Matrices y sistemas de ecuaciones

Bueno, pues ya has llegado hasta el final del curso. Para rematar y poder hacer este tema a la perfección, que seguro cae en el examen, te dejo unos ejercicios más en la pestaña de materiales.   Ánimo y a por todas!!!

Hola! Último módulo…por fín vas a aplicar todo lo que hemos estado viendo hasta ahora de matrices y te adelanto que, a partir de aquí, todo va a empezar a tomar sentido (hablando de matrices, claro). Desde ya te digo que los sistemas de ecuaciones jamás te habrán resultado tan fáciles después de este módulo. MÓDULO V.- SISTEMAS DE ECUACIONES CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES: Los sistemas se clasifican por el número de soluciones que tengan, de tal forma que tendremos sistemas incompatibles, que son los que no tienen solución y sistemas compatibles, que son los que tienen solución, dentro los compatibles podrán ser determinados, si solo poseen una solución única e indeterminados, si poseen infinitas soluciones. Primeramente, debemos conocer cuáles son las matrices asociadas a un sistema de ecuaciones, puesto que vamos a usarlas para resolver y estudiar dicho sistema. Por ejemplo, sea el sistema de ecuaciones Sus matrices asociadas serán:           Donde C es la matriz de coeficientes, X la matriz de incógnitas, D es la matriz de términos independientes y C* es la matriz ampliada, como se puede observar delante de la barra se coloca la matriz de coeficientes y detrás, la de los términos independientes. ESTUDIO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES: Para este estudio vamos a usar el teorema de Rouché Frobenius, que dice: Si el Rg M = Rg M* = número de incógnitas  Sistema COMPATIBLE DETERMINADO y tendrá una única solución Si el Rg M = Rg M*  número de incógnitas  Sistema COMPATIBLE INDETERMINADO y tendrá infinitas soluciones Si el Rg M Rg  M*  Sistema INCOMPATIBLE y no tendrá solución Donde Rg M es el Rango de la matriz de coeficientes y Rg M* es el rango de la matriz ampliada Veamos un ejemplo: Las matrices asociadas serían:    y    = 60 + 36 – 56 – 96 + 30 – 42 = -62 0 Rg M = 3 = 9 – 56 + 30 – 21 – 24 + 30 = -32 0 Rg  M* = 3 Como Rg M = Rg  M* = número de incógnitas  Sistema COMPATIBLE DETERMINADO y tendrá una única solución.     RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- RESOLUCIÓN MATRICIAL Podremos resolver un sistema de ecuaciones matricialmente, siempre y cuando exista la inversa de la matriz de coeficientes. Para ello, expresaremos el sistema de ecuaciones en forma matricial, despejaremos la matriz de incógnitas y resolvemos Por ejemplo:   ;  ; Expresamos el sistema como una ecuación matricial: C X = D Despejamos la matriz de incógnitas:   Estudiamos la existencia de y la calculamos: Adj = = 0 Adj  =  = -6 Adj = = -3 Adj =  = 2 Adj = = 4 Adj = = 1 Adj =  = 2 Adj = = 4 Adj = = 4 Adj C = ;    Resolvemos: X =  = Solución:   2.- RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE GAUSS Podremos resolver un sistema por este método haciendo ceros, de modo que nos quede un sistema escalonado Los pasos a seguir serían: 1.- Escalonamos el sistema, es decir dejamos la primera ecuación con tres incógnitas, la segunda con dos y la tercera con una, haciendo ceros por debajo de la diagonal principal (Tip: Si el sistema está completo, es decir las tres ecuaciones tienen las tres incógnitas, mezcla la primera ecuación con la segunda y quita la x, mezcla la primera ecuación con la tercera y quita la x y mezcla la segunda con la tercera y quita la y) Por ejemplo: E1 E2 E’2 = 2E1 – E2   E’3 = 5E1 – E3   E’’3 = 11E’2 – E’3   Ya tenemos el sistema escalonado y ahora empezamos resolviendo. De la ecuación 3 sacamos que: ; z= -2 De la ecuación 2 sacamos que: ; y = 2+z = 2+(-2) = 0 De la ecuación 1 sacamos que: x-2y+z = 3; x = 3+2y-z = 3+2 0-(-2) = 5 Soluciones   3.- RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE CRAMER La teoría nos dice que un sistema será de Cramer si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de 0 y para resolverlo usaremos lo siguiente: ; ; Donde Mx, My y Mz son las matrices de coeficientes en las que se ha sustituido la columna de la x, de la y o de la z (según corresponda) por la columna de los términos independientes y M es la matriz de coeficientes. Veamos esto con un ejemplo mejor:   M = Primero haremos el determinante de M, para ver si podemos aplicar el método de Cramer: =2 0, podemos aplicarlo  (véase que se ha cambiado la primera columna, la de las “x”, por la de los términos independientes) (véase que se ha cambiado la segunda columna, la de las “y”, por la de los términos independientes) (véase que se ha cambiado la tercera columna, la de las “z”, por la de los términos independientes) = 2/2 =1 = 4/ 2 = 2 = 6/2 = 3 Solución:   Hay veces, que nos encontramos con sistemas compatibles indeterminados, también podemos resolverlos fácilmente por este método, vamos a ver un ejemplo: Este es un sistema homogéneo, puesto que los términos independientes son 0; estos sistemas siempre son compatibles. M = ; = 0, por lo que el sistema será compatible indeterminado, tanto la matriz de coeficientes, como la ampliada tienen rango 2 (número de incógnitas – rango = número de parámetros que vamos a necesitar para resolver el sistema). En este caso necesitamos un parámetro; elimino la última fila, por ejemplo, y le doy a z el valor de parámetro Z = t, quedando el sistema así: Eliminando la última fila, ahora la matriz de coeficientes, pasa a ser de orden 2×2 : M = Det M = 2 z = t Solución:     Ejemplos: 1.- a) Clasifica el siguiente sistema de ecuaciones: , según los valores del parámetro k b) Resuélvelo, para k =2 Vamos a escribir la matriz y la matriz ampliada que

Bienvenid@ al módulo V. Aquí vamos a aprender de una manera fácil y rápida a resolver ecuaciones con matrices.   MÓDULO V.-  RESOLUCIÓN DE ECUACIONES MATRICIALES A la hora de resolver una ecuación matricial, debemos tener en cuenta que al fin y al cabo es una ecuación; se va a resolver igual que todas las ecuaciones, con la salvedad que no podemos dividir matrices por tanto, cuando “tengamos que pasar una matriz dividiendo” para despejar la incógnita, tendremos que usar las propiedades de las matrices (  y que ) Los pasos que os recomiendo seguir son: 1º) Despejar la matriz incógnita. Este paso es el más importante de todo el ejercicio, así que no olvidéis justificarlo bien 2º) Calculamos la inversa 3º) Operamos Una última advertencia: Cuidado con el factor común en matrices, sobre todo con el orden, es importante no alterarlo, porque como ya sabemos: Recuerda: XA+XB = X (A+B) AX+BX = (A+B)X XA+BX no es factor común     Ejemplos: 1.- Obtener la matriz que verifica que: AX = 2B-C, siendo: ;    y – Primero despejamos: AX = 2B-C Multiplicamos por la inversa de A para poder despejar la X y con la precaución de multiplicar ambos miembros de la igualdad y en el mismo sitio (recuerda que el producto de matrices no es conmutativo) A-1AX = A-1(2B-C) Como se observa, en ambos lados de la igualdad está la inversa delante. – Como sabemos que una matriz por su inversa, y viceversa, dan la matriz identidad (y ésta es lo mismo que el 1) IX = A-1(2B-C)  X = A-1(2B-C) –  Por último resolvemos las operaciones pertinentes y tendríamos la solución de la ecuación matricial Cálculo de A-1 (  = 5, podemos afirmar que sí existe la inversa) A A-1 = I;    = De resolver este sistema, obtenemos que  A-1 = Como X = A-1(2B-C) X =  (2 – )   2.- Calcula la  matriz X que verifica que: ABX = , siendo  y Despejamos: (AB)-1ABX = (AB)-1 ; IX = (AB)-1  ;  X = (AB)-1 Operamos: AB = = Cálculo de AB-1 (  = -3, podemos afirmar que sí existe la inversa) AB-1 = X = (AB)-1 = =   3.- Despeja: AX = Bt + X Pasamos las X al mismo miembro: AX -X = Bt Sacamos factor común: (A-I) X = Bt Despejamos X: (A-I)-1(A-I) X = (A-I)-1Bt  ; X = (A-I)-1Bt Y otro módulo terminado, Ole! Venga, ahora, como ya sabes, te toca a tí.

Hola! Bienvenid@ al módulo IV Muchas cosas estás aprendiendo sobre las matrices y aun parecen sin sentido, verdad? Aguanta un poco más, pronto cambiará esa visión.   MÓDULO IV.- CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ Podremos calcular la inversa de una matriz por varios métodos, pero antes de nada una de las propiedades de las matrices más importantes y que sin duda, usaremos con mucha frecuencia es que una matriz por su inversa o viceversa, siempre da la matriz identidad También debemos conocer que una matriz tendrá inversa, única y exclusivamente, si su determinante es distinto de cero: 1.- Podremos calcular la inversa de una matriz, usando esta propiedad (método recomendado para matrices de orden 2×2, en órdenes mayores, resulta muy entretenido) Ejemplo: Sea , vamos a calcular su inversa. Primero nos aseguramos de que la tenga haciendo su determinante: . Como  , entonces sí existe Suponemos que la matriz   y aplicamos ; Resolvemos igualando los elementos uno a uno: , resolviendo este sistema se obtiene que  a = -2 y c = 3/2 , resolviendo este sistema se obtiene que  b = 1 y d = -1/2 quedando   2.- Otro método para calcular la inversa sería el de Gauss /Jordan Este consiste en ampliar la matriz dada con su inversa y operarla de tal manera que invirtamos el orden, quedando delante la matriz identidad y detrás, la inversa pedida Usaremos como ejemplo la matriz de antes , que ya sabemos que existe, puesto que su determinante daba distinto de cero Ampliamos la matriz, colocando detrás la identidad de orden 2×2 Ahora es el momento de hacer combinaciones lineales. Si primero empezáis haciendo los ceros y después los unos, os será más sencillo F’2 = 3F1-F2         A = F’1 = F1-F’2         A = F’’2 = ½ F’2         A = Como se puede observar, se ha conseguido el objetivo, tener delante la matriz identidad. De esta forma la matriz resultante será la inversa de A   3.- El último método que vamos a ver es aplicando la siguiente fórmula:  , donde Adj A, denota la matriz Adjunta de A Sea Primero vamos a calcular  para asegurarnos de que tiene inversa. Aplicando la regla de Cramer observamos que = -5, por lo que existe En segundo lugar, calcularemos la matriz Adjunta de A Adj  = Adj    = Adj    = Adj   = Adj   = Adj   = Adj   = Adj    = Adj   = Adj A = ;  Adj = ; Psst psst: En internet tenéis esta herramienta: https://matrixcalc.org/es/ Es una calculadora de inversas, con la que podréis jugar y además, comprobar si lo que vais haciendo está bien.   Venga, tu turno. Te haces unos ejercicios?

Otro dato muy importante a conocer de las matrices es su rango, nos va a ayudar a saber muchas cosas después. Así que, atención, vamos a ver qué es esto del Rango en este módulo III.   MÓDULO III.- RANGO DE UNA MATRIZ   El rango de una matriz es el mayor número de líneas independientes que tiene la matriz. Para averiguar el rango de una matriz podemos usar cualquiera de los métodos siguientes: 1.- Método de Gauss: Este método lo usaremos para hacer ceros y convertir la matriz en una equivalente, de tal forma que, el número de líneas que tenga la matriz, distintas de cero, será el rango de la matriz 2.- A partir de sus menores (por determinantes): El rango de una matriz coincidirá con el orden del determinante mayor (el mayor menor) distinto de cero, que quepa en la matriz La condición necesaria y suficiente para que el determinante de una matriz cuadrada sea cero es que sus líneas sean linealmente independientes, esto es, que alguna de ellas se pueda poner como combinación lineal de las otras. Es decir:  las filas de A son linealmente dependientes las filas de A son linealmente independientes Vamos a ver esto con un ejemplo: Sea la matriz: Si usamos el método de Gauss: F2 F1 : quedando  , quedando , quedando Tenemos una fila de ceros y 3 filas distintas de cero, por lo que podemos decir que el rango de esta matriz es 3 y como consecuencia, tiene 3 filas linealmente independientes Vamos a repetir el estudio de rango, pero haciéndolo por determinantes: Vamos a empezar probando con un menor de orden 2×2 = -5, como sale un determinante, distinto de cero, podemos asegurar que el rango será 2 o superior Seguimos comprobando con uno de orden 3×3 = -35  0. Podemos asegurar que el rango de la matriz es 3 o superior = 0, porque la primera fila es la suma de la segunda y la cuarta. Así que el rango de la matriz nunca podrá ser 4, porque como hemos visto, el determinante de orden 4×4 se anula. Como el determinante de mayor orden distinto de cero que hemos obtenido ha sido el de 3×3. Ya sí podemos afirmar, que el rango de la matriz es 3   Ejemplos: 1.- Calcula el rango de Empezamos comprobando un menor de orden 2×2 : = 9-4 = 5 0; Con esto ya sabemos que el rango de A será 2 o superior Vamos con orden 3×3: = 0 (F1= F2 + F3) Comprobamos otro: = 0 (F1= F2 + F3) Como todos los menores de orden 3×3 son nulos el rango no podrá ser 3 y como no hay ninguna matriz cuadrada de orden 4×4, el rango tampoco podrá ser 4. Así que, ya podemos afirmar que el rango de A es 2   2.- Estudia el rango de en función del parámetro En primer lugar, vamos a ver qué valores de  anulan el determinante de la matriz: = = -9 Independientemente del valor de   , el rango de esta matriz será 3, puesto que no se anula nunca el determinante.   3.- Estudia el rango de  en función del parámetro Como siempre, en primer lugar, estudiamos qué valores de  anulan el determinante de A = = = 0;  = 0; Si   Rg A  3 Comprobamos un menor de orden 2×2: =15-25= -10  0  Rg A = 2 Solución: Si  Rg A  = 2 Si Rg A  3   Pr último, unos ejercicios para que juegues en la pestaña de materiales.

Hola de nuevo! Módulo II y ya sabes un montón sobre matrices, ¿verdad? Vamos a ver ahora los determinantes; un módulo solo para ellos porque son muy importantes.   MÓDULO II.- DETERMINANTES   Un determinante es un número que asociamos a una matriz. Se representa por Det M o . La forma de calcularlos dependerá del orden que tenga la matriz. Si la matriz es de orden 2×2 se calculará multiplicando los elementos de la diagonal principal y restándole el producto de los elementos de la diagonal secundaria. Ejemplo: Sea El determinante de A será: Det A =  Si la matriz es de orden 3×3 se calculará aplicando la Regla de Sarrus  (suma de la diagonal principal más sus paralelas y resta de la secundaria más sus paralelas) Ejemplo: Sea   Si la matriz es de orden superior a 3×3, calcularemos su determinante por adjuntos, pero antes de ver este método necesitamos conocer un par de conceptos más: ¿Qué es el menor complementario? Mij, del elemento aij de la matriz A, es el determinante de la matriz de orden más pequeño que resulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A ¿Qué es un adjunto? El adjunto del elemento aij de la matriz A es  Aij = Mij Una vez tenemos claros estos conceptos, podemos indicar que, si los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados, se obtiene el determinante de esa matriz. En este caso, será útil, hacer los máximos ceros posibles dentro de una línea, para que el desarrollo del determinante sea lo más sencillo posible. Ejemplo: Sea Podríamos seleccionar la primera columna, por ejemplo, y desarrollar el determinante por los elementos de dicha columna, esto sería: = Este proceso es demasiado lento, por eso la mejor manera es hacer ceros en una línea para que los determinantes a calcular sean los mínimos posibles. Primero vamos a decidir con qué fila o columna queremos trabajar y hacemos ceros, dejando como pívot un elemento que, a ser posible, sea un 1 y después realizamos el determinante desarrollándolo por esa línea, puesto que, al haber hecho ceros, nos quedará solamente un determinante a calcular; el resto serán: 0 por el determinante, que terminarán dando 0. En este caso los cambios a realizar serán: F’2 = 2F1-F2 F’3 = F1+F3 F’4 = 3F1-F4 Como se puede comprobar, merece la pena hacer los ceros, los cálculos se reducen considerablemente. Para finalizar con esta parte de los determinantes, vamos a ver unas propiedades importantes, que nos ayudarán también a simplificar estos cálculos: 1.- El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. 2.- El determinante de la inversa de una matriz es igual a la inversa del determinante. 3.- Si una matriz cuadrada tiene una línea de ceros, su determinante es cero. 4.- Si en una matriz cambiamos de sitio dos líneas paralelas, el determinante cambia de signo. 5.- Si una matriz cuadrara tiene dos líneas paralelas iguales o proporcionales, su determinante es cero. 6.- Si multiplicamos todos los elementos de una línea por un número, el determinante queda multiplicado por dicho número. 7.- Si a una línea de una matriz le sumamos una combinación lineal de las demás paralelas, el determinante no varía. 8.- Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, su determinante es cero Ojo.- Esto también nos indica que, cuando el determinante de una matriz es cero, va a tener una línea que es combinación lineal de las demás, o proporcional o igual. 9.- El determinante del producto de matrices es igual al producto de sus determinantes.     Ejemplos: 1.- Si , calcula: a) *1 == *2 = = (-1) (-1) 7 = 7 *1, aquí se observa que la primera columna está cambiada con la segunda y por tanto, el determinante cambia de signo. *2, aquí se observa que la segunda columna está cambiada con la tercera y por tanto, el determinante vuelve a cambiar de signo. b) = *1 = 3 = *2 = 3 (-1) = *3 = 3 (-1) = 3 (-1)7 = -21   *1, aquí se observa que la primera fila está multiplicada por 3 segunda y por tanto, el determinante queda multiplicado por dicho número. *2 , aquí se observa que la tercera fila está multiplicada por -1 y por tanto, el determinante queda multiplicado por dicho número. *3 , aquí se observa que la segunda fila se ha obtenido de la siguiente manera: , y que la tercera fila se ha obtenido así: , es decir mediante combinaciones lineales y estas transformaciones no afectan al valor del determinante. c) = *1 = = *2 =2 = *3= *1 , aquí se observa que la primera fila está obtenida de la siguiente forma: F’1 = F1 +2F3. Esto es una combinación lineal que no altera el valor del determinante *2 y *3, aquí se observa que la tercera fila está multiplicada por dos y además es combinación lineal de otras, es decir: F’3 = 2F3 +F2 , por lo que el determinante queda multiplicado por dos también d) = *1 = (-1) = *2 = (-1) (-1) = *3 = (-1) (-1) 5  = *4 = (-1) (-1) 5  (-1) = *5 = (-1) (-1) 5  (-1) = (-1) (-1) 5  (-1) 7 = -35   *1 , aquí se observa que la segunda columna está cambiada (permuta) con la tercera, por lo que, el determinante cambia de signo (queda multiplicado por -1). *2 , aquí se observa que la primera columna está cambiada (permuta) con la segunda, por lo que, el determinante cambia de signo. *3, aquí se observa que la primera columna está multiplicada por 5, por lo que el determinante queda multiplicado por dicho valor. *4 , aquí se observa que la segunda columna está multiplicada por -1, por lo que el determinante queda multiplicado por dicho valor. *5 , C’3 = C2+C3, es decir

Hola. Empezamos por el principio. Aquí veremos qué es una matriz y cómo podemos operar con ellas. Una MATRIZ es un conjunto de números y / o letras distribuidos en filas (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales). La DIMENSIÓN de una matriz, se indica como m x n, donde m denota el número de filas y n el número de columnas de la misma. TIPOS DE MATRICES: Traspuesta: Es la matriz que resulta de cambiar las filas por las columnas Fila: Es la matriz que está compuesta únicamente por una fila Columna: Es la matriz que está compuesta únicamente por una columna Cuadrada: Es la matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas Nula: Es la matriz que tiene todos sus elementos nulos (0) Identidad: Es la matriz que tiene todos sus elementos nulos, excepto los de la diagonal principal, que son 1. Es como el número 1. Por eso, se cumple que A I = I A = A y que  A0 = I (esta última se cumple para cualquier matriz cuadrada, excepto la nula) Involutiva: A2 = A I = I Idempotente: A2 = A A = A Nilpotente:   A A  A A … = 0 Cíclica: An  = I Simétrica: A = At Antisimétrica: At = – A   OPERACIONES CON MATRICES: SUMA/RESTA: Se operan elemento a elemento   PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ: el escalar, multiplica a todos los elementos de la matriz   PRODUCTO DE DOS MATRICES: Se multiplican filas por columnas, de tal forma, que para calcular el elemento que fila, columna 1 multiplicaremos los elementos de la fila 1 por los de la columna 1. Para poder realizarlo debemos tener en cuenta que el número de columnas de la primera matriz tiene que coincidir con el número de filas de la segunda matriz:  OJO! El producto de matrices no es conmutativo, esto es que:  , solo es conmutativo con la identidad, esto es: POTENCIA DE UNA MATRIZ CUADRADA: Se multiplica la matriz por sí misma tantas veces como sea necesario: A2 = ; A3 = A2; … Para el cálculo de la matriz enésima (An), usaremos el método de recurrencia, es decir, multiplicaremos por sí misma tantas veces como necesitemos, hasta observar algún patrón de comportamiento en la matriz.     Veamos un ejemplo: Sea , calcular An Vamos a comenzar realizando A2 = = Realizamos, a continuación, A3 = A2 A = Ya comenzamos a ver un patrón de comportamiento, vamos a realizar A4 para cerciorarnos A4 = A3  A = Se observa que solo va cambiando el elemento , quedando siempre de la forma 3n, por lo que el resultado sería el siguiente:   Ejemplos: Sea:     y a) Calcula A+B A+B = + =   b) Calcula A-B A-B = –  =   c) Calcula 2A 2A = 2 = d) Calcula  Para hacer la matriz traspuesta solo tenemos que cambiar las filas por las columnas. La primera fila, la escribimos como primera columna y así con todas.     2.- Sea  ; calcula   3.- Sea ; calcula  = =   =    4.- Sea ; calcula su potencia enésima Esto lo calculamos por el método de recurrencia: (  ) ( ) Ya podemos observar que solo va cambiando el elemento  y además podemos predecir que, si la matriz estuviera elevada a la cuarta, ese elemento quedaría como , puesto que se observa que el es 3 elevado al mismo exponente que la matriz. Es decir que:   5.- Sea   ; calcula su potencia enésima Vamos a proceder de la misma forma que en el ejercicio 2, por recurrencia:     Si hacemos , observaremos por el comportamiento que está teniendo la matriz, que todos los términos permanecerá iguales excepto el y que quedan multiplicados por 2, 3 o cual sea el exponente que tenga la matriz, en este caso quedarían multiplicados por 4 y la matriz sería Podemos afirmar que =  Pues hasta aquí este módulo, te dejo unos ejercicios para practicar en la pestaña de materiales. Al lío!