Matemáticas II

  Bienvenidos al módulo final. En este módulo, vamos a aprender a realizar integrales definidas y además sus aplicaciones. De esta forma veremos de forma más clara para qué podemos usar el cálculo integral   – INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES- Definimos la integral definida de una función f (x) en el intervalo [a, b] como el área limitada por la función f(x), el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b Se representa como:    (con b a) y se lee: integral definida de f (x) entre a y b. Propiedades de las integrales definidas: = 0, sea cual sea la función f (x) = , es decir, si cambiamos los límites de integración, la integral definida cambia de signo = k . =   .Si c (a,b) ,entonces la integral definida entre a y b, puede descomponerse como la suma de la integral definida entre a y c y la integral definida entre c y b Si f es una función continua en [a, b], entonces existe un número c , tal que: . Esta propiedad es la que conocemos como el Teorema del Valor Medio del cálculo Integral Para calcular estas integrales definidas, usaremos la REGLA DE BARROW, que dice que:  la integral definida de una función f(x), continua en [a, b], es igual a la diferencia del valor que toma la primitiva en los límites de integración: Para calcular este tipo de integrales definidas, vamos a seguir los siguientes pasos: 1º) Calculamos la primitiva (F (x)), de f (x) 2º) Calculamos F (b) y F (a) y hacemos su diferencia 3º) Escribimos el resultado Estos pasos, con la práctica los haremos de forma más mecánica y no será necesario hacerlos de uno en uno por ejemplo: 1º) 2º) F (3) =   = 3 + K F (1) =   = -1 + K F (3) – F (1) = 3 + K – (-1 + K) = 4 3º)   = F (3) – F (1) = 4 Al realizar la diferencia de F (b) – F (a) desaparecen los valores constantes, por esto, en estas integrales definidas no necesitaremos sumar la constante. Estas integrales definidas, que representan como ya hemos dicho, el área encerrada por una función con el eje OX y las rectas x = a y x = b, podemos encontrarnos con varios casos: Si la función está por encima del eje X, tendremos un área positiva Si a función está por debajo del eje X, tendremos un área negativa y para dar el resultado, haremos su valor absoluto Ojo, la función puede tener una parte por encima y otra por debajo del eje, por eso, es importante una buena representación de la función, ya que de esto dependerá el resultado de la integral definida Este tipo de primitivas, también nos permitirá calcular el área encerrada entre dos curvas, o varias funciones, sean del tipo que sean. Para ello, representamos ambas funciones lo mejor que podamos y calcularemos el área mediante integración, puesto que el área comprendida entre dos curvas f y g, es igual al área comprendida entre la función diferencia, f-g y el eje OX (a la hora de realizar esta diferencia, siempre tenemos que restar la función que va por encima menos la que va por debajo). Pueden ocurrir los siguientes casos: Caso I: Que ambas curvas sean positivas y no se corten A = Caso II: Ambas curvas son de distinto signo y no se cortan A = A1 + A2 = Caso III: Ambas curvas se cortan A = A1 + A2 = Donde c, es el punto de corte de ambas funciones Lo más conveniente es representar ambas funciones y observar cómo es esa área, para no errar en su cálculo. Ahora es el momento de dejaros unos ejemplos de los ejercicios de estos temas (en la pestaña de materiales)   Y por último, os dejo los ejercicios de este módulo para practicar: a) Calcula la integral: b) Calcula el área que determina la curva y = y el eje X c) Halla el área limitada por las parábolas e . Representar el recinto cuya área se pide d) Considera la función , siendo . Calcula el valor de m para que el área del recinto plano limitado por la gráfica de f y la recta y = -mx, sea e) Representa y calcula el recinto limitado entre las curvas e f) Dada la función ; se pide representar gráficamente la función y determinar el área limitada por dicha curva y el eje de las abscisas de los puntos mínimo y máximo de la función g) Calcular el valor de k para que se cumpla: h) Calcular una primitiva de , cuya gráfica pase por el punto (1, 3) i) Dada la función , calcular el área encerrada por la curva, el eje X y las rectas perpendiculares al  eje X que pasan por el máximo y el mínimo de la función dada j) Encuentra una función de la que se sabe que su derivada es y que f (2) = 5 k) Calcular el área de la región del semiplano limitada por la curva , su tangente en x= 1 y la recta x = 3 l) Hallar el área del rento plano limitado por y = 1 e m) Determinar f(x), sabiendo que f”’ (x) = 24x; f(0) = 0; f ‘(0) = 1 y f” (0) = 2

Hola de nuevo. Vamos a ver el último módulo de las indefinidas, el de las integrales trigonométricas   -INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS- Para este tipo de integrales, vamos a necesitar recordar algunas identidades trigonométricas que usaremos como apoyo. Las más frecuentes serán:   = 1 sen (2x) = 2 sen x cos x cos (2x) = sen (-x) = – sen x cos (-x) = cos x sen (x+y) = sen x cos y + sen y cos x cos (x+y) = cos x cos y – sen x sen y sen (x-y) = sen x cos y – sen y   cos x cos (x-y) = cos x cos y + sen x  sen y El uso de estas identidades nos ayudará a simplificar la integral para poder resolverla de forma más sencilla.   Unos ejemplos en la pestaña de materiales y a jugar! Ahora es el turno de los ejercicios propuestos: a) b) c) d) e) f)

  Hola de nuevo, vamos a por el módulo IV y uno de los que más os gustan. Recuerda que tienes dos anexos disponibles para ayudarte con las operaciones que son necesarias para este método. Es el momento de verlos! -INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES- Este método lo vamos a reconocer fácilmente, puesto que se aplica cuando tenemos una fracción algebraica. Vamos a encontrarnos dos casos diferentes: Caso 1.- El grado de numerador es mayor o igual que el grado del denominador. Para resolver este caso, vamos a realizar la división del numerador entre el denominador y reescribir la integral, de tal manera que resolveremos así: donde C(x) es el cociente y R(x) es el resto de la división de P (x) entre Q (x). (Si no recuerdas cómo se dividen dos polinomios, no te preocupes, ves al anexo I y ahí te lo explico detalladamente) Caso 2.- El grado de numerador es menor que el grado de denominador. Para resolver este tipo de integrales, vamos a descomponer la fracción que nos da en otras más simples, de tal forma que el cálculo será más sencillo. Dentro de este tipo, pueden ocurrir tres casos: Que salgan raíces reales sencillas que no se repiten Que salgan raíces reales sencillas que se repiten Que salgan raíces reales complejas (Si no recuerdas cómo se descompone una fracción en otras más sencillas, tampoco hay problema, ve al Anexo II que ahí lo tienes explicado con ejemplos) En este segundo caso, una vez tenemos las fracciones más sencillas podremos integrarlas de forma más fácil. Atentos, porque en este tipo de integrales, es bastante frecuente que nos salgan del tipo logaritmo, puesto que muchas veces iremos buscando obtener en el numerador, la derivada del denominador Para que os sirva como guía, os dejo un esquema lógico de qué hacer cuando nos encontremos ante una integral racional: (proceso extraído del libro de texto de Alfonso González López)   Por último, es el turno de los ejemplos comentados, que siempre las cosas se ven mejor con ejemplos, así que corriendo a la pestaña de materiales a verlos.      Tu turno…toca perderles el miedo y ponerse manos a la obra: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p)  

Hola de nuevo, comenzamos el módulo III y con él, uno de los métodos de integración más divertidos MÓDULO III -MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES- Este método se utiliza cuando dentro de la integral aparece un producto de dos funciones y no sean o no puedan transformarse una en la derivada de la otra Tendremos una integral del tipo:  o lo que es lo mismo: Para su resolución vamos a aplicar la siguiente fórmula: Suele ser útil para memorizarla la siguiente regla mnemotécnica: Un Día Vi Una Vaca menos (-) Salvaje Vestida De Uniforme Esta vaca está en los Alpes, palabra que se refiere a la segunda regla mnemotécnica que vamos a usar para memorizar qué función tiene prioridad a la hora de designarla como u A = funciones tipo arco L = funciones tipo logarítmicas P = funciones polinómicas (x en la base) E = funciones exponenciales (x en el exponente) S = funciones tipo seno, coseno…(trigonométricas) Para su resolución, vamos a usar los siguientes pasos: Identificar qué función vamos a llamar u, el resto del enunciado (incluido dx) será dv Sacar du a partir de u, que lo haremos derivando u Sacar v a partir de dv, que lo haremos integrando v Aplicamos la fórmula y repetimos el proceso, en caso de ser necesario Ahora, como ya os podéis imaginar, es el turno de los ejemplos resueltos comentados, así que consúltalos en la pestaña de materiales y después vuelve aquí para continuar.   Venga, ahora tú, seguro que estás deseando: a)    b)   c)   d)       e)     f)     g)     h)     i)      j)     k)   l)   m)   n)      

Bienvenidos al módulo II A partir de aquí empieza lo más divertido. En este módulo estudiaremos cómo y cuándo usar el método de integración por cambio de variable.  -MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE- Este método vamos a usarlo cuando tenemos alguna integral de la siguiente forma: ; donde lo lógico sería usar el cambio de variable t = g(x) Es decir, tendremos dos funciones multiplicando y una es, o puede ser transformada en la derivada de la otra. Es un método que, con el tiempo, y en muchas integrales, conseguirás obviar cuando aprendas a reconocerlas como inmediatas. Esto te será muy útil para “olvidarte” de este método y usarlo solamente cuando te especifiquen que resuelvas una integral usando un cambio en concreto. Los pasos a seguir para la resolución de este tipo de integrales son los siguientes: 1.- Escogemos el cambio apropiado t = g(x) 2.- Calculamos su diferencial (derivando ambos lados de la igualdad; dt = g ‘ (x) dx) 3.- Sustituimos ambas expresiones en la integral y simplificamos todo lo posible, por lo que una integral que dependía de x, ahora debe depender de t. Lo habrás hecho bien, si dentro de la integral solo quedan “t” 4.- Resolvemos la integral 5.- Deshacemos el cambio para que el resultado vuelva a depender de “x”   Ahora te voy a dejar algunos consejillos: Si dentro de la integral, tenemos una raíz de índice n, suele funcionar el cambio  = radicando Si aparece , suele ser buena idea el cambio t = Si aparece una exponencial; t = Si tenemos una función logarítmica; t = ln x Fácil, verdad? Pues vamos a ponerlo en práctica con unos ejemplos, que para que podáis ver mejor, os he dejado en la pestaña de materiales. Y ahora por último, y para finalizar el bloque por todo lo alto, te toca a tí.  Aquí te dejo unos ejercicios para practicar: a)     b)    c) d)   e)   f)     g)     h)      i)     j)    

Bienvenid@s al módulo I Aquí vamos a aprender un poquito sobre las integrales inmediatas. Si me sigues con atención, en un ratito serás capaz de jugar y divertirte con ellas. -CÁLCULO DE INTEGRALES INMEDIATAS- El primer tipo de integral que debemos conocer es la integral de una potencia, puesto que, es la que más se utiliza Esta sería del tipo: = De esta forma, tendríamos que:   = = Para este tipo de integración y para las que vienen a continuación, es importante conocer dos propiedades de las integrales, que también se van a usar con mucha frecuencia: = Esto significa que todo valor constante que esté multiplicando a una función puede “salir” de la integral “sin pena ni gloria”   = Es decir, la integral de una suma (o diferencia) es igual a la suma (o diferencia) de sus integrales. Se hace necesario, para proseguir, una tabla con integrales inmediatas que debéis conocer   Con todo esto,  ya estaréis preparad@s para resolver un montón de integrales.  Pero antes de dejaros sol@s a la aventura, os voy a dejar unos ejemplos comentados, en la pestaña de materiales, para orientaros un poquito, os parece? Y ya, por último, os propongo  una serie de ejercicios para que empecéis a jugar y a perder un poquito el miedo (puedes verlos aquí o si lo prefieres, descargar el archivo, lo que te sea más cómodo)   EJERCICIOS PROPUESTOS FIN MÓDULO I   a)     b)     c)   d)     e)     f)     g)     h)     i)     j)      k)     l)     m)     n)     o)     p)     q)     r)     s)     t)     u)   v)     w)     x)     y)     z)     aa)   bb)    

Hola! Arrancamos con este módulo I, que es una pequeña introducción, y que contiene algunas cosas interesantes que necesitamos saber antes de lanzarnos a integrar INTEGRALES INDEFINIDAS -INTRODUCCIÓN- En el cálculo de primitivas o integración lo más importante es la práctica para adquirir destreza. También implica dominar muy bien el cálculo de derivadas, hasta tal punto de reconocer a simple vista una función derivada de otra. DEFINICIÓN: F (x) es una primitiva de f(x), si F ’ (x) = f (x). Esto se expresa de la siguiente forma: Otra cosa a tener en cuenta, es que cada función tiene infinitas primitivas, pues si F (x) es primitiva de f (x) (es decir, si F ‘ (x) = f(x)), entonces F (x) + K también lo es, pues D [F (x) + k ] = F ‘ (x) = f (x) A la expresión  se le llama integral indefinida o simplemente, integral de f (x). Por eso, al cálculo de primitivas se le suele llamar cálculo de integrales o integración. Por ejemplo: = , porque  = 2x . Nota: El dx (diferencial de x), indica cuál es la variable de la función que estemos integrando. Así que, es importante no olvidarnos nunca de ponerlo, puesto que de eso también dependerá el resultado de la integral.