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Módulo I.- Estudio y representación de una función

Hola! Bienvenid@ a este primer módulo sobre estudio y representación de funciones. En este caso vamos a ver, paso por paso, cuáles son los puntos más importantes a estudiar a la hora de representar una función. En los siguientes módulos os dejaré un ejemplo de los tipos de funciones más frecuentes, para que veas como aplicar este estudio a cada caso. Así que sin más, arrancamos! MÓDULO I.- ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN 1.- Primero estudiaremos el DOMINIO de la función (los valores de x para los que ésta está definida), pudiendo destacar los siguientes casos: – Función polinómica (tipo ): dominio o lo que es lo mismo de – Función racional (fracción algebraica) (tipo f ): dominio excepto los valores que anulan el denominador Condición: d(x) 0 – Función irracionales – raíz de índice par (tipo ): el radicando (lo de dentro de la raíz) debe ser mayor o igual que cero Condición: radicando (i(x)) 0 – Función raíz de índice impar (tipo ): el dominio depende del radicando (de i(x)) – Función exponencial (tipo ) : el dominio depende de la función que tenga el exponente (e(x)) – Función logarítmica (tipo ) : el argumento (lo de dentro del logaritmo (a(x))) debe ser mayor que cero Condición: a(x) 0 – Función trigonométrica (tipo ) = : el dominio dependerá de a(x) – Función definida a trozos: el dominio dependerá de los tramos que intervengan en la función. Se calcula el dominio de cada uno de los tramos, según el tipo de función que sea, y después se resumen para el dominio general de la función – Función valor absoluto: Hay que desdoblarla primero como una función definida a trozos y después calcular su dominio 2.- PUNTOS DE CORTE de la función con los ejes de coordenadas – el punto de corte con el eje OX lo obtenemos sustituyendo la y por 0, es decir, igualando la función a 0 – el punto de corte con el eje OY lo obtenemos sustituyendo la x por 0 En caso de no encontrar ningún punto de corte (porque al resolver la ecuación nos salga una raíz negativa, por ejemplo) podemos recurrir al uso del teorema de Bolzano, donde podemos indicar si existe algún intervalo donde la función corte al eje x El teorema de BOLZANO dice que: “ si f (x) es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f (a) f (b) , o lo que es lo mismo, f (a) f(b) 0, entonces, existe un valor de c (a, b), tal que la función se anula, es decir: f(c) = 0” 3.- SIMETRÍA de la función. Podemos encontrar los siguientes casos: –Par, en este caso la función es simétrica respecto del eje OY y se dará siempre y cuando f(x) = f(-x) – Impar, en este caso la función es simétrica respecto del origen de coordenadas, y se dará siempre y cuando f (-x) = -f(x) 4.- En algunas funciones será necesario también comprobar su CONTINUIDAD en algún punto en el que no sepamos qué ocurre (suele hacerse para funciones definidas a trozos, en el punto donde cambia el tramo) Y para que una función sea continua en un punto debe cumplirse que: f (xo) (exista la función en el punto) , para lo que es necesario que , es decir, deben coincidir los límites laterales f (xo) = Si esto no se cumple, tendremos que indicar el tipo de discontinuidad que presente la función en ese punto. Estos tipos podrán ser: Discontinuidad evitable, si ocurre que no existe la función en el punto, o el límite no coincide con el valor de la función en ese punto Discontinuidad de salto finito, si no coinciden los límites laterales, pero los valores son numéricos Discontinuidad de salto infinito, si no coinciden los límites laterales, pero los valores son infinito También podríamos necesitar, para algunos ejercicios comprobar la derivabilidad de una función en un punto Para que esto ocurra, es decir para que una función sea derivable en un punto xo , tiene que cumplirse que: f(x) sea continua en xo , es decir, deben coincidir las derivadas laterales. 5.- Estudio de las ASÍNTOTAS y RAMAS PARABÓLICAS de la función, que podrán ser: – Asíntotas verticales: existen en los puntos que anulen el denominador de la función y existirán siempre y cuando el límite cuando x tiende a este punto de la función resulte infinito Condición: La función presenta una asíntota vertical en x = k Si hacemos los límites laterales, obtendremos además la posición de la curva respecto de la asíntota, de tal forma que, si el resultado es , la función subirá y si es , la función bajará – Asíntotas horizontales: existen siempre y cuando el grado del denominador sea mayor o igual que el del numerador Condición: La función presenta una asíntota horizontal en y = K Para saber la posición de la curva respecto de la asíntota, haremos una tabla de valores, sustituyendo valores muy grandes (por ejemplo x= 1000 y x = -1000) tanto en la función como en la asíntota y así apreciaremos quién está por encima y quién por debajo -Asíntotas oblicuas: existen siempre y cuando el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador. No puede darse el caso de que una función presente una asíntota horizontal y una oblicua, puede tener una, otra o ninguna de las dos. La asíntota será del tipo y = mx + n y calcularemos la m y la n haciendo lo siguiente: (esto se hace para igualar el grado del numerador y del denominador y poder obtener un valor numérico) (con esto también conseguimos que el resultado de este límite sea un valor numérico) También podríamos obtener la asíntota oblicua dividiendo

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Módulo VII.- Ejercicios finales

Bueno, pues ya has llegado hasta el final del curso. Para rematar y poder hacer este tema a la perfección, que seguro cae en el examen, te dejo unos ejercicios más en la pestaña de materiales. Ánimo y a por todas!!!

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Módulo VI. Sistemas de ecuaciones

Hola! Último módulo…por fín vas a aplicar todo lo que hemos estado viendo hasta ahora de matrices y te adelanto que, a partir de aquí, todo va a empezar a tomar sentido (hablando de matrices, claro). Desde ya te digo que los sistemas de ecuaciones jamás te habrán resultado tan fáciles después de este módulo. MÓDULO V.- SISTEMAS DE ECUACIONES CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES: Los sistemas se clasifican por el número de soluciones que tengan, de tal forma que tendremos sistemas incompatibles, que son los que no tienen solución y sistemas compatibles, que son los que tienen solución, dentro los compatibles podrán ser determinados, si solo poseen una solución única e indeterminados, si poseen infinitas soluciones. Primeramente, debemos conocer cuáles son las matrices asociadas a un sistema de ecuaciones, puesto que vamos a usarlas para resolver y estudiar dicho sistema. Por ejemplo, sea el sistema de ecuaciones Sus matrices asociadas serán: Donde C es la matriz de coeficientes, X la matriz de incógnitas, D es la matriz de términos independientes y C* es la matriz ampliada, como se puede observar delante de la barra se coloca la matriz de coeficientes y detrás, la de los términos independientes. ESTUDIO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES: Para este estudio vamos a usar el teorema de Rouché Frobenius, que dice: Si el Rg M = Rg M* = número de incógnitas Sistema COMPATIBLE DETERMINADO y tendrá una única solución Si el Rg M = Rg M* número de incógnitas Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO y tendrá infinitas soluciones Si el Rg M Rg M* Sistema INCOMPATIBLE y no tendrá solución Donde Rg M es el Rango de la matriz de coeficientes y Rg M* es el rango de la matriz ampliada Veamos un ejemplo: Las matrices asociadas serían: y = 60 + 36 – 56 – 96 + 30 – 42 = -62 0 Rg M = 3 = 9 – 56 + 30 – 21 – 24 + 30 = -32 0 Rg M* = 3 Como Rg M = Rg M* = número de incógnitas Sistema COMPATIBLE DETERMINADO y tendrá una única solución. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- RESOLUCIÓN MATRICIAL Podremos resolver un sistema de ecuaciones matricialmente, siempre y cuando exista la inversa de la matriz de coeficientes. Para ello, expresaremos el sistema de ecuaciones en forma matricial, despejaremos la matriz de incógnitas y resolvemos Por ejemplo: ; ; Expresamos el sistema como una ecuación matricial: C X = D Despejamos la matriz de incógnitas: Estudiamos la existencia de y la calculamos: Adj = = 0 Adj = = -6 Adj = = -3 Adj = = 2 Adj = = 4 Adj = = 1 Adj = = 2 Adj = = 4 Adj = = 4 Adj C = ; Resolvemos: X = = Solución: 2.- RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE GAUSS Podremos resolver un sistema por este método haciendo ceros, de modo que nos quede un sistema escalonado Los pasos a seguir serían: 1.- Escalonamos el sistema, es decir dejamos la primera ecuación con tres incógnitas, la segunda con dos y la tercera con una, haciendo ceros por debajo de la diagonal principal (Tip: Si el sistema está completo, es decir las tres ecuaciones tienen las tres incógnitas, mezcla la primera ecuación con la segunda y quita la x, mezcla la primera ecuación con la tercera y quita la x y mezcla la segunda con la tercera y quita la y) Por ejemplo: E1 E2 E’2 = 2E1 – E2 E’3 = 5E1 – E3 E’’3 = 11E’2 – E’3 Ya tenemos el sistema escalonado y ahora empezamos resolviendo. De la ecuación 3 sacamos que: ; z= -2 De la ecuación 2 sacamos que: ; y = 2+z = 2+(-2) = 0 De la ecuación 1 sacamos que: x-2y+z = 3; x = 3+2y-z = 3+2 0-(-2) = 5 Soluciones 3.- RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE CRAMER La teoría nos dice que un sistema será de Cramer si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de 0 y para resolverlo usaremos lo siguiente: ; ; Donde Mx, My y Mz son las matrices de coeficientes en las que se ha sustituido la columna de la x, de la y o de la z (según corresponda) por la columna de los términos independientes y M es la matriz de coeficientes. Veamos esto con un ejemplo mejor: M = Primero haremos el determinante de M, para ver si podemos aplicar el método de Cramer: =2 0, podemos aplicarlo (véase que se ha cambiado la primera columna, la de las “x”, por la de los términos independientes) (véase que se ha cambiado la segunda columna, la de las “y”, por la de los términos independientes) (véase que se ha cambiado la tercera columna, la de las “z”, por la de los términos independientes) = 2/2 =1 = 4/ 2 = 2 = 6/2 = 3 Solución: Hay veces, que nos encontramos con sistemas compatibles indeterminados, también podemos resolverlos fácilmente por este método, vamos a ver un ejemplo: Este es un sistema homogéneo, puesto que los términos independientes son 0; estos sistemas siempre son compatibles. M = ; = 0, por lo que el sistema será compatible indeterminado, tanto la matriz de coeficientes, como la ampliada tienen rango 2 (número de incógnitas – rango = número de parámetros que vamos a necesitar para resolver el sistema). En este caso necesitamos un parámetro; elimino la última fila, por ejemplo, y le doy a z el valor de parámetro Z = t, quedando el sistema así: Eliminando la última fila, ahora la matriz de coeficientes, pasa a ser de orden 2×2 : M = Det M = 2 z = t Solución: Ejemplos: 1.- a) Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones: , según los valores del parámetro k b) Resuélvelo, para k =2 Vamos a escribir la matriz y la matriz ampliada que

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Módulo V. Resolución de ecuaciones matriciales

Bienvenid@ al módulo V. Aquí vamos a aprender de una manera fácil y rápida a resolver ecuaciones con matrices. MÓDULO V.- RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MATRICIALES A la hora de resolver una ecuación matricial, debemos tener en cuenta que al fin y al cabo es una ecuación; se va a resolver igual que todas las ecuaciones, con la salvedad que no podemos dividir matrices por tanto, cuando “tengamos que pasar una matriz dividiendo” para despejar la incógnita, tendremos que usar las propiedades de las matrices ( y que ) Los pasos que os recomiendo seguir son: 1º) Despejar la matriz incógnita. Este paso es el más importante de todo el ejercicio, así que no olvidéis justificarlo bien 2º) Calculamos la inversa 3º) Operamos Una última advertencia: Cuidado con el factor común en matrices, sobre todo con el orden, es importante no alterarlo, porque como ya sabemos: Recuerda: XA+XB = X (A+B) AX+BX = (A+B)X XA+BX no es factor común Ejemplos: 1.- Obtener la matriz que verifica que: AX = 2B-C, siendo: ; y – Primero despejamos: AX = 2B-C Multiplicamos por la inversa de A para poder despejar la X y con la precaución de multiplicar ambos miembros de la igualdad y en el mismo sitio (recuerda que el producto de matrices no es conmutativo) A-1AX = A-1(2B-C) Como se observa, en ambos lados de la igualdad está la inversa delante. – Como sabemos que una matriz por su inversa, y viceversa, dan la matriz identidad (y ésta es lo mismo que el 1) IX = A-1(2B-C) X = A-1(2B-C) – Por último resolvemos las operaciones pertinentes y tendríamos la solución de la ecuación matricial Cálculo de A-1 ( = 5, podemos afirmar que sí existe la inversa) A A-1 = I; = De resolver este sistema, obtenemos que A-1 = Como X = A-1(2B-C) X = (2 – ) 2.- Calcula la matriz X que verifica que: ABX = , siendo y Despejamos: (AB)-1ABX = (AB)-1 ; IX = (AB)-1 ; X = (AB)-1 Operamos: AB = = Cálculo de AB-1 ( = -3, podemos afirmar que sí existe la inversa) AB-1 = X = (AB)-1 = = 3.- Despeja: AX = Bt + X Pasamos las X al mismo miembro: AX -X = Bt Sacamos factor común: (A-I) X = Bt Despejamos X: (A-I)-1(A-I) X = (A-I)-1Bt ; X = (A-I)-1Bt Y otro módulo terminado, Ole! Venga, ahora, como ya sabes, te toca a tí.

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Módulo IV. Inversa de una matriz

Hola! Bienvenid@ al módulo IV Muchas cosas estás aprendiendo sobre las matrices y aun parecen sin sentido, verdad? Aguanta un poco más, pronto cambiará esa visión. MÓDULO IV.- CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Podremos calcular la inversa de una matriz por varios métodos, pero antes de nada una de las propiedades de las matrices más importantes y que sin duda, usaremos con mucha frecuencia es que una matriz por su inversa o viceversa, siempre da la matriz identidad También debemos conocer que una matriz tendrá inversa, única y exclusivamente, si su determinante es distinto de cero: 1.- Podremos calcular la inversa de una matriz, usando esta propiedad (método recomendado para matrices de orden 2×2, en órdenes mayores, resulta muy entretenido) Ejemplo: Sea , vamos a calcular su inversa. Primero nos aseguramos de que la tenga haciendo su determinante: . Como , entonces sí existe Suponemos que la matriz y aplicamos ; Resolvemos igualando los elementos uno a uno: , resolviendo este sistema se obtiene que a = -2 y c = 3/2 , resolviendo este sistema se obtiene que b = 1 y d = -1/2 quedando 2.- Otro método para calcular la inversa sería el de Gauss /Jordan Este consiste en ampliar la matriz dada con su inversa y operarla de tal manera que invirtamos el orden, quedando delante la matriz identidad y detrás, la inversa pedida Usaremos como ejemplo la matriz de antes , que ya sabemos que existe, puesto que su determinante daba distinto de cero Ampliamos la matriz, colocando detrás la identidad de orden 2×2 Ahora es el momento de hacer combinaciones lineales. Si primero empezáis haciendo los ceros y después los unos, os será más sencillo F’2 = 3F1-F2 A = F’1 = F1-F’2 A = F’’2 = ½ F’2 A = Como se puede observar, se ha conseguido el objetivo, tener delante la matriz identidad. De esta forma la matriz resultante será la inversa de A 3.- El último método que vamos a ver es aplicando la siguiente fórmula: , donde Adj A, denota la matriz Adjunta de A Sea Primero vamos a calcular para asegurarnos de que tiene inversa. Aplicando la regla de Cramer observamos que = -5, por lo que existe En segundo lugar, calcularemos la matriz Adjunta de A Adj = Adj = Adj = Adj = Adj = Adj = Adj = Adj = Adj = Adj A = ; Adj = ; Psst psst: En internet tenéis esta herramienta: https://matrixcalc.org/es/ Es una calculadora de inversas, con la que podréis jugar y además, comprobar si lo que vais haciendo está bien. Venga, tu turno. Te haces unos ejercicios?

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Módulo III. Rango de una matriz

Otro dato muy importante a conocer de las matrices es su rango, nos va a ayudar a saber muchas cosas después. Así que, atención, vamos a ver qué es esto del Rango en este módulo III. MÓDULO III.- RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz es el mayor número de líneas independientes que tiene la matriz. Para averiguar el rango de una matriz podemos usar cualquiera de los métodos siguientes: 1.- Método de Gauss: Este método lo usaremos para hacer ceros y convertir la matriz en una equivalente, de tal forma que, el número de líneas que tenga la matriz, distintas de cero, será el rango de la matriz 2.- A partir de sus menores (por determinantes): El rango de una matriz coincidirá con el orden del determinante mayor (el mayor menor) distinto de cero, que quepa en la matriz La condición necesaria y suficiente para que el determinante de una matriz cuadrada sea cero es que sus líneas sean linealmente independientes, esto es, que alguna de ellas se pueda poner como combinación lineal de las otras. Es decir: las filas de A son linealmente dependientes las filas de A son linealmente independientes Vamos a ver esto con un ejemplo: Sea la matriz: Si usamos el método de Gauss: F2 F1 : quedando , quedando , quedando Tenemos una fila de ceros y 3 filas distintas de cero, por lo que podemos decir que el rango de esta matriz es 3 y como consecuencia, tiene 3 filas linealmente independientes Vamos a repetir el estudio de rango, pero haciéndolo por determinantes: Vamos a empezar probando con un menor de orden 2×2 = -5, como sale un determinante, distinto de cero, podemos asegurar que el rango será 2 o superior Seguimos comprobando con uno de orden 3×3 = -35 0. Podemos asegurar que el rango de la matriz es 3 o superior = 0, porque la primera fila es la suma de la segunda y la cuarta. Así que el rango de la matriz nunca podrá ser 4, porque como hemos visto, el determinante de orden 4×4 se anula. Como el determinante de mayor orden distinto de cero que hemos obtenido ha sido el de 3×3. Ya sí podemos afirmar, que el rango de la matriz es 3 Ejemplos: 1.- Calcula el rango de Empezamos comprobando un menor de orden 2×2 : = 9-4 = 5 0; Con esto ya sabemos que el rango de A será 2 o superior Vamos con orden 3×3: = 0 (F1= F2 + F3) Comprobamos otro: = 0 (F1= F2 + F3) Como todos los menores de orden 3×3 son nulos el rango no podrá ser 3 y como no hay ninguna matriz cuadrada de orden 4×4, el rango tampoco podrá ser 4. Así que, ya podemos afirmar que el rango de A es 2 2.- Estudia el rango de en función del parámetro En primer lugar, vamos a ver qué valores de anulan el determinante de la matriz: = = -9 Independientemente del valor de , el rango de esta matriz será 3, puesto que no se anula nunca el determinante. 3.- Estudia el rango de en función del parámetro Como siempre, en primer lugar, estudiamos qué valores de anulan el determinante de A = = = 0; = 0; Si Rg A 3 Comprobamos un menor de orden 2×2: =15-25= -10 0 Rg A = 2 Solución: Si Rg A = 2 Si Rg A 3 Pr último, unos ejercicios para que juegues en la pestaña de materiales.

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Módulo II. Determinantes

Hola de nuevo! Módulo II y ya sabes un montón sobre matrices, ¿verdad? Vamos a ver ahora los determinantes; un módulo solo para ellos porque son muy importantes. MÓDULO II.- DETERMINANTES Un determinante es un número que asociamos a una matriz. Se representa por Det M o . La forma de calcularlos dependerá del orden que tenga la matriz. Si la matriz es de orden 2×2 se calculará multiplicando los elementos de la diagonal principal y restándole el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Ejemplo: Sea El determinante de A será: Det A = Si la matriz es de orden 3×3 se calculará aplicando la Regla de Sarrus (suma de la diagonal principal más sus paralelas y resta de la secundaria más sus paralelas) Ejemplo: Sea Si la matriz es de orden superior a 3×3, calcularemos su determinante por adjuntos, pero antes de ver este método necesitamos conocer un par de conceptos más: ¿Qué es el menor complementario? Mij, del elemento aij de la matriz A, es el determinante de la matriz de orden más pequeño que resulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A ¿Qué es un adjunto? El adjunto del elemento aij de la matriz A es Aij = Mij Una vez tenemos claros estos conceptos, podemos indicar que, si los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el determinante de esa matriz. En este caso, será útil, hacer los máximos ceros posibles dentro de una línea, para que el desarrollo del determinante sea lo más sencillo posible. Ejemplo: Sea Podríamos seleccionar la primera columna, por ejemplo, y desarrollar el determinante por los elementos de dicha columna, esto sería: = Este proceso es demasiado lento, por eso la mejor manera es hacer ceros en una línea para que los determinantes a calcular sean los mínimos posibles. Primero vamos a decidir con qué fila o columna queremos trabajar y hacemos ceros, dejando como pívot un elemento que, a ser posible, sea un 1 y después realizamos el determinante desarrollándolo por esa línea, puesto que, al haber hecho ceros, nos quedará solamente un determinante a calcular; el resto serán: 0 por el determinante, que terminarán dando 0. En este caso los cambios a realizar serán: F’2 = 2F1-F2 F’3 = F1+F3 F’4 = 3F1-F4 Como se puede comprobar, merece la pena hacer los ceros, los cálculos se reducen considerablemente. Para finalizar con esta parte de los determinantes, vamos a ver unas propiedades importantes, que nos ayudarán también a simplificar estos cálculos: 1.- El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. 2.- El determinante de la inversa de una matriz es igual a la inversa del determinante. 3.- Si una matriz cuadrada tiene una línea de ceros, su determinante es cero. 4.- Si en una matriz cambiamos de sitio dos líneas paralelas, el determinante cambia de signo. 5.- Si una matriz cuadrara tiene dos líneas paralelas iguales o proporcionales, su determinante es cero. 6.- Si multiplicamos todos los elementos de una línea por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número. 7.- Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás paralelas, el determinante no varía. 8.- Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, su determinante es cero Ojo.- Esto también nos indica que, cuando el determinante de una matriz es cero, va a tener una línea que es combinación lineal de las demás, o proporcional o igual. 9.- El determinante del producto de matrices es igual al producto de sus determinantes. Ejemplos: 1.- Si , calcula: a) *1 == *2 = = (-1) (-1) 7 = 7 *1, aquí se observa que la primera columna está cambiada con la segunda y por tanto, el determinante cambia de signo. *2, aquí se observa que la segunda columna está cambiada con la tercera y por tanto, el determinante vuelve a cambiar de signo. b) = *1 = 3 = *2 = 3 (-1) = *3 = 3 (-1) = 3 (-1)7 = -21 *1, aquí se observa que la primera fila está multiplicada por 3 segunda y por tanto, el determinante queda multiplicado por dicho número. *2 , aquí se observa que la tercera fila está multiplicada por -1 y por tanto, el determinante queda multiplicado por dicho número. *3 , aquí se observa que la segunda fila se ha obtenido de la siguiente manera: , y que la tercera fila se ha obtenido así: , es decir mediante combinaciones lineales y estas transformaciones no afectan al valor del determinante. c) = *1 = = *2 =2 = *3= *1 , aquí se observa que la primera fila está obtenida de la siguiente forma: F’1 = F1 +2F3. Esto es una combinación lineal que no altera el valor del determinante *2 y *3, aquí se observa que la tercera fila está multiplicada por dos y además es combinación lineal de otras, es decir: F’3 = 2F3 +F2 , por lo que el determinante queda multiplicado por dos también d) = *1 = (-1) = *2 = (-1) (-1) = *3 = (-1) (-1) 5 = *4 = (-1) (-1) 5 (-1) = *5 = (-1) (-1) 5 (-1) = (-1) (-1) 5 (-1) 7 = -35 *1 , aquí se observa que la segunda columna está cambiada (permuta) con la tercera, por lo que, el determinante cambia de signo (queda multiplicado por -1). *2 , aquí se observa que la primera columna está cambiada (permuta) con la segunda, por lo que, el determinante cambia de signo. *3, aquí se observa que la primera columna está multiplicada por 5, por lo que el determinante queda multiplicado por dicho valor. *4 , aquí se observa que la segunda columna está multiplicada por -1, por lo que el determinante queda multiplicado por dicho valor. *5 , C’3 = C2+C3, es decir

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Muestreo , Estimación y Contraste de Hipótesis

Hola, bienvenid@s a este curso. Un curso muy sencillito y ameno. Así que no me entretengo. Vamos a por él. MUESTREO Y ESTIMACIÓN TIPOS DE MUESTREO: Muestreo aleatorio simple: Vamos a numerar los N individuos de la población y por sorteo, seleccionamos los n individuos que compondrán la muestra Muestreo aleatorio sistemático: Numeramos los N individuos de la población. Elegimos por sorteo un individuo cualquiera y supongamos que el número asignado para ese . Hallamos k, el entero más próximo a N/n donde n es el tamaño de la muestra. Seleccionamos el individuo y los siguientes, de k en k a partir de , teniendo en cuenta que, al sobrepasar N, debemos empezar de nuevo. Muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional: La Población está formada por grupos o estratos diferenciados y queremos que todos los grupos estén representados proporcionalmente. Para ello, vamos a obtener de forma proporcional (con regla de tres) el tamaño de las submuestras correspondientes a cada estrato y después seleccionamos cada submuestra por muestreo aleatorio simple o sistemático De este tipo, vamos a ver un ejemplo, puesto que, suele caer mucho en los ejercicios de los exámenes. Tenemos una empresa con 1000 emplead@s, de los cuales 500 trabajan en el sector 1, 300 trabajan en el sector 2 y 200 lo hacen en el sector 3. Si queremos seleccionar una muestra representativa de 500 trabajadores por muestreo aleatorio con afijación proporcional: Si de 1000 emplead@s, 500 son del sector 1 De 500 emplead@s, seleccionaremos x del sector 1 x = = 250 emplead@s del sector 1 tomaríamos para la muestra Ahora lo mismo, para los otros sectores: Si de 1000 emplead@s, 300 trabajan en el sector 2 De 500 emplead@s, seleccionamos x del sector 2 x = = 150 emplead@s del sector 2 tomaríamos para la muestra Y la diferencia hasta 500, es decir 100 tomaríamos del sector 3 para la muestra. INTERVALO DE CONFIANZA: Llamamos así a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto o como su propio nombre indica, de confianza. Este intervalo de confianza podemos hacerlo para valores como la media, la proporción o una diferencia de medias. Su expresión será un error menos la media, proporción o diferencia de medias y el otro extremo lo definirá un error más la media, proporción o diferencia de medias. Vamos a ver cómo se calcula en cada caso: El error máximo para la media: E = , donde es un estimador (valor que sacamos de la tabla, en función del nivel de confianza con el que queramos hacer el intervalo) El nivel de confianza vendrá dado por un porcentaje, lo llamaremos y en la tabla buscamos el nivel de significancia s = 1 – es la desviación típica y n es el tamaño de la muestra En este caso, el intervalo de confianza será: I. C. = El error máximo para la proporción es: E = , donde p es la proporción. Y su intervalo de confianza será: I.C. = Y por último el error para la diferencia de medias será: E = y por tanto, su I.C. = Siendo la longitud del intervalo la diferencia entre un extremo y otro, es decir, extremo mayor menos extremo menor. longitud = (esto puede hacerse con cualquiera de los tipo de intervalo y siempre saldrá lo mismo, que la longitud de un intervalo, equivale al doble del error) En la pestaña de materiales, te dejo la tabla que usaremos para buscar el valor de en función del nivel de significancia, S. CONTRASTE DE HIPÓTESIS: Para decidir si una hipótesis se acepta o rechaza, nos basamos en los test de errores. En este caso vamos a considerar que aceptamos una hipótesis si el valor que nos da está dentro del intervalo de confianza que calcularemos. Se rechazará si está fuera de este intervalo. Si aceptamos un valor y éste es verdadero, o bien, rechazamos un valor y es falso, no estaremos cometiendo ningún error. Si aceptamos un valor, y este es falso, cometeremos un error que vamos a llamar de tipo I. Si rechazamos un valor y éste era verdadero, cometeremos un error que vamos a llamar de tipo II. Vamos a ver un ejemplo: En un determinado instituto aseguran que las notas obtenidas por sus alumnos en las pruebas de acceso a la Universidad tienen una media igual o superior a 7 puntos. Pero la media obtenida en una muestra aleatoria de 80 alumnos en los últimos exámenes fue de 6,89 puntos. Si sabemos que la varianza es igual a 4,84, ¿podemos considerar, con un nivel de significación del 1%, que la afirmación hecha por el instituto es cierta? Lo primero que se observa es que nos están hablando de medias, por lo que ya sabemos que vamos a hacer, tanto el error como el intervalo de confianza respecto a ella. Datos: = 89 = 4.84 , por tanto la desviación será: S = 1% = 0.01, buscamos en la tabla este valor y obtenemos que = 2.576 n = 80 Con todo esto vamos a calcular el error máximo para la media: E = = = 0.63 EL intervalo de confianza será: I. C. = = (6.89-0.63 , 6.89+0.6) = (6.26, 7.52) Como el valor dado en el enunciado como media era 7 y este valor está dentro de este intervalo de confianza, podríamos aceptar la hipótesis como correcta. Y ahora, ya sabes…a poner en práctica todo esto con los ejercicios que te he dejado en la pestaña de materiales

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Programación lineal

Hola! Bienvenid@ a este curso de programación lineal, en el que vamos a ver en qué consiste y cómo se resuelve, mediante un ejemplo. A por ello, que es sencillo, ya verás. PROGRAMACIÓN LINEAL: Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar una función lineal, denominada función objetivo , sujeta a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. Este tipo de problemas, vamos a resolverlos por el método gráfico, encontrando lo que vamos a denominar la región factible, que es la región del plano donde estará la solución buscada. Esta zona puede ser acotada o no y la solución del problema la obtendremos en la frontera de la región factible, así que sacaremos sus vértices y buscaremos cuál es el punto que optimiza la función estudiada. Para hacer correctamente un problema de programación lineal, seguiremos los siguientes pasos: Sacar las restricciones y la función objetivo del enunciado. Resolver el sistema de inecuaciones formado por las restricciones, por el método gráfico, para hallar la región factible. Obtener los vértices de la región factible. Calcular, de entre los puntos obtenidos y sustituyendo en la función objetivo, cuál de ellos toma el valor máximo o mínimo. Vamos a verlo mejor con un ejemplo: Un fabricante construye dos tipos de vehículos especiales: Macro y Micro. Un micro se monta en 6 h, mientras que un Macro necesita 10 h. Ambos tipos de vehículos necesitan además 3 h de acabado. En una semana, la nave de montaje funciona durante 300 h, mientras que la de acabados lo hace durante 120 h. Si la ganancia es de 1000 euros por vehículo Micro y de 1300 euros por cada vehículo Macro; ¿cuántas unidades de cada tipo es conveniente fabricar para obtener el máximo beneficio? Solución: 1.- Sacamos restricciones del enunciado (si quieres puedes organizar los datos en una tabla) Tipo vehículos Horas montaje Horas acabado Beneficios Macro 10 3 1300 € Micro 6 3 1000 € Disponibilidad 300 120 Ahora expresamos las inecuaciones, siendo x el número de vehículos del tipo Macro y siendo y, el número de vehículos del tipo Micro: Como estamos hablando de vehículos, no vamos a dar valores negativos de x ni de y, por lo que las soluciones estarán en el primer cuadrante, ya que serán siempre positivas ó 0. Esto lo expresamos poniendo las inecuaciones siguientes: La función objetivo 2.- Vamos ahora a resolver este sistema de inecuaciones por el método gráfico. Haremos una tabla de valores para las dos primeras (recomiendo dar los puntos de corte o ceros cruzados) Para x y 0 50 30 0 Para ver si la solución está por encima o por debajo de la recta, damos un valor aleatorio y comprobamos si verifica o no la inecuación del enunciado. Recomiendo dar el (0, 0) siempre y cuando la recta no pase por él. En este caso , si sustituyo el punto (0, 0) la verifica, puesto que , así que la recta mira hacia ese punto, la solución se encuentra por debajo de la recta. Para x y 0 40 40 0 Comprobamos si verifica o no la inecuación. En este caso , si sustituyo el punto (0, 0) la verifica, puesto que así que la recta mira hacia ese punto, la solución se encuentra por debajo de la recta también. Vamos a obtener ahora los vértices de esta región factible, que serían el O (0, 0), punto que no tiene interés puesto que representaría no fabricar nada y evidentemente, esto no reportaría beneficios. El punto A (0, 40), el punto B (30, 0) y el punto C, que corresponde con el corte de ambas rectas y que vamos a calcular resolviendo el sistema de ecuaciones que ambas forman, por el método que queramos y del que se obtiene C (15, 25) El siguiente paso es verificar, de estos puntos de la frontera, cuál es el que maximiza los beneficios. Para ello sustituimos los puntos en la función objetivo y decidimos. Para A (0, 40): € Para B (30, 0): € Para C (15, 25): € Aquí se observa perfectamente que el punto que da máximos beneficios es el C. Así que la solución al este ejercicio sería indicar que, para que la empresa obtenga máximos beneficios debería fabricar 14 vehículos del tipo Macro y 25 vehículos del tipo Micro, obteniendo así el máximo beneficio de 44500 euros. Qué te ha parecido, sencillo, verdad? Venga, pues te dejo unos cuantos ejercicios en la pestaña de materiales, para que compruebes por ti mism@ lo sencillo que es. A tope!

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