Hola, aquí te dejo otra ayudita para repasar las diferentes formas que tenemos de descomponer una fracción
-DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES-
Podemos hacerlo de forma sencilla siguiendo estos pasos:
- Factorizamos el denominador (tendremos tantas fracciones simples como factores tenga el denominador)
- Expresamos la fracción dada como suma de tantas como nos hayan salido y hacemos el mínimo común múltiplo para sumarlas
- Igualamos los numeradores para poder averiguar los valores de los parámetros A, B,…
Este procedimiento es el mismo para todos los casos, pero vamos a ver los más habituales con unos ejemplos, para que nos sea más sencillo de explicar y de comprender
Caso a) Raíces reales sencillas:
(resolvemos esta ecuación y obtenemos dos resultados: x = 2 y x = -1) de ahí deducimos que
y por tanto, que:
- 7x+1 = A (x+1) + B (x-2)
Usamos las raíces del polinomio para resolver A y B
Para x = 2;
7 2 + 1 = A (2+1) + B (2 – 2)
15 = 3A ; A = 5
Para x = -1;
7 (-1) +1 = A (-1+1) + B (-1- 2)
-6 = -3B ; B = 2
4) Solución:
Caso b) Raíces múltiples:
(resolvemos esta ecuación y obtenemos dos resultados: x = 1 (doble)) de ahí deducimos que
- y por tanto, que:
- 3x-2 = A (x-1) + B
Usamos las raíces del polinomio para resolver A y B, como solo tenemos una raíz, la segunda podemos poner la que queramos o nos convenga
Para x = 1;
3 1 – 2 = A (1-1) + B
1 = B ; B = 1
Para x = 0;
3 0 – 2 = A (0-1) + B
-2 = -A + B ; -2 = -A + 1 ; A = 3
4) Solución:
Caso c) Raíces complejas:
- (resolvemos esta ecuación por Ruffini y obtenemos una única solución: x = 2)
De ahí deducimos que y por tanto, que:
Usamos las raíces del polinomio para resolver A, B y C, como solo tenemos una raíz, las otras podemos poner las que queramos o nos convengan
Para x = 2;
2 2 -1 = A (22+1) + (B
2 + C) (2 – 2)
5 = 5A ; A = 1
Para x = 0
2 0 -1 = A (02+1) + (B
0 + C) (0 – 2)
1 = 1A – 2C ; 1 = 1- 2C ; C = 0
Para x = 1
2 1 -1 = A (12+1) + (B
1 + C) (1 – 2)
3 = 2A – B – C ; 3 = 2 – B – 0 ; B = -1
- Solución: