Módulo III.- Planos en el espacio

Hola, bienvenid@s al módulo III.

En este módulo vamos a aprender todo lo necesario para poder trabajar con los planos en el espacio, incluido el estudio de sus posiciones relativas.

MÓDULO III.- PLANOS EN EL ESPACIO

Los planos van a venir definidos siempre por un punto por el que pasan, P y por sus dos vectores directores o por un punto y su vector normal.

Recuerda que normal es lo mismo que perpendicular u ortogonal.

Las diferentes ecuaciones del plano serán:

Ecuación VECTORIAL: $(x, y, z)= (p_{x}, p_{y}, p_{z})+\lambda (d_{1x}, d_{1y}, d_{1z})+\mu (d_{2x}, d_{2y}, d_{2z})$
Ecuaciones PARAMÉTRICAS: $\left\{\begin{matrix} x= p_{x}+\lambda\cdot d_{1x}+\mu \cdot d_{2x}\\ y = p_{y}+\lambda \cdot d_{1y}+\mu \cdot d_{2y} \\ z= p_{z}+ \lambda \cdot d_{1z}+\mu \cdot d_{2z} \end{matrix}\right.$
Ecuación IMPLÍCTA o GENERAL: Para esta no usaremos los vectores directores, sino el vector normal del plano: $\vec{n_{\pi }}= (a, b, c)$ quedando el plano: $\pi \equiv ax+by+cz+d = 0$

Para llegar a esta ecuación, también podemos usar el punto y los dos vectores directores, simplemente resolviendo el siguiente determinante: $\pi =\begin{vmatrix} x-p_{x} & y-p_{y} & z-p_{z}\\ d_{1x}& d_{1y} & d_{1z}\\ d_{2x}& d_{2y}& d_{2z} \end{vmatrix}= 0$

Ahora veremos en qué formas nos pueden pedir la ecuación de un plano y cómo resolverlo con algunos ejemplos:

a) Ecuación del plano definido por tres puntos: En este caso, usaremos uno de los puntos dados y calcularemos dos vectores, que serán los directores.

Por ejemplo: dados los puntos A (1, 7, -2); B (4, 5, 0) y C (6, 3, 8)

Pasos:

Calculo los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$

$\vec{AB}$ = (3, -2, 2)

$\vec{AC}$ = (5, -4, 10)

Usaré para el cálculo el punto A, que es el común de ambos vectores
Colocamos en la forma deseada, en este caso, voy a usar siempre la implícita, por ser la más común de todas las ecuaciones del plano.

$\pi =\begin{vmatrix} x-p_{x} & y-p_{y} & z-p_{z}\\ d_{1x}& d_{1y} & d_{1z}\\ d_{2x}& d_{2y}& d_{2z} \end{vmatrix}= 0$ ; $\pi =\begin{vmatrix} x-1 & y-7 & z+2\\ 3& -2 & 2\\ 5& -4& 10 \end{vmatrix}= 0$

$\pi \equiv -12x-20y-2z+148=0$ , podríamos simplificar dividiendo todo entre 2 y queda el plano: $\pi \equiv -6x-10y-z+74=0$

b) Ecuación del plano que contiene a dos rectas que se cortan: En este caso, usaremos un punto de cualquiera de las dos rectas y sus dos vectores directores

Por ejemplo; Calcula la ecuación del plano que contiene a las rectas $r\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1+2\lambda \\ y = 5-\lambda \\ z= -2+3\lambda \end{matrix}\right.$ y $s\equiv \left\{\begin{matrix} x= -7+t\\ t= 4+2t \\ z= 1-6t \end{matrix}\right.$

Voy a usar el punto P (1, 5, -2) de la recta r, por ejemplo. El vector $\vec{d_{r}}$ = (2, -1, 3) y el $\vec{d_{s}}$ = (1, 2, -6)

$\pi =\begin{vmatrix} x-p_{x} & y-p_{y} & z-p_{z}\\ d_{1x}& d_{1y} & d_{1z}\\ d_{2x}& d_{2y}& d_{2z} \end{vmatrix}= 0$ ; $\pi =\begin{vmatrix} x-1 & y-5 & z+2\\ 2& -1 & 3\\ 1& 2& -6 \end{vmatrix}= 0$

$\pi \equiv 15y+5z-65=0$ , podríamos simplificar dividiendo todo entre 5 y queda el plano: $\pi \equiv 3y+z-13=0$

c) Ecuación del plano que contiene a una recta y a un punto: En este caso, usaremos el punto dado, el vector director de la recta que nos dan y el segundo vector lo calcularemos sacando un punto de la recta y haciendo el vector que une ambos puntos.

Por ejemplo: Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta $r\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1+2\lambda \\ y = 5-\lambda \\ z= -2+3\lambda \end{matrix}\right.$ y al punto A (1, -2, 4)

Como hemos dicho, vamos a sacar un punto P de la recta r, que sería el P (1, 5, -2) y haremos el vector $\vec{AP}$ = (0, 7, -6)

$\pi =\begin{vmatrix} x-p_{x} & y-p_{y} & z-p_{z}\\ d_{1x}& d_{1y} & d_{1z}\\ d_{2x}& d_{2y}& d_{2z} \end{vmatrix}= 0$ ; $\pi =\begin{vmatrix} x-1 & y+2 & z-4\\ 2& -1 & 3\\ 0& 7& -6 \end{vmatrix}= 0$

$\pi \equiv -15x+12y+14z-17=0$

d) Ecuación del plano que contiene a una recta y es perpendicular a un plano:

En este caso, usaremos el vector de la recta cualquier punto de la recta r, puesto que, si la recta está contenida en el plano, todos sus puntos lo estarán también y como los planos son perpendiculares, el vector normal del plano dado, servirá como vector director del plano que piden

Por ejemplo: Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta $r\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1+2\lambda \\ y = 5-\lambda \\ z= -2+3\lambda \end{matrix}\right.$ y es perpendicular al plano $\Omega \equiv x+2y+3z-12=0$

$\vec{d_{r}}$ = (2, -1, 3)

P $\epsilon$ r = (1, 5, -2)

$\vec{n_{\Omega }}$ = (1, 2, 3)

$\pi =\begin{vmatrix} x-p_{x} & y-p_{y} & z-p_{z}\\ d_{1x}& d_{1y} & d_{1z}\\ d_{2x}& d_{2y}& d_{2z} \end{vmatrix}= 0$ ; $\pi =\begin{vmatrix} x-1 & y-5 & z+2\\ 2& -1 & 3\\ 1& 2& 3 \end{vmatrix}= 0$

$\pi \equiv -9x-3y+5z+34=0$

e) Ecuación del plano que contiene a dos rectas paralelas:

En este caso, vamos a usar un director y un punto de una de las dos rectas, de la otra recta no podemos sacar el vector director, ya que, al ser paralelas, no nos serviría. Para obtener el vector, lo que haremos será sacar otro punto de la otra recta y hacer el vector que une ambos puntos.

Por ejemplo: Obtener el plano que contiene a las rectas $r\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1+2\lambda \\ y = 5-\lambda \\ z= -2+3\lambda \end{matrix}\right.$ y $s\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1+2\lambda \\ y = 2-\lambda \\ z= 3+3\lambda \end{matrix}\right.$

$\vec{d_{r}}$ = $\vec{d_{s}}$ = (2, -1, 3)

P $\epsilon$ r = (1, 5, -2)

Q $\epsilon$ s = (1, 2, 3)

$\vec{PQ}$ = (0, 3, 5)

$\pi =\begin{vmatrix} x-p_{x} & y-p_{y} & z-p_{z}\\ d_{1x}& d_{1y} & d_{1z}\\ d_{2x}& d_{2y}& d_{2z} \end{vmatrix}= 0$ ; $\pi =\begin{vmatrix} x-1 & y-5 & z+2\\ 2& -1 & 3\\ 0& -3& 5\end{vmatrix}= 0$

$\pi \equiv 4x-10y-6z-34=0$ , simplifico todo por 2 y queda: $\pi \equiv 2x-5y-3z-17=0$

f) Ecuación del plano que contiene a un punto y es perpendicular a una recta:

En este caso, el vector director de la recta, al ser perpendicular al plano, vamos a poder usarlo como el vector normal del plano.

Por ejemplo: Calcula el plano que contiene al punto A (1, 2, 3) y es perpendicular a la recta $r\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1+2\lambda \\ y = 5-\lambda \\ z= -2+3\lambda \end{matrix}\right.$

$\vec{d_{r}}$ = $\vec{n_{\pi }}$ = (2, -1, 3) $\pi \equiv 2x-y+3z+d= 0$ , sustituyendo las coordenadas del punto en x, y y z del plano, obtendremos el valor de d

$\pi \equiv 2\cdot (-1)-2+3\cdot 3+d= 0$ ; d = -9; $\pi \equiv 2x-y+3z-9= 0$

g) Ecuación del plano que pasa por un punto y es paralelo a otro plano:

En este caso, al ser los planos paralelos, sus vectores normales también lo son y por tanto, el proceso de obtención será igual que el anterior

Por ejemplo: Calcula el plano que pasa por el punto A (1, 0, -2) y es paralelo al plano $\pi \equiv 2x-y+3z-9= 0$

El plano buscado será de la forma: $\pi \equiv 2x-y+3z+d= 0$

E igual que en el ejemplo anterior, calculamos el valor de d

$\Omega \equiv 2\cdot 1-0+3\cdot 2+d= 0$ ; d = -8; $\Omega \equiv 2x-y+3z-8= 0$

h) Ecuación del plano que pasa por un punto, es paralelo a una recta que es perpendicular a otra.

En este caso, para obtener el vector director de la recta, bastará con hacer el producto vectorial de los vectores directores de las rectas y con ello obtener el normal del plano. Después se procede como en los dos casos anteriores para obtener el plano. O realizar el determinante, como hemos visto también en los ejemplos anteriores con el punto y los dos vectores.

Por ejemplo: Calcula el plano que pasa por el punto A (1, 2, 3) y es paralelo a la recta $r\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1+\lambda \\ y = -2+3\lambda \\ z= 1+\lambda \end{matrix}\right.$ y perpendicular a $s\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1-3t \\ y = 3t\\ z= -1\end{matrix}\right.$

$\vec{d_{r}}$ = (1, 3, 1)

$\vec{d_{s}}$ = (-3, 3, 0)

$\pi =\begin{vmatrix} x-p_{x} & y-p_{y} & z-p_{z}\\ d_{1x}& d_{1y} & d_{1z}\\ d_{2x}& d_{2y}& d_{2z} \end{vmatrix}= 0$ ; $\pi =\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3\\ 1& 3 & 1\\ -3& 3& 0\end{vmatrix}= 0$ ; $\pi \equiv -3x-3y+12z-27= 0$

POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO:

Para estudiar la posición relativa de los planos vamos a trabajar siempre con las ecuaciones generales de los planos, de tal forma que podamos comparar los coeficientes de ambos o componer dos matrices y hacer un estudio de rangos, siendo

M = $\begin{pmatrix} A & B & C\\ A'& B' & C' \end{pmatrix}$ y M* = $\begin{pmatrix} A & B & C & D\\ A' & B' & C' & D' \end{pmatrix}$

De tal forma que si:

$\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'}= \frac{C}{C'}= \frac{D}{D'}$

Rg M = Rg M^*= 1

Planos coincidentes

$\frac{A}{A'}= \frac{B}{B'}= \frac{C}{C'}\neq \frac{D}{D'}$

Rg M =1 Rg M^*= 2

Planos paralelos

El resto de casos

Rg M = Rg M^*= 2

Planos secantes (se cortan formando una recta)

POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS EN EL ESPACIO:

Para estudiar la posición relativa de los planos vamos a trabajar siempre con las ecuaciones generales de los planos, de tal forma que podamos componer dos matrices y hacer un estudio de rangos, siendo los planos:

$\pi = Ax+By+Cz+D = 0$

$\gamma = A'x+B'y+C'z+D' = 0$

$\Omega = A''x+B''y+C''z+D'' = 0$

Y la matriz de coeficientes y la ampliada de la siguiente forma:

M = $\begin{pmatrix} A & B & C\\ A'& B' &C' \\ A''& B'' &C'' \end{pmatrix}$ y M* = $\begin{pmatrix} A &B &C &D \\ A'& B' & C' &D' \\ A''& B''& C''& D'' \end{pmatrix}$

Encontraremos los casos que aparecen en la siguiente tabla:

Rg M = Rg M^* = 3	Los tres planos se cortan en un punto
Rg M = 2 $\neq$ Rg M^* = 3	Los planos se cortan dos a dos
Rg M = 2 $\neq$ Rg M^* = 3	Dos planos son paralelos y el tercero los corta
Rg M = Rg M^* = 2	Los tres planos se cortan en una recta
Rg M = Rg M^* = 2	Dos planos son coincidentes y el otro los corta en una recta
Rg M = 1 $\neq$ Rg M^* = 2	Los tres planos son paralelos
Rg M = 1 $\neq$ Rg M^* = 2	Dos planos son coincidentes y el tercero es paralelo
Rg M = Rg M^* = 1	Planos coincidentes

POSICIÓN RELATIVA DE RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO:

Para estudiar la posición relativa de recta y plano, vamos a observar qué ocurre con los vectores directores de las rectas y los normales de los planos.

También podemos hacer un estudio de rangos, si expresamos la recta como corte de dos planos (de forma implícita); siendo M = y M* =

De tal forma que podremos diferenciar los siguientes casos

$\vec{d_{r}}\cdot \vec{d_{s}} = 0$

P $\epsilon$ r y P no pertenece a $\pi$

Rg M $\neq$ Rg M^*

recta paralela al plano

$\vec{d_{r}}\cdot \vec{d_{s}} = 0$

P $\epsilon$ r y P $\epsilon$ $\pi$

Rg M = Rg M^* = 2

recta contenida en el plano

$\vec{d_{r}}\cdot \vec{d_{s}} \neq 0$

Rg M = Rg M^* = 3

Recta y plano secantes

Vamos a ver aquí con un ejemplo, cómo se calcularía el punto de corte de una recta y un plano, puesto que, dependiendo de en qué ecuación tengamos la recta, usaremos un método u otro.

Por ejemplo: Sea el plano $\pi \equiv x+y+z-2= 0$ ; y la recta $r\equiv \left\{\begin{matrix} y+z-3= 0\\ x+z-3=0 \end{matrix}\right.$

M = $\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 0&1 &1 \\ 1&0 &1 \end{pmatrix}$ y M* = $\begin{pmatrix} 1 &1 &1 &-2 \\ 0&1 &1 &-3 \\ 1&0 &1 &-3 \end{pmatrix}$ ;

$\left | M \right |\neq 0$ ; por lo que Rg M = Rg M^* = 3 y las recta y el plano, se cortan en un punto. Vamos a calcular este punto de corte Q, resolviendo el sistema de ecuaciones, por Gauss, que suponen las tres ecuaciones (la del plano y las dos de las rectas)

$\left\{\begin{matrix} x+y+z-2=0\\ y+z-3=0 \\ x+z-3=0 \end{matrix}\right.$

E’₃=E₁-E₃; $\left\{\begin{matrix} x+y+z-2=0\\ y+z-3=0 \\ y-1=0 \end{matrix}\right.$ ; y = 1

$y+z-3= 0$ ; $1+z-3= 0$ ; z= 2

$x+y+z-2= 0$ ; $x+1+2-2= 0$ ; x = -1

El punto de corte Q, sería el Q ( -1, 1, 2)

Si la recta nos la hubieran dado en cualquier otra forma, por ejemplo, en paramétricas: Por ejemplo: Sea el plano $\pi \equiv x+y+z-2= 0$ ; y la recta $r\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1+t \\ y = 2+2t\\ z= -t\end{matrix}\right.$

$\vec{d_{r}}$ = (1, 2, -1)

$\vec{n_{\pi }}$ = (1, 1, 1)

$\vec{d_{r}}\cdot \vec{n_{\pi }}$ = (1, 2, -1) $\cdot$ (1, 1, 1) = 2 $\neq$ 0, por lo que recta y plano son secantes.

El punto de corte, en este caso, lo calculo sustituyendo las coordenadas x, y y z de la recta en el plano y sacando el valor del parámetro t

$\pi \equiv x+y+z-2= 0$ ; $\pi \equiv (1+t)+(2+2t)+(-t)-2= 0$ ; t = -1/2

Sustituyendo este valor en la recta obtenemos las coordenadas del punto de corte Q

$r\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1+t \\ y = 2+2t\\ z= -t\end{matrix}\right.$ ; $r\equiv \left\{\begin{matrix} x= 1+(-1/2) = 1/2\\ y = 2+2\cdot (-1/2) = 1\\ z= -(- 1/2) = 1/2\end{matrix}\right.$

Las coordenadas del punto de corte serían: Q = (1/2, 1, 1/2)

Por último como siempre, en la pestaña de materiales te dejo ejercicios. Te toca un poquito de práctica. A por ellos!

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