, cuando están al revés.   Por lo que llevamos visto hasta ahora podrás ver que se hace necesaria la representación u organización de los datos en este tipo de diagrama, que llamamos árboles de probabilidad. Vamos a aprender con algún ejemplo, como hacerlo y como, a partir de él, calculamos las diferentes probabilidades   Ejemplo:  En una universidad el 70% de los alumn@s que acuden a la EBAU proceden de centros públicos y el resto de centros privados. De los alumn@s de centros públicos, el 25% obtienen una nota superior a 7 puntos. De los alumn@s de centros privados, el 28% obtiene una nota superior a 7 puntos. Se elige un@ alumn@ al azar y se pide: a) Probabilidad de que tenga una nota menor o igual a 7 puntos b) Sabiendo que viene de un centro público, cuál es la probabilidad de que tenga una nota superior a 7 puntos c) Sabiendo que la nota es superior a 7 puntos, cuál es la probabilidad de que el alumn@ proceda de un centro público? d) ¿Son incompatibles los sucesos: “alumn@ de centro publico” y “alumn@ con una nota menor o igual que 7 puntos”? Primero vamos a definir los sucesos y sus probabilidades: Sea el suceso O ser alumn@ de un centro público, cuya probabilidad es, según se indica en el enunciado, del 70%. P (O) = 0.70 Sea el suceso A ser alumn@ de un centro privado, cuya probabilidad es, según indica el enunciado el resto. Así que será el 100% – 70% = 30%. P (A) = 0.30 Sea el suceso S, obtener una nota superior a 7, cuya probabilidad, según el enunciado es del 25 % para l@ alumn@s de centros públicos y del 28 % para l@s de centros privados: P (S/O) = 0.25 y P (S/A) = 0.28 (observa, estas serían probabilidades condicionadas) Consideraremos , el suceso contrario al anterior, es decir sacar una nota menor o igual a 7 puntos, cuyas probabilidades calculamos por diferencia al 1

Otra manera de calcular la probabilidad de que algo suceda, es mediante este tipo de distribuciones. Son bastante sencillas de usar, así que vamos al lío.   MÓDULO II.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL   Una DISTRIBUCIÓN BINOMIAL es una distribución de probabilidad que se representa por B (n, p), donde n es el número de ensayos (el número de veces que se repite el suceso) y p, la probabilidad de éxito (de que ocurra el suceso que estamos estudiando) ¿Cuándo vamos a usarla? Cuando realicemos un experimento n veces y solo tengamos la opción de que salga bien (éxito) o mal (fracaso) Cuando la probabilidad de éxito sea siempre la misma Cuando el resultado del experimento, no dependa de lo que haya sucedido en otro anterior La probabilidad, mediante este método la vamos a calcular mediante la siguiente fórmula: P(x = k)  =   , donde n es el número de veces que se repite el suceso, k es el número de éxitos (lo que nos pidan), p es la probabilidad de éxito y q es la de fracaso (q= = 1 – p) Será útil saber que: P (x a) = 1 – P (x a) P (x a) = 1 – P (x a) es un número combinatorio que se resuelve:  Por último será útil que conozcas como calcular la media y la desviación típica de una distribución binomial, porque a veces se pueden usar para calcular la probabilidad del suceso, buscando sus valores en tablas. La media será: = n  p La varianza: = n  p  q y por tanto, La desviación típica sería:   n! es un número factorial que se resuelve multiplicando todos los números desde el valor de n hasta el 1 (por ejemplo: 4! = 4  3  2  1)   Vamos a ver un ejemplo: Una jugadora de baloncesto encesta el 90 % de las canastas que tira. Si lanza 8 canastas en un partido. Calcula la probabilidad de: a) Encestar 7 canastas b) Encestar todas las canastas c) Encestar más de 6 canastas d) Encestar al menos 6 canastas e) Encestar al menos 1 canasta f) Encestar menos de dos canastas g) Encestar a lo sumo dos canastas En este caso sabemos que es una binomial, porque el suceso tirar la canasta se repite 8 veces y siempre tiene la misma probabilidad de acertar. La probabilidad de encestar es 0.90. Por lo que la binomial quedaría descrita como B (8, 0.90) a) En este apartado la k valdría 7 y, puesto que p = 0.90, q = 1-0.9= 0.1; por lo que: P (x = 7) =   = 0.38 La probabilidad de encestar los 7 tiros sería de 0.38   b) La probabilidad de encestar todas las canastas, sería de la de acertar los 8 tiros, por lo que: P (x = 8) =     = 0.43 Importante 0! = 1 y   c) P (x 6) = P (x = 7) + P (x = 8) = 0.38 + 0.43 = 0.81   d) P (x 6) = P (x = 6) + P (x = 7) + P (x = 8) P (x = 6) =  = 0.15 P (x 6) = P (x = 6) + P (x = 7) + P (x = 8)= 0.15 + 0.38 + 0.43 = 0.96   e) Importante: al menos 1, es el suceso contrario de ninguna P (x ) = 1 – P (x = 0) P (x = 0) =   = 1.10-8 P (x ) = 1 – P (x = 0) = 1 – 1.10-8 = 0.99   f) Encestar menos de dos canastas, es la probabilidad de que x sea menor que 2 P (x 2) = P (x= 0) + P (x = 1) = 1.10-8 + 7.2.10-7 = 1.07. 10-8 P (x = 1) =    = 7.2.10-7   g) Encestar a lo sumo dos canastas, es la probabilidad de que enceste 2 o menos de 2 P (x  2) = P (x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) = 1.10-8 + 7.2.10-7 + 2.2.10-5 =  3.4.10-8 P (x = 2) =    = 2.2.10-5   Pues hasta aquí, voy a dejarte ahora unos ejercicios para practicar. Tu turno! EJERCICIOS MÓDULO II   1.- Una urna contiene 6 bolas con números pares y 9 bolas con números impares. Si hacemos diez extracciones con reemplazamiento, calcula la probabilidad de obtener número impar: a) Alguna vez. b) Más de 8 veces. c) Halla la media y la desviación típica.   2.- El 5% de los huevos de un supermercado están rotos. Halla la probabilidad de que un@ client@ que compra una docena de huevos encuentre alguno roto.   3.- La probabilidad de que un cierto experimento tenga éxito es 0,4. Si repetimos el experimento 15 veces, calcula la probabilidad de que tenga éxito: a) Alguna vez. b) Menor de dos veces.   4.- En un instituto aprueban matemáticas el 80% de l@s alumn@s. Si elegimos al azar 10, calcula la probabilidad de que: a) Aprueben todos l@s alumn@s b) aprueben 8 alumn@s c) apruebe al menos un@ alumn@ d) suspendan 3 alumn@s   5.- Un examen tipo test tiene 20 preguntas, cada una de las cuales tiene cuatro respuestas, de las que solo una es correcta. Si se contesta aleatoriamente, calcula: a) La probabilidad de aprobar el examen, suponiendo que solo suman puntos las preguntas acertadas y no restan los fallos b) la media y la desviación típica de la distribución   6.- El 30 % de los habitantes de un pueblo ve un concurso de televisión. Desde el concurso se llama por teléfono a 10 personas del pueblo, elegidas al azar. Calcular la probabilidad de que, de las 10 personas elegidas, estuvieran viendo el concurso: a) tres o menos personas b) ninguna   7.- En una partida de bombillas, el 10% son defectuosas. Si se eligen al azar 6 bombillas. Calcula la probabilidad de que: a) no haya ninguna defectuosa b) de que 2