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Matemáticas II

Módulo I.- Probabilidad

Hola, bienvenid@s al módulo I. En este módulo vamos a conocer un poco más el tema de probabilidad. Aquí ya no nos vale la excusa de… ¿cuándo voy a usar yo esto? Esto lo usamos tanto, que ni cuenta nos damos cuando lo hacemos. ¡Sigue leyendo, ya verás!   MÓDULO I.- PROBABILIDAD   Vamos a empezar el módulo viendo un poco de lenguaje, que nos vendrá bien manejar, para poder expresarnos mejor en la resolución de los ejercicios. Existen dos tipos de experimentos, los deterministas, que son aquellos en los que podemos predecir el resultado y los aleatorios, que son los que no podemos saber qué resultado vamos a obtener de antemano. En este módulo nos dedicaremos a estudiar los sucesos aleatorios. Cada suceso de este tipo, tendrá su espacio muestral, que es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Lo denotaremos con la letra E y se expresa entre llaves Algunos sucesos con los que vamos a trabajar serán: Sucesos elementales, que corresponde a cada uno de los sucesos que componen el espacio muestral. Sucesos compuestos: el que está formado por más de un suceso elemental. Suceso seguro: será el que siempre se cumple, con un 100% de probabilidad, sucederá. Suceso imposible: es el contrario del anterior, el que nunca se cumple. Tiene un 0% de probabilidad de suceder. Suceso contrario de un suceso A, es el que se verifica cuando no se verifica el A. También lo encontrareis como suceso complementario de A. Sucesos incompatibles, son los que si, al verificarse uno, no puede verificarse el otro. Es decir, si: A B = 0 (conjunto vacío). En caso contrario, diremos que los sucesos son compatibles. Sucesos independientes: son aquellos en los que el resultado de cada uno de ellos, no depende del otro. En caso que sí dependan, serán sucesos dependientes.   OPERACIONES CON SUCESOS: Unión de sucesos: A B, ocurre cuando se cumple A o cuando se cumple B y se forma con la unión de los sucesos elementales de A y los de B. o = Intersección de sucesos: A B, ocurre cuando se realiza A y B a la vez y se forma con los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. y =   PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS: Conmutativa: A B = B A (también se cumple con la unión) Asociativa: A (B C) = (A B) C (también se cumple con la unión) Distributiva: A (B C) = (A B) (A C) LEYES DE MORGAN:   PROBABILIDAD: La probabilidad de que algo suceda se define, según la regla de LaPlace como: Va a estar comprendida siempre entre el 0 (suceso imposible) y el 1 (suceso seguro).   PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD: Si dos sucesos son incompatibles: P (A B) = P (A) + P (B) Si dos sucesos son compatibles: P (A B) = P (A) + P (B) – P(A B) La probabilidad de un suceso contrario es: P () = 1 – P(A) Si dos sucesos son independientes: P(A B) = P (A)    P (B) P(A ) = P (A) – P(A B). Con esta conseguimos calcular la probabilidad de que ocurra solo el suceso A, puesto que es la intersección de A con el contrario de B, es decir, que ocurra A y no ocurra B. (También podemos usarla al revés:  P( B) = P (B) – P (A B).   LEYES DE MORGAN: P ( ) = P ( ) = 1 – P (A  B) P ( ) = P ( ) = 1 – P (A B)   PROBABILIDAD CONDICIONADA: Para el cálculo de propiedades condicionadas, aquellas en las que sucede algo, habiendo sucedido otra cosa antes, vamos a utilizar el Teorema de Bayes: El “sabiendo”, lo que ha sucedido primero, es lo que va en el denominador siempre. Recordad que lo llamamos probabilidad condicionada cuando los datos están en el mismo orden que los tenemos colocados en el diagrama de árbol y Teorema de Bayes, cuando están al revés.   Por lo que llevamos visto hasta ahora podrás ver que se hace necesaria la representación u organización de los datos en este tipo de diagrama, que llamamos árboles de probabilidad. Vamos a aprender con algún ejemplo, como hacerlo y como, a partir de él, calculamos las diferentes probabilidades   Ejemplo:  En una universidad el 70% de los alumn@s que acuden a la EBAU proceden de centros públicos y el resto de centros privados. De los alumn@s de centros públicos, el 25% obtienen una nota superior a 7 puntos. De los alumn@s de centros privados, el 28% obtiene una nota superior a 7 puntos. Se elige un@ alumn@ al azar y se pide: a) Probabilidad de que tenga una nota menor o igual a 7 puntos b) Sabiendo que viene de un centro público, cuál es la probabilidad de que tenga una nota superior a 7 puntos c) Sabiendo que la nota es superior a 7 puntos, cuál es la probabilidad de que el alumn@ proceda de un centro público? d) ¿Son incompatibles los sucesos: “alumn@ de centro publico” y “alumn@ con una nota menor o igual que 7 puntos”? Primero vamos a definir los sucesos y sus probabilidades: Sea el suceso O ser alumn@ de un centro público, cuya probabilidad es, según se indica en el enunciado, del 70%. P (O) = 0.70 Sea el suceso A ser alumn@ de un centro privado, cuya probabilidad es, según indica el enunciado el resto. Así que será el 100% – 70% = 30%. P (A) = 0.30 Sea el suceso S, obtener una nota superior a 7, cuya probabilidad, según el enunciado es del 25 % para l@ alumn@s de centros públicos y del 28 % para l@s de centros privados: P (S/O) = 0.25 y P (S/A) = 0.28 (observa, estas serían probabilidades condicionadas) Consideraremos , el suceso contrario al anterior, es decir sacar una nota menor o igual a 7 puntos, cuyas probabilidades calculamos por diferencia al 1

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Módulo I.- Estudio y representación de una función

Hola! Bienvenid@ a este primer módulo sobre estudio y representación de funciones. En este caso vamos a ver, paso por paso, cuáles son los puntos más importantes a estudiar a la hora de representar una función. En los siguientes módulos os dejaré un ejemplo de los tipos de funciones más frecuentes, para que veas como aplicar este estudio a cada caso. Así que sin más, arrancamos! MÓDULO I.- ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN   1.- Primero estudiaremos el  DOMINIO de la función (los valores de x para los que ésta está definida), pudiendo destacar los siguientes casos:   –  Función polinómica (tipo ): dominio o lo que es lo mismo de   –  Función racional (fracción algebraica) (tipo f ):  dominio excepto los valores que anulan el denominador Condición: d(x) 0   – Función irracionales – raíz de índice par (tipo ):  el radicando (lo de dentro de la raíz) debe ser mayor o igual que cero Condición: radicando (i(x))  0   – Función raíz de índice impar (tipo   ): el dominio depende del radicando (de i(x))   – Función exponencial (tipo )   :  el dominio depende de la función que tenga el exponente (e(x))   – Función logarítmica (tipo ) : el argumento (lo de dentro del logaritmo (a(x))) debe ser mayor que cero Condición: a(x)  0   – Función trigonométrica (tipo ) = : el dominio dependerá de a(x)   – Función definida a trozos:  el dominio dependerá de los tramos que intervengan en la función. Se calcula el dominio de cada uno de los tramos, según el tipo de función que sea, y después se resumen para el dominio general de la función   – Función valor absoluto:  Hay que desdoblarla primero como una función definida a trozos y después calcular su dominio     2.- PUNTOS DE CORTE de la función con los ejes de coordenadas   – el punto de corte con el eje OX lo obtenemos sustituyendo la y por 0, es decir, igualando la función a 0   – el punto de corte con el eje OY lo obtenemos sustituyendo la x por 0   En caso de no encontrar ningún punto de corte (porque al resolver la ecuación nos salga una raíz negativa, por ejemplo) podemos recurrir al uso del teorema de Bolzano, donde podemos indicar si existe algún intervalo donde la función corte al eje x   El teorema de BOLZANO dice que: “ si f (x) es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f (a) f (b) , o lo que es lo mismo, f (a)   f(b)  0, entonces, existe un valor de c (a, b), tal que la función se anula, es decir:  f(c) = 0”     3.- SIMETRÍA de la función. Podemos encontrar los siguientes casos:   –Par, en este caso la función es simétrica respecto del eje OY y se dará siempre y cuando f(x) = f(-x)   – Impar, en este caso la función es simétrica respecto del origen de coordenadas, y se dará siempre y cuando f (-x) = -f(x)     4.- En algunas funciones será necesario también comprobar su CONTINUIDAD en algún punto en el que no sepamos qué ocurre (suele hacerse para funciones definidas a trozos, en el punto donde cambia el tramo) Y para que una función sea continua en un punto debe cumplirse que: f (xo) (exista la función en el punto) , para lo que es necesario que , es decir, deben coincidir los límites laterales f (xo) = Si esto no se cumple, tendremos que indicar el tipo de discontinuidad que presente la función en ese punto. Estos tipos podrán ser: Discontinuidad evitable, si ocurre que no existe la función en el punto, o el límite no coincide con el valor de la función en ese punto Discontinuidad de salto finito, si no coinciden los límites laterales, pero los valores son numéricos Discontinuidad de salto infinito, si no coinciden los límites laterales, pero los valores son infinito También podríamos necesitar, para algunos ejercicios comprobar la derivabilidad de una función en un punto Para que esto ocurra, es decir para que una función sea derivable en un punto xo , tiene que cumplirse que: f(x) sea continua en xo , es decir, deben coincidir las derivadas laterales.   5.- Estudio de las ASÍNTOTAS y RAMAS PARABÓLICAS de la función, que podrán ser:   – Asíntotas verticales: existen en los puntos que anulen el denominador de la función y existirán siempre y cuando el límite cuando x tiende a este punto de la función resulte infinito   Condición: La función presenta una asíntota vertical en x = k   Si hacemos los límites laterales, obtendremos además la posición de la curva respecto de la asíntota, de tal forma que, si el resultado es , la función subirá y si es , la función bajará   – Asíntotas horizontales: existen siempre y cuando el grado del denominador sea mayor o igual que el del numerador   Condición: La función presenta una asíntota horizontal en y = K   Para saber la posición de la curva respecto de la asíntota, haremos una tabla de valores, sustituyendo valores muy grandes (por ejemplo x= 1000 y x = -1000) tanto en la función como en la asíntota y así apreciaremos quién está por encima y quién por debajo   -Asíntotas oblicuas: existen siempre y cuando el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador. No puede darse el caso de que una función presente una asíntota horizontal y una oblicua, puede tener una, otra o ninguna de las dos. La asíntota será del tipo y = mx + n y calcularemos la m y la n haciendo lo siguiente: (esto se hace para igualar el grado del numerador y del denominador y poder obtener un valor numérico)   (con esto también conseguimos que el resultado de este límite sea un valor numérico)   También podríamos obtener la asíntota oblicua dividiendo

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Módulo IV.- Problemas métricos

Hola, bienvenid@s al módulo IV. En este módulo vamos a aprender a calcular ángulos y distancias entre los elementos del plano. Si ya has llegado hasta aquí, relax, lo peor ya ha pasado.   MÓDULO IV.- PROBLEMAS MÉTRICOS DISTANCIAS Y ÁNGULOS: Voy a dejaros aquí unas tablas, a modo de resumen de cómo calcular las diferentes distancias y ángulos que nos podemos encontrar: Distancia entre dos puntos Distancia de un punto a una recta Q es un punto de la recta r Distancia de un punto a un plano Distancia entre dos planos paralelos P es un punto del plano Distancia de una recta a un plano P es un punto de la recta r Distancia entre dos rectas paralelas D (r, s) = d (P, s) P es un punto de la recta r Distancia entre dos rectas que se cruzan d (r, s) =    P es un punto de la recta r y Q uno de s   Ángulo entre dos rectas que se cortan Ángulo entre dos rectas que se cruzan Ángulo entre dos planos que se cortan *Ojito!!si hacemos el ángulo entre el director de una recta y el normal de un plano (mediante el producto escalar), sacamos el ángulo que forma con la vertical, no con la horizontal, para dar este, tendríamos que hacer 90 grados menos el ángulo obtenido.   PUNTO MEDIO: Para calcularlo aplicaremos la fórmula: Recuerda que hay que operar por coordenadas.   PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO A OTRO PUNTO: Misma fórmula que la de punto medio, donde el punto B sería el punto simétrico de A respecto a M.   PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO A UNA RECTA: Para calcularlo sigue los siguientes pasos: Calcula el plano perpendicular a la recta que pase por P Calcula el punto de corte del plano y la recta, punto M Aplicamos PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO A UN PLANO Para calcularlo sigue los siguientes pasos: Calcula el punto de corte del plano y la recta, punto M Aplicamos    Venga, pues unos ejercicios de este módulo y ya estaría ( como siempre, están en la pestaña de materiales)

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Módulo III.- Planos en el espacio

Hola, bienvenid@s al módulo III. En este módulo vamos a aprender todo lo necesario para poder trabajar con los planos en el espacio, incluido el estudio de sus posiciones relativas.   MÓDULO III.- PLANOS EN EL ESPACIO Los planos van a venir definidos siempre por un punto por el que pasan, P y por sus dos vectores directores o por un punto y su vector normal. Recuerda que normal es lo mismo que perpendicular u ortogonal. Las diferentes ecuaciones del plano serán: Ecuación VECTORIAL: Ecuaciones PARAMÉTRICAS: Ecuación IMPLÍCTA o GENERAL: Para esta no usaremos los vectores directores, sino el vector normal del plano: quedando el plano: Para llegar a esta ecuación, también podemos usar el punto y los dos vectores directores, simplemente resolviendo el siguiente determinante:   Ahora veremos en qué formas nos pueden pedir la ecuación de un plano y cómo resolverlo con algunos ejemplos:   a) Ecuación del plano definido por tres puntos: En este caso, usaremos uno de los puntos dados y calcularemos dos vectores, que serán los directores. Por ejemplo: dados los puntos A (1, 7, -2); B (4, 5, 0) y C (6, 3, 8) Pasos: Calculo los vectores y = (3, -2, 2) = (5, -4, 10) Usaré para el cálculo el punto A, que es el común de ambos vectores Colocamos en la forma deseada, en este caso, voy a usar siempre la implícita, por ser la más común de todas las ecuaciones del plano. ; , podríamos simplificar dividiendo todo entre 2 y queda el plano:   b) Ecuación del plano que contiene a dos rectas que se cortan:  En este caso, usaremos un punto de cualquiera de las dos rectas y sus dos vectores directores Por ejemplo; Calcula la ecuación del plano que contiene a las rectas          y Voy a usar el punto P (1, 5, -2) de la recta r, por ejemplo. El vector  = (2, -1, 3) y el = (1, 2, -6) ;   , podríamos simplificar dividiendo todo entre 5 y queda el plano:   c) Ecuación del plano que contiene a una recta y a un punto:  En este caso, usaremos el punto dado, el vector director de la recta que nos dan y el segundo vector lo calcularemos sacando un punto de la recta y haciendo el vector que une ambos puntos. Por ejemplo: Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta   y al punto A (1, -2, 4) Como hemos dicho, vamos a sacar un punto P de la recta r, que sería el P (1, 5, -2) y haremos el vector = (0, 7, -6) ;     d) Ecuación del plano que contiene a una recta y es perpendicular a un plano: En este caso, usaremos el vector de la recta cualquier punto de la recta r, puesto que, si la recta está contenida en el plano, todos sus puntos lo estarán también y como los planos son perpendiculares, el vector normal del plano dado, servirá como vector director del plano que piden Por ejemplo: Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta  y es perpendicular al plano = (2, -1, 3) P r = (1, 5, -2) = (1, 2, 3) ;     e) Ecuación del plano que contiene a dos rectas paralelas: En este caso, vamos a usar un director y un punto de una de las dos rectas, de la otra recta no podemos sacar el vector director, ya que, al ser paralelas, no nos serviría. Para obtener el vector, lo que haremos será sacar otro punto de la otra recta y hacer el vector que une ambos puntos. Por ejemplo: Obtener el plano que contiene a las rectas y =  = (2, -1, 3) P r = (1, 5, -2) Q s = (1, 2, 3) = (0, 3, 5)   ;   , simplifico todo por 2 y queda:   f) Ecuación del plano que contiene a un punto y es perpendicular a una recta: En este caso, el vector director de la recta, al ser perpendicular al plano, vamos a poder usarlo como el vector normal del plano. Por ejemplo: Calcula el plano que contiene al punto A (1, 2, 3) y es perpendicular a la recta =  = (2, -1, 3)     , sustituyendo las coordenadas del punto en x, y y z del plano, obtendremos el valor de d ;  d = -9;    g) Ecuación del plano que pasa por un punto y es paralelo a otro plano: En este caso, al ser los planos paralelos, sus vectores normales también lo son y por tanto, el proceso de obtención será igual que el anterior Por ejemplo: Calcula el plano que pasa por el punto A (1, 0, -2) y es paralelo al plano  El plano buscado será de la forma: E igual que en el ejemplo anterior, calculamos el valor de d ;  d = -8;      h) Ecuación del plano que pasa por un punto, es paralelo a una recta que es perpendicular a otra. En este caso, para obtener el vector director de la recta, bastará con hacer el producto vectorial de los vectores directores de las rectas y con ello obtener el normal del plano. Después se procede como en los dos casos anteriores para obtener el plano. O realizar el determinante, como hemos visto también en los ejemplos anteriores con el punto y los dos vectores. Por ejemplo: Calcula el plano que pasa por el punto A (1, 2, 3) y es paralelo a la recta y   perpendicular a = (1, 3, 1) = (-3, 3, 0) ; ;     POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO: Para estudiar la posición relativa de los planos vamos a trabajar siempre con las ecuaciones generales de los planos, de tal forma que podamos comparar los coeficientes de ambos o componer dos matrices y hacer un estudio de rangos, siendo M =    y M* = De tal forma que

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Módulo II.- Puntos y Rectas en el espacio

Hola, bienvenid@s al módulo II. En este módulo vas a aprender cómo son los puntos y las rectas en el espacio y sus posiciones relativas. De esta forma, al final del módulo, podrás  trabajar de forma muy sencilla, con estos elementos.   MÓDULO II.- PUNTOS Y RECTAS EN EL ESPACIO   II.a.- PUNTOS. – Los puntos los expresaremos siempre con sus tres coordenadas.   II.b.- RECTAS. – Las rectas van a venir definidas siempre por un punto por el que pasan, P, y por su vector director, Las diferentes ecuaciones de la recta que te vas a encontrar son: Ecuación VECTORIAL: Ecuaciones PARAMÉTRICAS: Ecuación CONTINUA: Ecuación IMPLÍCTA o GENERAL: En este caso la recta queda definida como corte de dos planos, puesto que cada una de las ecuaciones que aquí aparecen representa un plano.   Ahora vamos a ver en qué formas nos pueden pedir que calculemos la ecuación de una recta y cómo resolverlo con algunos ejemplos: a)  Recta que pasa por dos puntos: Calcula la recta r que pasa por los puntos A (1, -2, 4) y B (0, 1, -1) Como he mencionado anteriormente, vamos a necesitar un punto, podemos usar cualquiera de los que nos dan, y un vector director. Pasos: Calcular el vector director, siendo éste el que une ambos puntos Decidimos qué punto usar Colocamos los datos en la ecuación que queramos o nos pidan Vector = B – A = (0, 1, -1) – (1, -2, 4) = (-1, 3, -5) Punto B = (0, 1, -1) Ecuación vectorial de la recta r: (x, y, z) = (0, 1, -1)+ t (-1, 3, -5) Ecuaciones paramétricas: = Ecuación continua: = Para obtener la ecuación implícita o general, es decir como corte de dos planos, multiplicamos de dos en dos, en cruz, las fracciones de la continua:  ; 3x = (-1) (y-1) ; 3x = -y+1; 3x+y-1= 0   ; (-5) (y-1) = 3 (z+1); -5y+5 = 3z +3; -5y -3z +2 = 0 quedando la ecuación general de la siguiente manera:   b)  Recta paralela a otra que pasa por un punto: Calcula la recta s, paralela a , y que pasa por el punto               A (0, -1, 2) Pasos: Obtener el vector director de s, al ser paralela a r, vamos a usar el mismo vector director de r. Colocamos los datos en la ecuación que queramos o nos pidan En este caso el vector director de r, es el factor que está multiplicando al parámetro t, es decir =  (-1, 3, -5) Ecuación vectorial de la recta r: (x, y, z) = (0, -1, 2)+ t (-1, 3, -5) Ecuaciones paramétricas: = Ecuación continua:   = Para obtener la ecuación implícita o general, es decir como corte de dos planos, multiplicamos de dos en dos, en cruz, las fracciones de la continua:  ; 3x = (-1) (y+1) ; 3x = -y-1; 3x+y+1= 0 ; (-5) (y+1) = 3 (z-2); -5y-5 = 3z -6; -5y -3z +1= 0 quedando la ecuación general de la siguiente manera: c) Recta perpendicular a otra que pasa por un punto: Calcula la recta s, perpendicular a , y que pasa por el punto A (0, -1, 2)   Pasos: Obtener el vector director de s, al ser perpendicular a r, vamos a usar un vector perpendicular al vector director de r, es decir, su producto escalar debe dar 0; para ello vamos a cambiar dos coordenadas de sitio, a una le cambiamos el signo y a la tercera que no hemos usado, le damos el valor 0 (muy importante, verificar que el producto escalar da 0) Colocamos los datos en la ecuación que queramos o nos pidan En este caso el vector director de r, es el factor que está multiplicando al parámetro t, es decir = (-1, 3, -5). Uno perpendicular sería:  = (3, 1, 0). = (-1, 3, -5)  (3, 1, 0) = -3+3+0 = 0, se verifica la condición de perpendicularidad. Ecuación vectorial de la recta r: (x, y, z) = (0, -1, 2) + t (3, 1, 0) Ecuaciones paramétricas: =   Ecuación continua:  = Para obtener la ecuación implícita o general, es decir como corte de dos planos, multiplicamos de dos en dos, en cruz, las fracciones de la continua: ; x = (3) (y+1) ; x = 3y+3; x-3y-3= 0 ; (0) (y+1) = 1 (z-2); 0 = z -2; z -2= 0 quedando la ecuación general de la siguiente manera:   d) Cómo pasar de las ecuaciones implícitas a las paramétricas de una recta: Esto nos va a resultar bastante útil, puesto que podremos trabajar la recta mejor en este tipo de ecuación Vamos a verlo con un ejemplo: dada la recta Lo primero es reducir el número de incógnitas, para ello vamos a hacer una reducción (E1+E2), quedando la siguiente ecuación con dos incógnitas; En este momento, no podríamos resolver nada, es el momento de darle valor a un parámetro; por ejemplo, z = t Quedando: Si sustituimos estas formas paramétricas en cualquiera de las dos del enunciado, conseguiremos expresar la x dependiendo del parámetro t también. Quedando así:       POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO: Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano, lo primero que vamos a sacar es el vector director de cada una de las rectas y vamos a estudiar si son proporcionales y, por tanto, paralelos. Si    (son paralelos)   . En este caso las rectas serán paralelas o coincidentes, para saber en cuál de los dos casos estamos, sacamos un punto de una de las rectas y verificamos si pertenece o no a la otra. Si pertenece, ambas rectas serán coincidentes y si no pertenece, serán paralelas. En el caso, de que los vectores no sean paralelos, las rectas serán secantes o se cruzan. Sabremos en cuál de los casos estamos observando la dependencia de los vectores. Tomamos un punto de cada una de las rectas y hacemos el

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Módulo I.- Cómo representar una función

Hola, Bienvenid@ a este primer módulo del curso de representación de funciones. Vamos a ver por módulo cada tipo de función para poder dominar  el tema a la perfección Preparad@s? listos? Empezamos!   ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN:  Para hacer un estudio pormenorizado y que la representación de la función sea lo más real posible, te aconsejo que sigas todos estos pasos. Es importante que lo hagas, además para que todo quede muy bien justificado. 1.- DOMINIO, pudiendo destacar los siguientes casos: –  Función polinómica (tipo f(x) = axm+bxm-1+cxm-2+… ): dominio Dom f(x) = ℝ –  Función racional (fracción algebraica) (tipo f(x) = n(x)d(x) ):  dominio excepto los valores que anulan el denominador Condición: d(x)≠0   – Función irracionales – raíz de índice par (tipo f(x) = i (x) par ):  el radicando (lo de dentro de la raíz) debe ser mayor o igual que cero Condición: radicando ( i(x)≥0 )   – Función raíz de índice impar (tipo f(x) = i(x)impar ): el dominio depende del radicando (de i(x))   – Función exponencial (tipo f(x) =   :  el dominio depende de la función que tenga el exponente (e(x))   – Función logarítmica (tipo f(x) = : el argumento (lo de dentro del logaritmo (a(x))) debe ser mayor que cero Condición: a(x)  0   – Función trigonométrica (tipo f(x) = : el dominio dependerá de a(x)   – Función definida a trozos:  el dominio dependerá de los tramos que intervengan en la función. Se calcula el dominio de cada uno de los tramos, según el tipo de función que sea, y después se resumen para el dominio general de la función   – Función valor absoluto:  Hay que desdoblarla primero como una función definida a trozos y después calcular su dominio     2.- PUNTOS DE CORTE de la función con los ejes de coordenadas   – el punto de corte con el eje OX lo obtenemos sustituyendo la y por 0, es decir, igualando la función a 0   – el punto de corte con el eje OY lo obtenemos sustituyendo la x por 0   En caso de no encontrar ningún punto de corte (porque al resolver la ecuación nos salga una raíz negativa, por ejemplo) podemos recurrir al uso del teorema de Bolzano, donde podemos indicar si existe algún intervalo donde la función corte al eje x   El teorema de BOLZANO dice que: “ si f (x) es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f (a)  f (b) , o lo que es lo mismo,                   f (a)  f(b)  0, entonces, existe un valor de c  (a, b), tal que la función se anula, es decir:  f(c) = 0”     3.- SIMETRÍA de la función. Podemos encontrar los siguientes casos:   –Par, en este caso la función es simétrica respecto del eje OY y se dará siempre y cuando f(x) = f(-x)   – Impar, en este caso la función es simétrica respecto del origen de coordenadas, y se dará siempre y cuando f (-x) = -f(x)     4.- En algunas funciones será necesario también comprobar su CONTINUIDAD en algún punto en el que no sepamos qué ocurre (suele hacerse para funciones definidas a trozos, en el punto donde cambia el tramo) Y para que una función sea continua en un punto debe cumplirse que: f (xo) (exista la función en el punto)  para lo que es necesario que = , es decir, deben coincidir los límites laterales f (xo) = Si esto no se cumple, tendremos que indicar el tipo de discontinuidad que presente la función en ese punto. Estos tipos podrán ser: Discontinuidad evitable, si ocurre que no existe la función en el punto, o el límite no coincide con el valor de la función en ese punto Discontinuidad de salto finito, si no coinciden los límites laterales, pero los valores son numéricos Discontinuidad de salto infinito, si no coinciden los límites laterales, pero los valores son infinito   5.- Estudio de las ASÍNTOTAS y RAMAS PARABÓLICAS de la función, que podrán ser:   – Asíntotas verticales: existen en los puntos que anulen el denominador de la función y existirán siempre y cuando el límite cuando x tiende a este punto de la función resulte infinito   Condición: ; La función presenta una asíntota vertical en x = k   Si hacemos los límites laterales, obtendremos además la posición de la curva respecto de la asíntota, de tal forma que, si el resultado es , la función subirá y si es , la función bajará   – Asíntotas horizontales: existen siempre y cuando el grado del denominador sea mayor o igual que el del numerador   Condición: La función presenta una asíntota horizontal en y = K   Para saber la posición de la curva respecto de la asíntota, haremos una tabla de valores, sustituyendo valores muy grandes (por ejemplo 1000 y     -1000) tanto en la función como en la asíntota y así apreciaremos quién está por encima y quién por debajo   -Asíntotas oblicuas: existen siempre y cuando el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador. No puede darse el caso de que una función presente una asíntota horizontal y una oblicua, puede tener una, otra o ninguna de las dos. La asíntota será del tipo y = mx + n y calcularemos la m y la n haciendo lo siguiente: m  (esto se hace para igualar el grado del numerador y del denominador y poder obtener un valor numérico)   n  (con esto también conseguimos que el resultado de este límite sea un valor numérico)   También podríamos obtener la asíntota oblicua dividiendo el numerador entre el denominador, obteniendo en el cociente el valor de dicha asíntota.   En el caso de que la función no presente ninguna asíntota, procederemos al estudio de sus ramas parabólicas, haciendo los límites siguientes:   y  para ver cómo se comporta la función en ambos casos   Para saber la posición de la curva respecto de la asíntota, haremos una tabla

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Módulo I.- Vectores en el espacio

Hola, bienvenid@s al módulo I. En este módulo vamos a aprender a operar con los vectores de forma fácil y sencilla, para que pueda utilizarse este cálculo en los siguientes módulos del curso.   Vamos a empezar viendo qué es un vector. Un vector, no es más que un segmento de una recta en el espacio que sale de un punto y llega a otro, es decir tiene origen, fin, dirección y sentido. . Al hablar del espacio de ,todos los puntos y vectores vendrán representados por tres coordenadas, correspondientes a cada uno de los ejes coordenados. Un vector   nos indica que tiene su origen en el punto A y su fin en el punto B, para calcular sus coordenadas a partir de estos puntos origen y fin, tendremos que restar las coordenadas del punto final menos las del punto inicial ( se restan coordenada a coordenada, de tal forma que obtenemos el vector con sus tres coordenadas correspondientes, también. Otro dato importante a conocer de un vector es cuánto mide, es decir, su módulo. Se representa como y se calcula de la siguiente manera: Por ejemplo: Dados los puntos A = (1, 2, 3) y B = (-2, 1, 0); calcular el vector   y su módulo:  = B-A = (-2, 1, 0) – (1, 2, 3) = (-2-1, 1-2, 0-3)= (-3, -1, -3)  = (-3) 2+(-1)   2+(-3)   2 = 19   OPERACIONES CON VECTORES: SUMA/RESTA DE VECTORES: Para sumar y/o restar vectores operamos por coordenadas, es decir se suman o restan las coordenadas correspondientes a cada eje por separado. Sean los vectores y , entonces Ejemplo: Dados los vectores = (1, -2, 1) y = (-2, 1, -3). Calcula   y    = (1, -2, 1) + (-2, 1, -3) = (1+(-2) , (-2)+1 , 1+(-3)) = ( -1, -1, -2)   = (1, -2, 1) – ( -2, 1,-3) = (1-(-2) , -2-1 , 1-(-3) = (3, -3, 4) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR: Esta operación es bastante intuitiva, vamos a multiplicar el escalar (número) por todas las coordenadas del vector, quedando de la siguiente forma: Ejemplo: = 3 (1, -2, 1) = (3, -6, 3) PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: El producto escalar se define como: , siendo α el ángulo que forman los vectores a y b y pudiendo operarse de la siguiente manera también:  Hay que tener en cuenta que, del producto escalar, siempre vamos a obtener como resultado un número, nunca un vector. Además este producto se usa muy frecuentemente, puesto que nos ofrece la ventaja de poder operarlo de una manera u otra. Como ya te he comentado, el producto escalar es muy útil a la hora de trabajar con vectores. Voy a destacar algunas de las aplicaciones que más vas a usar: Si dos vectores son perpendiculares (forman un ángulo de ), su producto escalar siempre va a ser igual a 0 (u) Si despejamos la parte del , podremos obtener el ángulo que forman esos dos vectores (  ) Nos permite calcular la proyección (sombra) de un vector sobre otro. La proyección del vector sobre el vector es igual a: (Lo trabajamos en valor absoluto, puesto que estamos dando una medida. Y el que va en el denominador siempre es el “sobre” )   Veamos unos ejemplos: Sean los vectores  y  = 1  (-2) 1 + 1  (-3) = -7 Al no dar el producto escalar 0, podremos verificar que estos vectores no son perpendiculares. Averigüemos el ángulo que forman: = -0,76 ; = arccos (-0,76) = 139,8 grados Y por último vamos a calcular la proyección de sobre el vector  es igual a: PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES: El producto vectorial se define como:  , donde ; hacen referencia a las coordenadas del eje x, y y z, respectivamente. El producto  puede resolverse como cualquier determinante de orden 3,  por Sarrus o por adjuntos, como prefieras. Voy a destacar algunas de las aplicaciones que más vas a usar: del producto vectorial de dos vectores, se obtiene un vector perpendicular a ambos. Si calculamos el módulo del vector obtenido, estaríamos calculando el área del paralelogramo definido por ambos vectores. Si dividimos ese área entre dos, obtenemos el área del triángulo, de la mitad del paralelogramo. Veamos un ejemplo: Si tengo los vectores  y a) Calculamos el producto vectorial de ambos: Este vector que henos obtenido sería perpendicular a y  a b) Calculamos ahora el módulo del vector obtenido:    , este valor correspondería al área del paralelogramo que forman ambos vectores c) Si dividimos el área obtenida entre dos, obtenemos el área de medio paralelogramo, por tanto, del triángulo:   PRODUCTO MIXTO: El producto mixto se designa como De este producto también vamos a obtener un valor escalar (un número), que representa el volumen del paralelepípedo que definen los tres vectores. Si lo dividimos entre 6, obtendríamos el volumen del tetraedro formado. Veamos un ejemplo: Dados los vectores ,   y Calcularemos su producto mixto, haciendo primero el producto vectorial de   y y después el escalar del resultado con el   = (1, -2, 1)  (5, 4, -2) = 1  5 + (-2) 4 + 1  (-2) = -5   por último, te dejo un vídeo explicativo y además, en la pestaña de materiales, unos ejercicios para que vayas haciéndote amig@ de los vectores. A por ellos!  

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