Módulo V.- Ejercicios Finales
Pues este módulo es exclusivamente para dejarte un popurrí de ejercicios de todo este curso. A por ellos, no?
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Hola, bienvenid@s al módulo IV. En este módulo vamos a aprender a calcular ángulos y distancias entre los elementos del plano. Si ya has llegado hasta aquí, relax, lo peor ya ha pasado. MÓDULO IV.- PROBLEMAS MÉTRICOS DISTANCIAS Y ÁNGULOS: Voy a dejaros aquí unas tablas, a modo de resumen de cómo calcular las diferentes distancias y ángulos que nos podemos encontrar: Distancia entre dos puntos Distancia de un punto a una recta Q es un punto de la recta r Distancia de un punto a un plano Distancia entre dos planos paralelos P es un punto del plano Distancia de una recta a un plano P es un punto de la recta r Distancia entre dos rectas paralelas D (r, s) = d (P, s) P es un punto de la recta r Distancia entre dos rectas que se cruzan d (r, s) = P es un punto de la recta r y Q uno de s Ángulo entre dos rectas que se cortan Ángulo entre dos rectas que se cruzan Ángulo entre dos planos que se cortan *Ojito!!si hacemos el ángulo entre el director de una recta y el normal de un plano (mediante el producto escalar), sacamos el ángulo que forma con la vertical, no con la horizontal, para dar este, tendríamos que hacer 90 grados menos el ángulo obtenido. PUNTO MEDIO: Para calcularlo aplicaremos la fórmula: Recuerda que hay que operar por coordenadas. PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO A OTRO PUNTO: Misma fórmula que la de punto medio, donde el punto B sería el punto simétrico de A respecto a M. PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO A UNA RECTA: Para calcularlo sigue los siguientes pasos: Calcula el plano perpendicular a la recta que pase por P Calcula el punto de corte del plano y la recta, punto M Aplicamos PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO A UN PLANO Para calcularlo sigue los siguientes pasos: Calcula el punto de corte del plano y la recta, punto M Aplicamos Venga, pues unos ejercicios de este módulo y ya estaría ( como siempre, están en la pestaña de materiales)
Módulo IV.- Problemas métricos Leer más »
Hola, bienvenid@s al módulo III. En este módulo vamos a aprender todo lo necesario para poder trabajar con los planos en el espacio, incluido el estudio de sus posiciones relativas. MÓDULO III.- PLANOS EN EL ESPACIO Los planos van a venir definidos siempre por un punto por el que pasan, P y por sus dos vectores directores o por un punto y su vector normal. Recuerda que normal es lo mismo que perpendicular u ortogonal. Las diferentes ecuaciones del plano serán: Ecuación VECTORIAL: Ecuaciones PARAMÉTRICAS: Ecuación IMPLÍCTA o GENERAL: Para esta no usaremos los vectores directores, sino el vector normal del plano: quedando el plano: Para llegar a esta ecuación, también podemos usar el punto y los dos vectores directores, simplemente resolviendo el siguiente determinante: Ahora veremos en qué formas nos pueden pedir la ecuación de un plano y cómo resolverlo con algunos ejemplos: a) Ecuación del plano definido por tres puntos: En este caso, usaremos uno de los puntos dados y calcularemos dos vectores, que serán los directores. Por ejemplo: dados los puntos A (1, 7, -2); B (4, 5, 0) y C (6, 3, 8) Pasos: Calculo los vectores y = (3, -2, 2) = (5, -4, 10) Usaré para el cálculo el punto A, que es el común de ambos vectores Colocamos en la forma deseada, en este caso, voy a usar siempre la implícita, por ser la más común de todas las ecuaciones del plano. ; , podríamos simplificar dividiendo todo entre 2 y queda el plano: b) Ecuación del plano que contiene a dos rectas que se cortan: En este caso, usaremos un punto de cualquiera de las dos rectas y sus dos vectores directores Por ejemplo; Calcula la ecuación del plano que contiene a las rectas y Voy a usar el punto P (1, 5, -2) de la recta r, por ejemplo. El vector = (2, -1, 3) y el = (1, 2, -6) ; , podríamos simplificar dividiendo todo entre 5 y queda el plano: c) Ecuación del plano que contiene a una recta y a un punto: En este caso, usaremos el punto dado, el vector director de la recta que nos dan y el segundo vector lo calcularemos sacando un punto de la recta y haciendo el vector que une ambos puntos. Por ejemplo: Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta y al punto A (1, -2, 4) Como hemos dicho, vamos a sacar un punto P de la recta r, que sería el P (1, 5, -2) y haremos el vector = (0, 7, -6) ; d) Ecuación del plano que contiene a una recta y es perpendicular a un plano: En este caso, usaremos el vector de la recta cualquier punto de la recta r, puesto que, si la recta está contenida en el plano, todos sus puntos lo estarán también y como los planos son perpendiculares, el vector normal del plano dado, servirá como vector director del plano que piden Por ejemplo: Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta y es perpendicular al plano = (2, -1, 3) P r = (1, 5, -2) = (1, 2, 3) ; e) Ecuación del plano que contiene a dos rectas paralelas: En este caso, vamos a usar un director y un punto de una de las dos rectas, de la otra recta no podemos sacar el vector director, ya que, al ser paralelas, no nos serviría. Para obtener el vector, lo que haremos será sacar otro punto de la otra recta y hacer el vector que une ambos puntos. Por ejemplo: Obtener el plano que contiene a las rectas y = = (2, -1, 3) P r = (1, 5, -2) Q s = (1, 2, 3) = (0, 3, 5) ; , simplifico todo por 2 y queda: f) Ecuación del plano que contiene a un punto y es perpendicular a una recta: En este caso, el vector director de la recta, al ser perpendicular al plano, vamos a poder usarlo como el vector normal del plano. Por ejemplo: Calcula el plano que contiene al punto A (1, 2, 3) y es perpendicular a la recta = = (2, -1, 3) , sustituyendo las coordenadas del punto en x, y y z del plano, obtendremos el valor de d ; d = -9; g) Ecuación del plano que pasa por un punto y es paralelo a otro plano: En este caso, al ser los planos paralelos, sus vectores normales también lo son y por tanto, el proceso de obtención será igual que el anterior Por ejemplo: Calcula el plano que pasa por el punto A (1, 0, -2) y es paralelo al plano El plano buscado será de la forma: E igual que en el ejemplo anterior, calculamos el valor de d ; d = -8; h) Ecuación del plano que pasa por un punto, es paralelo a una recta que es perpendicular a otra. En este caso, para obtener el vector director de la recta, bastará con hacer el producto vectorial de los vectores directores de las rectas y con ello obtener el normal del plano. Después se procede como en los dos casos anteriores para obtener el plano. O realizar el determinante, como hemos visto también en los ejemplos anteriores con el punto y los dos vectores. Por ejemplo: Calcula el plano que pasa por el punto A (1, 2, 3) y es paralelo a la recta y perpendicular a = (1, 3, 1) = (-3, 3, 0) ; ; POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO: Para estudiar la posición relativa de los planos vamos a trabajar siempre con las ecuaciones generales de los planos, de tal forma que podamos comparar los coeficientes de ambos o componer dos matrices y hacer un estudio de rangos, siendo M = y M* = De tal forma que
Módulo III.- Planos en el espacio Leer más »
Hola, bienvenid@s al módulo II. En este módulo vas a aprender cómo son los puntos y las rectas en el espacio y sus posiciones relativas. De esta forma, al final del módulo, podrás trabajar de forma muy sencilla, con estos elementos. MÓDULO II.- PUNTOS Y RECTAS EN EL ESPACIO II.a.- PUNTOS. – Los puntos los expresaremos siempre con sus tres coordenadas. II.b.- RECTAS. – Las rectas van a venir definidas siempre por un punto por el que pasan, P, y por su vector director, Las diferentes ecuaciones de la recta que te vas a encontrar son: Ecuación VECTORIAL: Ecuaciones PARAMÉTRICAS: Ecuación CONTINUA: Ecuación IMPLÍCTA o GENERAL: En este caso la recta queda definida como corte de dos planos, puesto que cada una de las ecuaciones que aquí aparecen representa un plano. Ahora vamos a ver en qué formas nos pueden pedir que calculemos la ecuación de una recta y cómo resolverlo con algunos ejemplos: a) Recta que pasa por dos puntos: Calcula la recta r que pasa por los puntos A (1, -2, 4) y B (0, 1, -1) Como he mencionado anteriormente, vamos a necesitar un punto, podemos usar cualquiera de los que nos dan, y un vector director. Pasos: Calcular el vector director, siendo éste el que une ambos puntos Decidimos qué punto usar Colocamos los datos en la ecuación que queramos o nos pidan Vector = B – A = (0, 1, -1) – (1, -2, 4) = (-1, 3, -5) Punto B = (0, 1, -1) Ecuación vectorial de la recta r: (x, y, z) = (0, 1, -1)+ t (-1, 3, -5) Ecuaciones paramétricas: = Ecuación continua: = Para obtener la ecuación implícita o general, es decir como corte de dos planos, multiplicamos de dos en dos, en cruz, las fracciones de la continua: ; 3x = (-1) (y-1) ; 3x = -y+1; 3x+y-1= 0 ; (-5) (y-1) = 3 (z+1); -5y+5 = 3z +3; -5y -3z +2 = 0 quedando la ecuación general de la siguiente manera: b) Recta paralela a otra que pasa por un punto: Calcula la recta s, paralela a , y que pasa por el punto A (0, -1, 2) Pasos: Obtener el vector director de s, al ser paralela a r, vamos a usar el mismo vector director de r. Colocamos los datos en la ecuación que queramos o nos pidan En este caso el vector director de r, es el factor que está multiplicando al parámetro t, es decir = (-1, 3, -5) Ecuación vectorial de la recta r: (x, y, z) = (0, -1, 2)+ t (-1, 3, -5) Ecuaciones paramétricas: = Ecuación continua: = Para obtener la ecuación implícita o general, es decir como corte de dos planos, multiplicamos de dos en dos, en cruz, las fracciones de la continua: ; 3x = (-1) (y+1) ; 3x = -y-1; 3x+y+1= 0 ; (-5) (y+1) = 3 (z-2); -5y-5 = 3z -6; -5y -3z +1= 0 quedando la ecuación general de la siguiente manera: c) Recta perpendicular a otra que pasa por un punto: Calcula la recta s, perpendicular a , y que pasa por el punto A (0, -1, 2) Pasos: Obtener el vector director de s, al ser perpendicular a r, vamos a usar un vector perpendicular al vector director de r, es decir, su producto escalar debe dar 0; para ello vamos a cambiar dos coordenadas de sitio, a una le cambiamos el signo y a la tercera que no hemos usado, le damos el valor 0 (muy importante, verificar que el producto escalar da 0) Colocamos los datos en la ecuación que queramos o nos pidan En este caso el vector director de r, es el factor que está multiplicando al parámetro t, es decir = (-1, 3, -5). Uno perpendicular sería: = (3, 1, 0). = (-1, 3, -5) (3, 1, 0) = -3+3+0 = 0, se verifica la condición de perpendicularidad. Ecuación vectorial de la recta r: (x, y, z) = (0, -1, 2) + t (3, 1, 0) Ecuaciones paramétricas: = Ecuación continua: = Para obtener la ecuación implícita o general, es decir como corte de dos planos, multiplicamos de dos en dos, en cruz, las fracciones de la continua: ; x = (3) (y+1) ; x = 3y+3; x-3y-3= 0 ; (0) (y+1) = 1 (z-2); 0 = z -2; z -2= 0 quedando la ecuación general de la siguiente manera: d) Cómo pasar de las ecuaciones implícitas a las paramétricas de una recta: Esto nos va a resultar bastante útil, puesto que podremos trabajar la recta mejor en este tipo de ecuación Vamos a verlo con un ejemplo: dada la recta Lo primero es reducir el número de incógnitas, para ello vamos a hacer una reducción (E1+E2), quedando la siguiente ecuación con dos incógnitas; En este momento, no podríamos resolver nada, es el momento de darle valor a un parámetro; por ejemplo, z = t Quedando: Si sustituimos estas formas paramétricas en cualquiera de las dos del enunciado, conseguiremos expresar la x dependiendo del parámetro t también. Quedando así: POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO: Para estudiar la posición relativa de dos rectas en el plano, lo primero que vamos a sacar es el vector director de cada una de las rectas y vamos a estudiar si son proporcionales y, por tanto, paralelos. Si (son paralelos) . En este caso las rectas serán paralelas o coincidentes, para saber en cuál de los dos casos estamos, sacamos un punto de una de las rectas y verificamos si pertenece o no a la otra. Si pertenece, ambas rectas serán coincidentes y si no pertenece, serán paralelas. En el caso, de que los vectores no sean paralelos, las rectas serán secantes o se cruzan. Sabremos en cuál de los casos estamos observando la dependencia de los vectores. Tomamos un punto de cada una de las rectas y hacemos el
Módulo II.- Puntos y Rectas en el espacio Leer más »
Hola, bienvenid@s al módulo I. En este módulo vamos a aprender a operar con los vectores de forma fácil y sencilla, para que pueda utilizarse este cálculo en los siguientes módulos del curso. Vamos a empezar viendo qué es un vector. Un vector, no es más que un segmento de una recta en el espacio que sale de un punto y llega a otro, es decir tiene origen, fin, dirección y sentido. . Al hablar del espacio de ,todos los puntos y vectores vendrán representados por tres coordenadas, correspondientes a cada uno de los ejes coordenados. Un vector nos indica que tiene su origen en el punto A y su fin en el punto B, para calcular sus coordenadas a partir de estos puntos origen y fin, tendremos que restar las coordenadas del punto final menos las del punto inicial ( se restan coordenada a coordenada, de tal forma que obtenemos el vector con sus tres coordenadas correspondientes, también. Otro dato importante a conocer de un vector es cuánto mide, es decir, su módulo. Se representa como y se calcula de la siguiente manera: Por ejemplo: Dados los puntos A = (1, 2, 3) y B = (-2, 1, 0); calcular el vector y su módulo: = B-A = (-2, 1, 0) – (1, 2, 3) = (-2-1, 1-2, 0-3)= (-3, -1, -3) = (-3) 2+(-1) 2+(-3) 2 = 19 OPERACIONES CON VECTORES: SUMA/RESTA DE VECTORES: Para sumar y/o restar vectores operamos por coordenadas, es decir se suman o restan las coordenadas correspondientes a cada eje por separado. Sean los vectores y , entonces Ejemplo: Dados los vectores = (1, -2, 1) y = (-2, 1, -3). Calcula y = (1, -2, 1) + (-2, 1, -3) = (1+(-2) , (-2)+1 , 1+(-3)) = ( -1, -1, -2) = (1, -2, 1) – ( -2, 1,-3) = (1-(-2) , -2-1 , 1-(-3) = (3, -3, 4) PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR: Esta operación es bastante intuitiva, vamos a multiplicar el escalar (número) por todas las coordenadas del vector, quedando de la siguiente forma: Ejemplo: = 3 (1, -2, 1) = (3, -6, 3) PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES: El producto escalar se define como: , siendo α el ángulo que forman los vectores a y b y pudiendo operarse de la siguiente manera también: Hay que tener en cuenta que, del producto escalar, siempre vamos a obtener como resultado un número, nunca un vector. Además este producto se usa muy frecuentemente, puesto que nos ofrece la ventaja de poder operarlo de una manera u otra. Como ya te he comentado, el producto escalar es muy útil a la hora de trabajar con vectores. Voy a destacar algunas de las aplicaciones que más vas a usar: Si dos vectores son perpendiculares (forman un ángulo de ), su producto escalar siempre va a ser igual a 0 (u) Si despejamos la parte del , podremos obtener el ángulo que forman esos dos vectores ( ) Nos permite calcular la proyección (sombra) de un vector sobre otro. La proyección del vector sobre el vector es igual a: (Lo trabajamos en valor absoluto, puesto que estamos dando una medida. Y el que va en el denominador siempre es el “sobre” ) Veamos unos ejemplos: Sean los vectores y = 1 (-2) 1 + 1 (-3) = -7 Al no dar el producto escalar 0, podremos verificar que estos vectores no son perpendiculares. Averigüemos el ángulo que forman: = -0,76 ; = arccos (-0,76) = 139,8 grados Y por último vamos a calcular la proyección de sobre el vector es igual a: PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES: El producto vectorial se define como: , donde ; hacen referencia a las coordenadas del eje x, y y z, respectivamente. El producto puede resolverse como cualquier determinante de orden 3, por Sarrus o por adjuntos, como prefieras. Voy a destacar algunas de las aplicaciones que más vas a usar: del producto vectorial de dos vectores, se obtiene un vector perpendicular a ambos. Si calculamos el módulo del vector obtenido, estaríamos calculando el área del paralelogramo definido por ambos vectores. Si dividimos ese área entre dos, obtenemos el área del triángulo, de la mitad del paralelogramo. Veamos un ejemplo: Si tengo los vectores y a) Calculamos el producto vectorial de ambos: Este vector que henos obtenido sería perpendicular a y a b) Calculamos ahora el módulo del vector obtenido: , este valor correspondería al área del paralelogramo que forman ambos vectores c) Si dividimos el área obtenida entre dos, obtenemos el área de medio paralelogramo, por tanto, del triángulo: PRODUCTO MIXTO: El producto mixto se designa como De este producto también vamos a obtener un valor escalar (un número), que representa el volumen del paralelepípedo que definen los tres vectores. Si lo dividimos entre 6, obtendríamos el volumen del tetraedro formado. Veamos un ejemplo: Dados los vectores , y Calcularemos su producto mixto, haciendo primero el producto vectorial de y y después el escalar del resultado con el = (1, -2, 1) (5, 4, -2) = 1 5 + (-2) 4 + 1 (-2) = -5 por último, te dejo un vídeo explicativo y además, en la pestaña de materiales, unos ejercicios para que vayas haciéndote amig@ de los vectores. A por ellos!
Módulo I.- Vectores en el espacio Leer más »