Matemáticas II

Hola, aquí te dejo otra ayudita para repasar las diferentes formas que tenemos de descomponer una fracción -DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES- Podemos hacerlo de forma sencilla siguiendo estos pasos: Factorizamos el denominador (tendremos tantas fracciones simples como factores tenga el denominador) Expresamos la fracción dada como suma de tantas como nos hayan salido y hacemos el mínimo común múltiplo para sumarlas Igualamos los numeradores para poder averiguar los valores de los parámetros A, B,… Este procedimiento es el mismo para todos los casos, pero vamos a ver los más habituales con unos ejemplos, para que nos sea más sencillo de explicar y de comprender Caso a) Raíces reales sencillas: (resolvemos esta ecuación y obtenemos dos resultados: x = 2 y x = -1) de ahí deducimos que  y por tanto, que:  7x+1 = A (x+1) + B (x-2) Usamos las raíces del polinomio para resolver A y B Para x = 2; 7 2 + 1 = A (2+1) + B (2 – 2) 15 = 3A ; A = 5 Para x = -1; 7 (-1) +1 = A (-1+1) + B (-1- 2) -6 = -3B ; B = 2 4) Solución: Caso b) Raíces múltiples:  (resolvemos esta ecuación y obtenemos dos resultados: x = 1 (doble)) de ahí deducimos que  y por tanto, que: 3x-2 = A (x-1) + B Usamos las raíces del polinomio para resolver A y B, como solo tenemos una raíz, la segunda podemos poner la que queramos o nos convenga Para x = 1; 3 1 – 2 = A (1-1) + B 1 = B ; B = 1 Para x = 0; 3 0 – 2  = A (0-1) + B -2 = -A + B ; -2 = -A + 1 ; A = 3 4) Solución: Caso c) Raíces complejas:  (resolvemos esta ecuación por Ruffini y obtenemos una única solución: x = 2)   De ahí deducimos que y por tanto, que: Usamos las raíces del polinomio para resolver A, B y C, como solo tenemos una raíz, las otras podemos poner las que queramos o nos convengan Para x = 2; 2  2 -1 = A (22+1) + (B   2 + C) (2 – 2) 5 = 5A ; A = 1 Para x = 0 2 0 -1 = A (02+1) + (B   0 + C) (0 – 2) 1 = 1A – 2C ; 1 = 1- 2C ; C = 0 Para x = 1 2 1 -1 = A (12+1) + (B 1 + C) (1 – 2) 3 = 2A – B – C ; 3 = 2 – B – 0 ; B = -1 Solución:  

Hola, aquí te dejo una ayudita para recordar como dividíamos polinomios, por allá por la prehistoria de 4º de la ESO – CÓMO DIVIDIR POLINOMIOS- Vamos a repasar la división de polinomios con un ejemplo:   dividimos el primer monomio del dividendo con el primer monomio del divisor, en este caso: Multiplicamos ese monomio que tenemos en el cociente, por todos los del divisor y vamos colocándolos debajo, de sus semejantes, cambiados de signo En el ejemplo sería Y sumamos ambos polinomios, obtendremos así otro polinomio que será el nuevo dividendo Repetimos el procedimiento hasta que el grado del dividendo sea menos que el grado del divisor y no podamos continuar con a división

Hola de nuevo. Vamos a ver el último módulo de las indefinidas, el de las integrales trigonométricas   -INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS- Para este tipo de integrales, vamos a necesitar recordar algunas identidades trigonométricas que usaremos como apoyo. Las más frecuentes serán:   = 1 sen (2x) = 2 sen x cos x cos (2x) = sen (-x) = – sen x cos (-x) = cos x sen (x+y) = sen x cos y + sen y cos x cos (x+y) = cos x cos y – sen x sen y sen (x-y) = sen x cos y – sen y   cos x cos (x-y) = cos x cos y + sen x  sen y El uso de estas identidades nos ayudará a simplificar la integral para poder resolverla de forma más sencilla.   Unos ejemplos en la pestaña de materiales y a jugar! Ahora es el turno de los ejercicios propuestos: a) b) c) d) e) f)

  Hola de nuevo, vamos a por el módulo IV y uno de los que más os gustan. Recuerda que tienes dos anexos disponibles para ayudarte con las operaciones que son necesarias para este método. Es el momento de verlos! -INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES- Este método lo vamos a reconocer fácilmente, puesto que se aplica cuando tenemos una fracción algebraica. Vamos a encontrarnos dos casos diferentes: Caso 1.- El grado de numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Para resolver este caso, vamos a realizar la división del numerador entre el denominador y reescribir la integral, de tal manera que resolveremos así: donde C(x) es el cociente y R(x) es el resto de la división de P (x) entre Q (x). (Si no recuerdas cómo se dividen dos polinomios, no te preocupes, ves al anexo I y ahí te lo explico detalladamente) Caso 2.- El grado de numerador es menor que el grado de denominador. Para resolver este tipo de integrales, vamos a descomponer la fracción que nos da en otras más simples, de tal forma que el cálculo será más sencillo. Dentro de este tipo, pueden ocurrir tres casos: Que salgan raíces reales sencillas que no se repiten Que salgan raíces reales sencillas que se repiten Que salgan raíces reales complejas (Si no recuerdas cómo se descompone una fracción en otras más sencillas, tampoco hay problema, ve al Anexo II que ahí lo tienes explicado con ejemplos) En este segundo caso, una vez tenemos las fracciones más sencillas podremos integrarlas de forma más fácil. Atentos, porque en este tipo de integrales, es bastante frecuente que nos salgan del tipo logaritmo, puesto que muchas veces iremos buscando obtener en el numerador, la derivada del denominador Para que os sirva como guía, os dejo un esquema lógico de qué hacer cuando nos encontremos ante una integral racional: (proceso extraído del libro de texto de Alfonso González López)   Por último, es el turno de los ejemplos comentados, que siempre las cosas se ven mejor con ejemplos, así que corriendo a la pestaña de materiales a verlos.      Tu turno…toca perderles el miedo y ponerse manos a la obra: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p)  

Hola de nuevo, comenzamos el módulo III y con él, uno de los métodos de integración más divertidos MÓDULO III -MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES- Este método se utiliza cuando dentro de la integral aparece un producto de dos funciones y no sean o no puedan transformarse una en la derivada de la otra Tendremos una integral del tipo:  o lo que es lo mismo: Para su resolución vamos a aplicar la siguiente fórmula: Suele ser útil para memorizarla la siguiente regla mnemotécnica: Un Día Vi Una Vaca menos (-) Salvaje Vestida De Uniforme Esta vaca está en los Alpes, palabra que se refiere a la segunda regla mnemotécnica que vamos a usar para memorizar qué función tiene prioridad a la hora de designarla como u A = funciones tipo arco L = funciones tipo logarítmicas P = funciones polinómicas (x en la base) E = funciones exponenciales (x en el exponente) S = funciones tipo seno, coseno…(trigonométricas) Para su resolución, vamos a usar los siguientes pasos: Identificar qué función vamos a llamar u, el resto del enunciado (incluido dx) será dv Sacar du a partir de u, que lo haremos derivando u Sacar v a partir de dv, que lo haremos integrando v Aplicamos la fórmula y repetimos el proceso, en caso de ser necesario Ahora, como ya os podéis imaginar, es el turno de los ejemplos resueltos comentados, así que consúltalos en la pestaña de materiales y después vuelve aquí para continuar.   Venga, ahora tú, seguro que estás deseando: a)    b)   c)   d)       e)     f)     g)     h)     i)      j)     k)   l)   m)   n)      

Bienvenidos al módulo II A partir de aquí empieza lo más divertido. En este módulo estudiaremos cómo y cuándo usar el método de integración por cambio de variable.  -MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE- Este método vamos a usarlo cuando tenemos alguna integral de la siguiente forma: ; donde lo lógico sería usar el cambio de variable t = g(x) Es decir, tendremos dos funciones multiplicando y una es, o puede ser transformada en la derivada de la otra. Es un método que, con el tiempo, y en muchas integrales, conseguirás obviar cuando aprendas a reconocerlas como inmediatas. Esto te será muy útil para “olvidarte” de este método y usarlo solamente cuando te especifiquen que resuelvas una integral usando un cambio en concreto. Los pasos a seguir para la resolución de este tipo de integrales son los siguientes: 1.- Escogemos el cambio apropiado t = g(x) 2.- Calculamos su diferencial (derivando ambos lados de la igualdad; dt = g ‘ (x) dx) 3.- Sustituimos ambas expresiones en la integral y simplificamos todo lo posible, por lo que una integral que dependía de x, ahora debe depender de t. Lo habrás hecho bien, si dentro de la integral solo quedan “t” 4.- Resolvemos la integral 5.- Deshacemos el cambio para que el resultado vuelva a depender de “x”   Ahora te voy a dejar algunos consejillos: Si dentro de la integral, tenemos una raíz de índice n, suele funcionar el cambio  = radicando Si aparece , suele ser buena idea el cambio t = Si aparece una exponencial; t = Si tenemos una función logarítmica; t = ln x Fácil, verdad? Pues vamos a ponerlo en práctica con unos ejemplos, que para que podáis ver mejor, os he dejado en la pestaña de materiales. Y ahora por último, y para finalizar el bloque por todo lo alto, te toca a tí.  Aquí te dejo unos ejercicios para practicar: a)     b)    c) d)   e)   f)     g)     h)      i)     j)    

Por último, os dejo unos ejercicios propuestos en las pruebas de acceso a la Universidad de Extremadura desde el año 2000 hasta el año 2020; así podréis haceros una idea de qué suelen preguntar en estos exámenes y seguís practicando. A por ellas! 1.- Calcular, integrando por partes, el valor de: 2.- Calcular el área limitada por la parábola , la circunferencia y el eje OX, que aparece rayada en la figura   3.- Determinar una función f(x) cuya segunda derivada sea 4.- Calcular, con el cambio de variable , el valor de: 5.- Determinar una constante positiva \”a\”, sabiendo que la figura plana limitada por la parábola , la recta y = 0 y la recta x= a tiene área 6.- Calcular el valor de: ( puede hacerse con el cambio de variable ) 7.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por la curva y su tangente en el punto de abscisa x = 1. Calcula su área 8.- Definir el concepto de primitiva de una función y explicar su relación con el concepto de integral definida 9.- Representar gráficamente la figura plana limitada por las parábolas e . Calcula su área 10.- Calcula el valor de la integral: 11.- Representa gráficamente el recinto plano limitado, en la región donde la coordenada x es positiva, por la recta x = 1, la hipérbola xy = 1,y la recta 6y-x+1= 0. Calcular su área 12.- Calcular una primitiva de la función , que se anule para x = 2 13.- Representar gráficamente el recinto limitado por la recta y =x-2 y la parábola de ecuación 14.- Calcular el valor de la integral , donde ln denota el logaritmo neperiano. Puede hacerse con el cambio de variable 15.- Calcular el valor de ( puede hacerse con el cambio de variable t = ) 16.- Representar gráficamente la figura plana limitada por la curva , su recta tangente en el punto de abscisa x = 0 y la recta x = 1. Calcular su área 17.- Representar gráficamente el recinto del plano limitado, en la región donde la abscisa x sea positiva, por la curva , por la recta y = 2x. Calcular su área 18.- Representar gráficamente la figura plana limitada en el primer cuadrante () limitada por la recta y = x y la curva . Calcula su área 19.- Calcular el valor de la integral ( Puede hacerse con ) 20.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por las curvas e , y por la recta x = 1. Calcular su área 21.- Calcular el valor de la integral , donde L denota el logaritmo neperiano (puede hacerse por partes) 22.- Calcular una primitiva de la función que se anule en x = 1 23.- Representar gráficamente el recinto plano limitado por la recta x – y = 1 y por la curva de ecuación Calcular su área 24.- Representar gráficamente la figura plana limitada por la curva , su recta tangente en el punto P (1,1) y el eje OY. Calcular su área 25.- Halla una primitiva de la función 26.- Enuncia la Regla de Barrow. Representa la gráfica de la función 27.- Representa la figura plana limitada por la gráfica de la función f (x) = cos x, en el intervalo , y por la recta y = ½ Calcula su área 28.- Representa gráficamente el recinto plano limitado por las parábolas  y = 1- x2 e y = 2×2 y calcula su área 29.- Calcula el valor de la integral 30.- Representa gráficamente la figura plana limitada por la curva , su recta tangente en el origen de coordenadas y la recta x = 2. Calcula su área 31.- a) Enuncia el Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral b) Calcula el punto al que se refiere dicho teorema para la función  en el intervalo [0, 3] 32.- a) Representa gráficamente el recinto plano limitado por la recta  y la parábola b) Calcula su área 33.- Calcula la función f (x) cuya gráfica pasa por el punto A (0, 1), es decir f (0) = 1, y que tiene como derivada la función 34.- a) Define el concepto de primitiva de una función b) Di, razonando la respuesta, si las funciones y  son primitivas de una misma función 35.- a) Exprese como una función definida a trozos y dibuje su gráfica de forma aproximada b) Calcule la integral definida: c) Calcule el área del recinto plano limitado por la gráfica de f (x), el eje OX, la recta x = -1 y la recta x=1 36.- a) Escriba la fórmula o regla de la integración por partes b) Aplíquela para calcular la integral indefinida 37.- Dada la parábola de ecuación ; sea r su recta tangente en x = -1 y sea s su recta tangente en x = 1 a) Calcule las ecuaciones de r y de s b) Represente, de forma aproximada, el recinto plano limitado por la parábola, la recta r y la recta s c) Calcule el área de dicho recinto 38.- a) Calcule la primitiva de la función racional b) Calcule la integral (puede utilizarse el cambio t = sen x) 39.- a) Represente, de forma aproximada, la recta x = 1 y las curvas , , y señale el recinto plano limitado por ellas b) Calcule el área de dicho recinto 40.- a) Diga cuándo una función F (x) es primitiva de otra función f (x) b) Calcule una primitiva F (x) de la función que cumpla que F (0) = 0 41.- a) Represente, de forma aproximada, la curva  y la recta tangente a dicha curva en el punto Q0 (-1, 4) b) Señale el recinto plano limitado por el eje OY y por la curva y la recta del apartado anterior, y calcule el área de dicho recinto 42.- Calcula el valor de la integral 43.- a) Represente, aproximadamente, el recinto plano limitado por la parábola y la parábola b) Calcule el área de dicho recinto 44.-

  Si aun no tienes el brazo como el de Popeye de tanta integral, es porque todavía tienes que hacer estos ejercicios finales. Venga, un último esfuerzo, que esto se está empezando a acabar pero todavía no se ha acabado del tó (Como diría Extremoduro) Un consejillo: cada uno tiene su ritmo, cada uno necesita hacer más o menos ejercicios, no os preocupéis. Todo es cuestión de trabajo y constancia. No os confiéis y no os frustréis. Es normal que solo haciendo estas integrales no seamos aún pros, pero estamos un paso más cerca EJERCICIOS FINALES:  1.- 2.- 3.- 4.- 5.- Calcula el área del recinto limitado por la curva  y el eje X en el intervalo [0, 2] 6.- 7.- 8.- 9.- 10.- Calcula el área del recinto plano limitado por las curvas e 11.-Halla una primitiva de , cuya gráfica pase por el punto (1, 3) 12.- 13.-  14.- Calcula el valor de k para que se cumpla que:                      15.- 16.- 17.- 18.- 19.-  (en el numerador suma y resta ) 20.-    (descomponla en suma de otras dos) 21.-    (usa el cambio ) 22.-    (haz  ) 23.- Halla una primitiva de , que pase por el punto (0, 2) 24.- 25.-  (usando ) 26.- 27.- 28.- Halla una primitiva de la función 29.- Calcula el área del recinto plano limitado por la curva  y = 3 (x+2) (x-4), las rectas x = -2; x = 3 y el eje de abscisas 30.- 31.- Encuentra una función f (x) de la que se sabe que su derivada es y que f (2) = 5 32.- Halla el área del recinto plano limitado por la curva y las rectas x = -1 y x = 1 33.- Halla el área del recinto plano limitado por las curvas ; y las rectas x = 0 y x = 1 34.- 35.- 36.- 37.- Calcular la primitiva de   que se anula en x = e 38.- 39.- Calcular los valores de a, b y c en el polinomio , de forma que P (1) = 4; P ‘(1) = 8 y P (2)+15 P(0) = 0. Representar la función y calcular el área comprendida entre la curva y el eje X 40.- Dada la función Calcular el área encerrada por la curva, el eje X y las rectas perpendiculares al eje X que pasan por el máximo y el mínimo de la función dada 41.-  Sea . Hallar, en función de a, el área limitada por la parábola y la recta y = ax 42.-

Hola, aquí te dejo otra ayudita para repasar las diferentes formas que tenemos de descomponer una fracción -DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES- Podemos hacerlo de forma sencilla siguiendo estos pasos: Factorizamos el denominador (tendremos tantas fracciones simples como factores tenga el denominador) Expresamos la fracción dada como suma de tantas como nos hayan salido y hacemos el mínimo común múltiplo para sumarlas Igualamos los numeradores para poder averiguar los valores de los parámetros A, B,… Este procedimiento es el mismo para todos los casos, pero vamos a ver los más habituales con unos ejemplos, para que nos sea más sencillo de explicar y de comprender Caso a) Raíces reales sencillas: (resolvemos esta ecuación y obtenemos dos resultados: x = 2 y x = -1) de ahí deducimos que  y por tanto, que:  7x+1 = A (x+1) + B (x-2) Usamos las raíces del polinomio para resolver A y B Para x = 2; 7 2 + 1 = A (2+1) + B (2 – 2) 15 = 3A ; A = 5 Para x = -1; 7 (-1) +1 = A (-1+1) + B (-1- 2) -6 = -3B ; B = 2 4) Solución: Caso b) Raíces múltiples:  (resolvemos esta ecuación y obtenemos dos resultados: x = 1 (doble)) de ahí deducimos que  y por tanto, que: 3x-2 = A (x-1) + B Usamos las raíces del polinomio para resolver A y B, como solo tenemos una raíz, la segunda podemos poner la que queramos o nos convenga Para x = 1; 3 1 – 2 = A (1-1) + B 1 = B ; B = 1 Para x = 0; 3 0 – 2  = A (0-1) + B -2 = -A + B ; -2 = -A + 1 ; A = 3 4) Solución: Caso c) Raíces complejas:  (resolvemos esta ecuación por Ruffini y obtenemos una única solución: x = 2)   De ahí deducimos que y por tanto, que: Usamos las raíces del polinomio para resolver A, B y C, como solo tenemos una raíz, las otras podemos poner las que queramos o nos convengan Para x = 2; 2  2 -1 = A (22+1) + (B   2 + C) (2 – 2) 5 = 5A ; A = 1 Para x = 0 2 0 -1 = A (02+1) + (B   0 + C) (0 – 2) 1 = 1A – 2C ; 1 = 1- 2C ; C = 0 Para x = 1 2 1 -1 = A (12+1) + (B 1 + C) (1 – 2) 3 = 2A – B – C ; 3 = 2 – B – 0 ; B = -1 Solución:  

Hola, aquí te dejo una ayudita para recordar como dividíamos polinomios, por allá por la prehistoria de 4º de la ESO – CÓMO DIVIDIR POLINOMIOS- Vamos a repasar la división de polinomios con un ejemplo:   dividimos el primer monomio del dividendo con el primer monomio del divisor, en este caso: Multiplicamos ese monomio que tenemos en el cociente, por todos los del divisor y vamos colocándolos debajo, de sus semejantes, cambiados de signo En el ejemplo sería Y sumamos ambos polinomios, obtendremos así otro polinomio que será el nuevo dividendo Repetimos el procedimiento hasta que el grado del dividendo sea menos que el grado del divisor y no podamos continuar con a división