Hola, bienvenid@s al módulo I. En este módulo vamos a conocer un poco más el tema de probabilidad. Aquí ya no nos vale la excusa de… ¿cuándo voy a usar yo esto? Esto lo usamos tanto, que ni cuenta nos damos cuando lo hacemos. ¡Sigue leyendo, ya verás! MÓDULO I.- PROBABILIDAD Vamos a empezar el módulo viendo un poco de lenguaje, que nos vendrá bien manejar, para poder expresarnos mejor en la resolución de los ejercicios. Existen dos tipos de experimentos, los deterministas, que son aquellos en los que podemos predecir el resultado y los aleatorios, que son los que no podemos saber qué resultado vamos a obtener de antemano. En este módulo nos dedicaremos a estudiar los sucesos aleatorios. Cada suceso de este tipo, tendrá su espacio muestral, que es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Lo denotaremos con la letra E y se expresa entre llaves Algunos sucesos con los que vamos a trabajar serán: Sucesos elementales, que corresponde a cada uno de los sucesos que componen el espacio muestral. Sucesos compuestos: el que está formado por más de un suceso elemental. Suceso seguro: será el que siempre se cumple, con un 100% de probabilidad, sucederá. Suceso imposible: es el contrario del anterior, el que nunca se cumple. Tiene un 0% de probabilidad de suceder. Suceso contrario de un suceso A, es el que se verifica cuando no se verifica el A. También lo encontrareis como suceso complementario de A. Sucesos incompatibles, son los que si, al verificarse uno, no puede verificarse el otro. Es decir, si: A B = 0 (conjunto vacío). En caso contrario, diremos que los sucesos son compatibles. Sucesos independientes: son aquellos en los que el resultado de cada uno de ellos, no depende del otro. En caso que sí dependan, serán sucesos dependientes. OPERACIONES CON SUCESOS: Unión de sucesos: A B, ocurre cuando se cumple A o cuando se cumple B y se forma con la unión de los sucesos elementales de A y los de B. o = Intersección de sucesos: A B, ocurre cuando se realiza A y B a la vez y se forma con los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. y = PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS: Conmutativa: A B = B A (también se cumple con la unión) Asociativa: A (B C) = (A B) C (también se cumple con la unión) Distributiva: A (B C) = (A B) (A C) LEYES DE MORGAN: PROBABILIDAD: La probabilidad de que algo suceda se define, según la regla de LaPlace como: Va a estar comprendida siempre entre el 0 (suceso imposible) y el 1 (suceso seguro). PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD: Si dos sucesos son incompatibles: P (A B) = P (A) + P (B) Si dos sucesos son compatibles: P (A B) = P (A) + P (B) – P(A B) La probabilidad de un suceso contrario es: P () = 1 – P(A) Si dos sucesos son independientes: P(A B) = P (A) P (B) P(A ) = P (A) – P(A B). Con esta conseguimos calcular la probabilidad de que ocurra solo el suceso A, puesto que es la intersección de A con el contrario de B, es decir, que ocurra A y no ocurra B. (También podemos usarla al revés: P( B) = P (B) – P (A B). LEYES DE MORGAN: P ( ) = P ( ) = 1 – P (A B) P ( ) = P ( ) = 1 – P (A B) PROBABILIDAD CONDICIONADA: Para el cálculo de propiedades condicionadas, aquellas en las que sucede algo, habiendo sucedido otra cosa antes, vamos a utilizar el Teorema de Bayes: El “sabiendo”, lo que ha sucedido primero, es lo que va en el denominador siempre. Recordad que lo llamamos probabilidad condicionada cuando los datos están en el mismo orden que los tenemos colocados en el diagrama de árbol y Teorema de Bayes, cuando están al revés. Por lo que llevamos visto hasta ahora podrás ver que se hace necesaria la representación u organización de los datos en este tipo de diagrama, que llamamos árboles de probabilidad. Vamos a aprender con algún ejemplo, como hacerlo y como, a partir de él, calculamos las diferentes probabilidades Ejemplo: En una universidad el 70% de los alumn@s que acuden a la EBAU proceden de centros públicos y el resto de centros privados. De los alumn@s de centros públicos, el 25% obtienen una nota superior a 7 puntos. De los alumn@s de centros privados, el 28% obtiene una nota superior a 7 puntos. Se elige un@ alumn@ al azar y se pide: a) Probabilidad de que tenga una nota menor o igual a 7 puntos b) Sabiendo que viene de un centro público, cuál es la probabilidad de que tenga una nota superior a 7 puntos c) Sabiendo que la nota es superior a 7 puntos, cuál es la probabilidad de que el alumn@ proceda de un centro público? d) ¿Son incompatibles los sucesos: “alumn@ de centro publico” y “alumn@ con una nota menor o igual que 7 puntos”? Primero vamos a definir los sucesos y sus probabilidades: Sea el suceso O ser alumn@ de un centro público, cuya probabilidad es, según se indica en el enunciado, del 70%. P (O) = 0.70 Sea el suceso A ser alumn@ de un centro privado, cuya probabilidad es, según indica el enunciado el resto. Así que será el 100% – 70% = 30%. P (A) = 0.30 Sea el suceso S, obtener una nota superior a 7, cuya probabilidad, según el enunciado es del 25 % para l@ alumn@s de centros públicos y del 28 % para l@s de centros privados: P (S/O) = 0.25 y P (S/A) = 0.28 (observa, estas serían probabilidades condicionadas) Consideraremos , el suceso contrario al anterior, es decir sacar una nota menor o igual a 7 puntos, cuyas probabilidades calculamos por diferencia al 1